一道高考题的五种解法

一道高考题的五种解法-中学数学论文

一道高考题的五种解法

高成龙

（首都师范大学数学科学学院，北京100048）

摘要：数学被称为思维的体操，一题多解可以透过多个角度来审视一道题目，对学生的解题能力有很大提高。本文通过对一道高考题进行深入分析，得出五种解法，拓展了解题思路，培养学生探究式学习的兴趣。

关键词：三角函数；一题多解；高考

中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-11-0025-01 题目：（2012年全国大纲卷·理7）已知α为第二象限角，且si nα+cosα=33，则cos2α=（）

A.－53

B.－59

C.53

D.59

分析一：利用三角函数基本公式sin2α+cos2α=1，联立方程组来求解得sinα,cosα的值，进而求得cos2α的值.

解法一：sin2α+cos2α=1（1），sinα+cosα=33（2），联立（1）式与（2）式消去cosα得：2sin2α－233sinα－23=0，

求得sinα=3+156或sinα=3－156.

又由题设α为第二象限角，所以sinα0，即sinα=3+156 ，代入（2）式得cosα=3－156，由cos2α=cos2α－sin2α得cos2α=－53，选A.

分析二：在解法一中求得sinα的值之后，无需在求cosα，直接利用cos2α=1－2sin2α来求cos2α的值.

解法二：由解法一求得sinα=3+156，由cos2α=1－2sin2α得cos2α=1－

2sin2α=1－23+1562=－53，选A.

分析三：根据sinα+cosα=33先求得sin2α的值，进而求得cos2α的值.

解法三：因为sinα+cosα=33，将其两边完全平方得:

sinα+cosα2=1+sin2α=13，解得:sin2α=－23，利用sin22α+cos22α=1得cos2α=±53，由题设α∈π2,π，则2α∈π,2π，即2α位于第三或第四象限，这样cos2α的符号不唯一，因此这种方法不能确定cos2α的符号.

下面从另一个角度来确定cos2α的符号：根据二倍角公式cos2α=cos2α－sin2α=cosα+sinα·cosα－sinα，因为α为第二象限角，所以cosα0,sinα0，从而cosα－sinα0，另外sinα+cosα=330，因此cos2α0，从而cos2α=－53，选A.

分析四：解法思路同解法三相同，区别在于判断cos2α的符号取决于cosα与sinα的大小.

解法四：同解法三实质一样，求得cos2α=±53，下面来判断cos2α的符号，因为α为第二象限角，所以cosα0,sinα0，且sinα+cosα=330，从而sinαcosα，因此cos2α=cosα2－sinα20，从而cos2α=－53，选A.

分析五：由已知sinα+cosα的值，利用恒等式去求解cosα－sinα的值，进而求得cos2α的值.

解法五：由于题目已知sinα+cosα=33,为避免求sin2α的值，直接利用恒等式cosα+sinα2+cosα－sinα2=2得cosα－sinα2=53，又由解法三cosα－sinα0，因此cosα－sinα=－153，从而cos2α=cosα+sinα·cosα－sinα=33×－153=－53,选A.

作者简介：高成龙，首都师范大学数学科学学院，2012级研究生，研究方向：

数学教育。