一道数学高考题的多种解法

→
→
→ AF
1
5
和
→ AF
2
3
， 则
∠F1 AF2 的 角 平 分 线 所 在 直 线 l 的 一 个 方 向 向 量 为
(
1 ， 0 ． 2
)
k） ， ( －54，－58 ) = λ（ 1，
1 y －0 2 = ， 于是直线 l 的方程为 即 2x － y － 1 = 0． 3 －0 1 2－ 2 解法 2 又 3） ． 又 cos∠F1 AB = cos∠F2 AB， ∴ 即 （ － 4， － 3） （ x － 2， － 3） | AF1 | · | AB | 又 = （ x － 2， － 3） （ 0， － 3） | AF2 | · | AB | 1 ， 0 )． (2 设∠F1 AF2 的角平分线所在直线 l 与 x 轴的交 0） ， 0） ， F2 （ 2 ， 0） ． 点为 B（ x， 如图 1 ， 由（ 1 ） 有： F1 （ － 2 ， A（ 2 ， 3） ，
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解题技巧与方法
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一道数学高考题的多种解法
◎司政君 巩继忠 （ 甘肃省陇南市武都区两水中学 746010 ） 1 2 ， 即 2x － y － 1 = 0． 1 2－ 2 x－ 【摘要】 以解题教学的角度， 结合教材内容， 从不同角度 对 2010 年高考安徽数学理科第 19 （ 2 ） 题的解法进行 入手， 探讨． 【关键词】 直线方程； 两点式方程； 点斜式方程； 代入法 （ 2010 年高考安徽数学理科第 19 题） 已知椭圆 E 经过 3） ， F2 在 x 轴上， 对称轴为坐标轴， 焦点 F1 ， 离心率 点 A（ 2 ， 1 e= ． 2 （ 1 ） 求椭圆 E 的方程． （ 2 ） 求∠F1 AF2 的角平分线所在直线 l 的方程． （ 3 ） 在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点？ 若存在， 请找出； 若不存在， 说明理由． 为同文章题目一致， 这里直接给出第（ 1 ） 小题的答案： 椭圆 E 的 方 程 为 解法． 解法 1 由 （ 1 ） 有： F1 （ － 2 ， 0） ， F2 （ 2 ， 0 ） ． 又 A （ 2， 3） ， 于是 得 AF2 所在直线的 ∠F1 AF2 的边 AF1 ， 方程分别为 3x － 4y + 6 = 0 和x = 2． 设 ∠F1 AF2 的 角 平 分 线 所 在 0） ， 如 直线 l 与 x 轴的交点为 B（ x， 0 ） 到两边的距离分 图 1， 则点 B（ x， 别为 | 3x － 4 × 0 + 6 | 和 2 － x， 于是有 5 | 3x － 4 × 0 + 6 | 1 = 2 － x， 解得 x = ， 即B 5 2 x－
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又
| F1 F2 | = 4 ， | AF2 | = 3 ， 于是 tan2 α = ∴ tan2 α = 即有
4 ， 3
直线 l 的方程为 y － 3 = 2 （ x － 2 ） ， 即 2x － y － 1 = 0． 解法 6 设直线 l 的斜率为 k， 作 BE ⊥ AF1 ， 垂足为 E， 如图 2 ， 由∠F1 AB = ∠F2 AB， 得 | BE | = | BF2 | ． 0） ， F2 （ 2 ， 0） ． 由（ 1 ） 有： F1 （ － 2 ， 3） ， | AF2 | = 又 A（ 2 ， 则 AF2 ⊥ x 轴于 F2 ， 于是： | AF1 | = 5 ， 3， | F1 F2 | = 4． ∵ S △ABF1 + S △ABF2 = S △AF1F2 ， 1 1 1 ∴ |AF1 | · |BE| + |AF2 | · |BF2 | = |F1 F2 | · |AF2 | ， 2 2 2 化简， 得 5 | BE | + 3 | BF2 | = 12 ， | AF2 | 3 3 = = 2． ∴ | BF2 | = ， 即k = 2 3 | BF2 | 2 于是直线 l 的方程为 y － 3 = 2 （ x － 2 ） ， 即 2x － y － 1 = 0． 解法 7 设直线 l 的斜率为 k， 令∠F1 AB = ∠F2 AB = α， 0） ， F2 （ 2 ， 0） ． 由（ 1 ） 有： F1 （ － 2 ， 又 A（ 2 ， 3） ， AF2 ⊥x 轴于 F2 ， 于是 tan∠F2 AB = tanα = （ 上接 70 页） 三、 让数学猜想在拓展教学中自由翱翔 书本中许多知识点都有可以拓展的空间， 在拓展教学 中也包含了数学猜想、 类比归纳的过程． 在教学中我们要深 恰当处理， 引导学生进行猜想， 激 入挖掘教材的猜想因素， 发学生学习的主动性和参与性， 使学生自主学习能力和创 造性思维能力在猜想中得到更好的发展 ． 案例 5 二次根式的化简． 8 =2槡 2． 在 在计算器操作实数的运算时， 我们会发现槡 我觉得有必要提前让学生探索二次 学生好奇心的驱使下， 3 ×2 =槡 6， 3 ×槡 2= 根式的性质． 浙教版尝试从以下例子 槡 槡 6， ab = 槡 a ×槡 b． 这种按照 从中归纳得到二次根式的性质 槡 槡 剥夺了学生的想象力， 根本没有发展 给定程序操作的设计， 学生的数学猜想与归纳能力 ． 因此， 笔者作出调整： 请学生在计算器输入以下根式 8， 12 ， 20 ， 得到结果： 槡 槡 槡 8 =2 槡 2； 槡 12 = 2 槡 3； 槡 20 = 2 槡 5． 槡 学生的好奇心将引导他们类比这三个式子， 从而得到规律 8 =2 槡 2 =槡 4 ×槡 2； 槡 12 = 2 槡 3 =槡 4 ×槡 3； 槡 20 = 2 槡 5 =槡 4 ×槡 5． 槡 “有意安排” 与教材的 相比， 这种设计， 真正发挥了学生 锻炼了学生的数学猜想思维 ． 的主动性， 案例 6 绝对值与距离的延伸． 《绝对值》 | x | 表示数轴上表示 x 的点到原点 在 一课中， 在课堂上可适当启发学生思考它到数轴上另一点 的距离" ， y 的距离能否用绝对值表示， 怎么表示， 并作出猜想． 它既可 1 ． k 又
2 2 2 即 2 + （ 2 － x） = （ x + 2 ） ，
图 2
| BE | = | BF2 | = | 2 － x | ， | BF1 | = | x + 2 | ，
x2 y2 + = 1． 下 面 只 讨 论 第 （ 2 ） 小 题 的 16 12
解得 x =
1 ， 即B 2
， 0 ． (1 2 ) 1 2 ， 即 2x － y － 1 = 0． 1 2－ 2 x－
图 1
y －0 = 于是直线 l 的方程为 3 －0 解法 3
由 （ 1 ） 有： F1 （ － 2 ，
0） ， F2 （ 2 ， 0 ） ． 又 A（ 2 ， 3） ， 则 AF2 ⊥ x 轴于 F2 ． 设 ∠F1 AF2 的角平分线 所在直线 l 与 x 轴的交点为 B （ x， 0） ， 作 BE⊥AF1 ， 垂足为 E， 如图 2． ∵ ∠F1 AB = ∠F2 AB， | AF1 | = 5， ∴ | EF1 | = 2． 又 ∴ | EF1 | 2 + | BE | 2 = | BF1 | 2 ，
→
→
→
→
，
－ 4x + 17 9 1 = ， 解得 x = ， 即B 5 3 2
3 4 1 = ， 由∠F1 AB = ∠F2 AB， 有 3k k 1+ 4
数学学习与研究 2012. 5
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解题技巧与方法
2 即 2k － 3k － 2 = 0 ， 1 k = 2． 解得 k = － （ 舍去） ， 2
也能为 以提升学生对绝对值与距离之间关系的深层理解， 竞赛中的绝对值和最小问题奠定基础知识 ． 在教学中， 我发现学生在探索的时候会走这样的弯路： b 同号时， 当 a， 两者距离为 | a | － | b | b 异号时， 当 a， 两者距离为 | a | + | b | 这样将不利于其普遍性的探索， 需引导： x 到 1 的距离为 | x － 1 | x 到 2 的距离为 | x － 2 | x 到 － 1 的距离为 | x + 1 | x 到 － 2 的距离为 | x + 2 | x 到 y 的距离为 | x － y | ． 由此猜想得到， 此时， 强调对数轴上表示 x 的点到原点的距离， 我们可 理解为 | x － 0 | = | x | ． 学生课后展开探索， 有利于激起学生对后继学习的兴 ． 趣， 使课堂延伸到了课外 四、 结束语 数学猜想是数学认识过程中不可缺少的一环节， 是数 学思维的基本要素． 数学史上的许多重要成就都是借助于 各种数学新观念的产生， 都或多或少有他 数学猜想获得的， 们的作用． 让数学猜想贯穿整个数学学习的生命线， 让学生 在琢磨解题与课堂拓展中发展能力 ． 另外， 我还有一个大胆地想法， 我们还可在课堂总结时渗 例如， 从数 透数学猜想． 用新学的知识类比猜想未知的知识， 平面直角坐标系的特点猜想空间立体坐标系的特点， 从代 轴、 数的平均值公式猜想几何中数轴上两点的中点公式， 等等． 【参考文献】 2010 潘俊． 让猜想在数学教学中飞扬 ． 中学数学参考， （ 3） ．
2 tanα 4 1 = ， 解得 tanα = ， 2 1 － tan2 α 3
1 1 = ， 解得 k = 2． k 2
于是直线 l 的方程为 y － 3 = 2 （ x － 2 ） ， 即 2x － y － 1 = 0． 解法 8 0） ， F2 （ 2 ， 0） ． 由（ 1 ） 有： F1 （ － 2 ， A（ 2 ， 3） ， AF2 ⊥x 轴于 F2 ， AF2 所在直线的 于是边 AF1 ， 设∠F1 AF2 的角平分线所在直线 l 上任意一点 M （ x' ， y' ） （ 不同于点 A） ， y' ） 到 ∠F1 AF2 两边 AF1 ， AF2 则点 M （ x' ， 的距离分别为 于是有 | 3x' － 4y' + 6 | 和 2 － x'． 5
∴
－4 （ 1， 2 ） = λ（ 1 ， k） ， 即 k = 2． 5 0） ， F2 （ 2 ， 0 ） ． 又 A（ 2 ， 3） ， 由（ 1 ） 有： F1 （ － 2 ， Βιβλιοθήκη Baidu 3 0 －3 = ． －2 －2 4 k－
直线 l 的方程为 y － 3 = 2 （ x － 2 ） ， 即 2x － y － 1 = 0． 解法 5
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方程分别为 3x － 4y + 6 = 0 和 x = 2．
| 3x' － 4y' + 6 | = 2 － x' ， 5
∴ 3x' － 4y' + 6 = － 5 （ 2 － x' ） 或 3x' － 4y' + 6 = 5 （ 2 － x' ） ， 即 x' + 4y' － 8 = 0 （ 舍去） ， 或 2x' － y' － 1 = 0． 于是直线 l 的方程为 2x － y － 1 = 0．
y －0 = 于是直线 l 的方程为 3 －0 解法 4
0） ， F2 （ 2 ， 0 ） ． 又 A（ 2 ， 3） ， 由（ 1 ） 有： F1 （ － 2 ， 于
是向量 AF1 和向量 AF2 上的单位向量分别是 0 －3 －4 －8 ， )=( ， )． ( －54，－53 ) + ( 3 3 5 5 k） ， 设直线 l 的方向向量为 λ（ 1 ， 则有：
是直线 AF1 的斜率为
→ AB → = （ x － 2 ，－ 3 ） ， → ∴ AF1 = （ － 4 ，－ 3 ） ， AF2 = （ 0 ，－
3 4 ， 设直线 l 的斜率为 k， 则 tan∠F1 AB = 3k 1+ 4 AF2 ⊥x 轴于 F2 ， ∴ tan∠F2 AB = k－ 1 ． k