浅谈解析几何中的对称问题

浅谈解析几何中的对称问题

解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称：线（直线或曲线）关于点成中心对称：点关于线成轴对称：线（直线或曲线）关于线成轴对称。无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。

一、中心对称：即关于点的对称问题

泄义：把一个图形绕某个点旋转180。后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。这个点叫做对称中心。

性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。

1.点关于点对称

例1. 求P （3, 2）关于M （2, 1）的对称点P'的坐标。

分析：由中心对称的性质得M点是PP，的中点，可求P‘（1, 0）。

小结：P （x°,yo）戻WbM称点：》p,（2a—x°,2b-y。）（依据中点坐标公式）。

特例P （xo,y o）一「辿辿-■> p，（一X。，一％）。

2.直线关于点对称

例2. 求直线L：x+y-l=0关于M （3. 0）的对称直线1=的方程。

分析：思路一：在直线L上任取一点P （x, y）,则它关于何的对称点Q （6-x, 一y）,因为Q 点在h上，把Q点坐标代入直线1冲，便得到12的方程：x+y—5二0。

思路二：在h上取一点P （1, 0）,求岀P关于M点的对称点Q的坐标（5, 0）。再由

kn=k i=,可求岀直线h的方程x+y—5二0。

思路三：由k”二血,可设h Ax+By+C二0关于点M（x o,yo）的对称直线为Ax+By+C' =0

|Axo + Byo + C I lAxo + Byo + C*

且一二一，求出C及对称直线1）的方程x+y-5二0。

小结：直线关于点对称的情形：

（1）直线L： Ax + Bv + C = 0关于原点的对称直线。设所求直线上一点为P（x,y）,则它关于原点的对称点为Q（-x-y）,因为。点在直线厶上，故有A（—x） + 3（—y） + C = O, 即Av+By-C = O；

（2）直线厶关于某一点旳（忑,儿）的对称直线厶。它的求法分两种情况：

1、当必（心,比）在人上时，它的对称直线为过M点的任一条直线。

2、当M点不在人上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线厶上任取一点P（x,y），

则它关于M的对称点为0(2无-/,2儿-刃，因为0点在人上，把0点坐标代入直线在厶中，便得到厶的方程。解法(二)：在厶上取一点Pg,”)，求岀P关于M点的对称点0的坐标。再由K n = K l2 ,可求出直线心的方程。解法(三)：由«严K,2，可设l l -.Ax + By + C = O关于点Mg』。)的对称直线为Ax + By + C' = O且禺严” q=〔4兀+〃儿：c‘i求设c，从而可求的及对称直线方程。

yJA2 +B2y/A2 +B~

3.曲线关于点对称

例3. 求直线C1： y=x2关于、I (2, 1)的对称曲线C?的方程。

分析：设P (x,y)是曲线C?的任一点，则P点关于M (1, 1)的对称点为Q(4-x.2-y), 因为Q在5上，把Q点坐标代入曲线5上，便得到C?的方程：亍一8x+y+14二0。

小结：曲线 5：f(x,y)=O I咖 n用： >曲线C2： f(2a-x, 2b-y)二0。

曲线C2推导过程：设所求曲线上任意一点M(x,y),其关于点P(a,b)对称的点"(x',y‘) 在曲线

f(x,y)=O上.用点关于点对称的方法求出点“的坐标后代入曲线f(x,y)=O中即得所求曲线方程.

特例：f(x,y)=O 关'I倆点沪： >曲线C2： f (—x, — y)二0。

二、轴对称问题：即关于直线的对称问题

泄义:把一个图形沿着某条直线对折以后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。

性质：关于某条直线对称的两个图形，对称线段平行且相等：对称线段或其延长线相交, 交点一定在对称轴上：对称点的连线都被对称轴垂直平分。

1.点关于直线对称

例4.试求P (-3, 5)关于直线1: 3x-4y+4二0的对称点P'的坐标。

分析：直线1是线段PP'的垂直平分线。

解：设P (-3, 5)关于直线1的对称点为P' (x,y),则PP'中点为N (―, 匚), 2 2

则有厂3x —-4X^+4=0 (因为N在直线1上) ...................................... ①」2 2

I v-5 3

1-― x- = -l (因为PP'丄1) ........................................ ②x + 3 4

①、②联立，解得x=3,y=-3.所求对称点P9 (3,-3)o 小结：(1)点关于常见直线的对称点的坐标：

A (a, b)x A* (a, -b)

② B (a,b)关于y 轴的对称点为B' (p, b)

③ C (a,b)关于直线y 二x 的对称点为C‘(b,a)

④ D (a, b)关于直线y 二-x 的对称点为D* (-b,-a)

⑤ P (a,b)关于直线x=m 的对称点为(2m-a,b)

⑥ Q (a, b)关于直线y=n 的对称点为(a, 2n-b)

(2)点P(a b)关于某直线L :Ax + By + C = 0的对称点P '的坐标。

解法(一)：由PP 丄厶知，K pp .=-=＞直线PP 的方程一y — b = @(x — “)由

A A

解法(二)：设对称点PUy)由中点坐标公式求得中点坐标为(伫工，出)把中点坐

2 2

标代入厶中得到—+B- —+ C = 0；①再由K pp .=-得上上=色②，联立①、

2 2 A a-x A

② 可得到卩点坐标。

解法(三)：设对称点为PUy)，由点到直线的距离公式有

巴萝父口 =內'匚"匕［①,再由K pp .=-得匕工=色②由①、②可得到P 点 坐标。

2. 直线关于直线对称

例5.求直线l 1：x-2y+l=0关于直线1: x+y-l= 0的对称直线1=的方程。

分析：思路一：先解1’与1组成的方程组，求岀交点A 的坐标。则交点必在对称直线h 上, 由A 、B'两点可求出直线1=的方程。

思路二：在1：上任取一点P(x, y),则P 点关于直线1的对称点Q (x“ yj 在直线L 上，

再由PQ 丄1得kpQ*ki=-l a 又PQ 的中点在1上，由此解得xi=f(x,y),yi=g(x,y),把Q(xi, yi)代人h 的方程中可求出12的方程。

小结：直线厶关于直线/的对称直线厶。

(D 当厶与/不相交时,则厶〃/〃厶。在A 上取一点PCWo)求出它关于/的对称点0的坐

标。再利用R\=P R 可求出厶的方程。

⑵ 当厶与/相交时，/「/、厶三线交于一点。解法(一)：先解厶与/组成的方程组，求出

交点A 的坐标。则交点必在对称直线厶上。再在厶上找一点B,点B 的对称点也在L 上,

由A 、3’两点可求出直线厶的方程。解法(二)：在厶上任取一点P (斗,")，则P 点关于

直线/的对称点0在直线厶上，再由P0丄/，kpQ*ki=-lo 又P0的中点在/上，由此解得

可求得交点坐标, 再由中点坐标公式求得对称点p 的坐标。

Ax + By + C =