一道初中几何题的多种解法

一道初中几何题的多种解法

【题目】已知：过ABC ∆的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E . 求证：

FB

AF

ED AE 2=. 【分析】平行线分线段成比例 【提示】系数2既是难点，又是突破点

【解法1】

证：连BE ，则由同高三角形面积关系得

BCF ACF BEF AEF S S S S FB AF ∆∆∆∆==，CDE AEC

S S ED AE ∆∆=

根据等比性质得：

BCE ACE

BEF BCF AEF ACF S S S S S S FB AF ∆∆∆∆∆∆=

--= ∵D 为BC 的中点， ∴D CE BCE S S ∆∆=2 ∴

DE AE FB AF 2=，即FB

AF

ED AE 2= 【解法2】

证：过D 作CF DM //交AB 于M ，

∵CF DM //， ∴

FM

AF

ED AE = ∵D 为BC 的中点，CF DM //

∴M 为BF 的中点，即BF MF 2

1

=

， ∴BF AF

ED AE 2

1

=

，即FB AF ED AE 2= 【解法3】

证：过D 作AB DN //交CF 于N ，

∵AB DN //，

C

D

B C

C

∴

DN

AF

ED AE = ∵D 为BC 的中点，AB DN // ∴N 为CF 的中点，

∴DN 为BCF ∆的中位线，则BF DN 2

1

= ∴

BF AF

ED

AE 2

1=

，即FB AF ED AE 2= 【解法4】

证：过B 作CF BG //交AD 延长线于G ，

∵CF BG //， ∴

EG

AE

FB AF = ∵D 为BC 的中点，CF BG // ∴D 为GF 的中点，即DE EG 2=

∴

DE AE

FB AF 2=， 即FB

AF

ED AE 2= 【解法5】

证：过B 作AD BH //交CF 延长线于H ，

∵AD BH //，

∴BH

AE

FB AF = ∵D 为BC 的中点，AD BH // ∴E 为CH 的中点，

∴DE 为BCH ∆的中位线，则DE BH 2= ∴DE AE FB AF 2=，即FB

AF

ED AE 2=

【解法6】

证：过A 作BC AK //交CF 延长线于K ，

∵BC AK //，

G C

C

∴

BC AK FB AF =，DC

AK

ED AE = ∵D 为BC 的中点， ∴DC BC 2=

∴

ED AE

DC AK BC AK FB AF 22=== 即FB

AF

ED AE 2=

【解法7】

证：过A 作CF AP //交BC 延长线于P ，

∵CF AP //， ∴

CB PC

FB AF =， CD

PC

ED AE = ∵D 为BC 的中点， ∴DC BC 2=

∴

ED AE

CD PC CB PC FB AF 22=== 即FB

AF

ED AE 2= 【解法8】

证：过D 作AC DP //交CF 延长线于P ，交AB 于Q ，

∵AC DP //， ∴

DP AC ED AE =，QP

AC

FQ AF = ∵D 为BC 的中点，AC DP // ∴Q 为AB 的中点，

即FQ AF BF 2+=，AC DQ 2

1

=，

∵QP AC FQ AF =，由合比性质得FQ AF AF

PQ AC AC +=+21212121，即BF AF DP AC 2

1=

C

∴

BF AF

ED

AE 2

1=

，即FB AF ED AE 2= 【解法9】

证：过B 作AC BM //分别交CF 、AD 的延长线于M 、N ，

∵AC BM //， ∴

BM AC FB AF =，MN

AC

EN AE = ∵D 为BC 的中点，AC BM // ∴DN AD =，AC BN = 则ED AE EN 2+=，

∵MN AC EN AE =，即MN

AC

ED AE AE =+2 由合比性质得AC

MN AC

ED AE -=2， 即BM AC

ED AE =2 ∴BF AF ED AE =2，即FB

AF

ED AE 2= 【解法10】

证：过C 作AD CK //交BA 延长线于K ，

∵AD CK //，D 为BC 的中点， ∴AB AK =，AD CK 2=， ∵AD CK //

∴

FK AF CK AE =，即AK AF AF

AD AE +=2， ∴AK

AF AF

AD AE +=2 由合比性质得

AF AK AF AF

AE AD AE 22-+=

-，即

AF

AB AF

DE AE -=2， ∴FB

AF

ED AE 2=

【解法11】

N

M

C

D

B C

C