初中平面几何一题多变

题 46（在题 38 的基础上变一下） 已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，PC 为⊙ABC 的切线，又 CE 平分 ∠ACB 交⊙ABC 与 E，交 AB 与 D ， 若 PA=5，PC=10， 求 CD·CE 的值
hing at a time and All things in their being are good for somethin
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题 41 已知，如图，△ABC 中， CD⊥AB，D 为垂足，且 AD/CD=CD/BD，
求∠ACB 的度数。
题 42 已知，CD 是△ABC 的 AB 边上的高， D 为垂足，且 AD/CD=CD/BD， 则∠ACB 一定是 90 度吗？为什么？
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求证：（1）BF·CE= BE·DF （2）AE⊥CF （3）设 AE 与 CD 交于 Q，则 FQ‖BC
21、已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，以 CD 为直径的圆交 AC、BC 于 E、F， 求证： CE：BC=CF：AC（注意本题和 16 题有无联系）
=(AD-DB)AB =2DM*AB
26、（在 19 题基础上增加一条平行线） 已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，AE 平分∠BAC 交 BC 于 E、交 CD 于 F，FG‖AB 交 BC 于点 G， 求证：CE=BG
27、（在 19 题基础上增加一条平行线） 已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，AE 平分∠BAC 交 BC 于 E、交 CD 于 F，FG‖BC 交 AB 于点 G，连结 EG， 求证：四边形 CEGF 是菱形
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19、（增加题 1 的条件）AE 平分∠BAC 交 BC 于 E， 求证：CE：EB=CD：CB
20、（增加题 1 的条件）CE 平分∠BCD，AF 平分∠BAC 交 BC 于 F
题 34 （在 19 题基础上增加一条垂线） 已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足， AE 平分 CD 于 F，EG⊥AB 交 AB 于点 G， 求证：EG^2= BE·EC
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32 题证明： 作 NS‖CD 交直线 AC 与点 S， 则 PQ/PN=CQ/SN 又∠BCE=∠BCD ∴QM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理） ∠BCE+∠NCS=∠BCD +∠ACD NS‖CD，∴∠NSC=∠ACD ∴∠NSC=∠NCS
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题 36、（在题 16 中，减弱条件，删除∠ACB=90 度这个条件） 已知，△ABC 中， CD⊥AB，D 为垂足，DE⊥AC 于 E，DF⊥BC 于 F， 求证：CE/BC=CF/AC
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24、已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足， E 为 ACD 的中点，连 ED 并延长交 CB 的延长线于 F， 求证：DF：CF=BC：AC
25、如图，⊙O1 与⊙O2 外切与点 D， 内公切线 DO 交外公切线 EF 于点 O， 求证：OD 是两圆半径的比例中项。
题 14 解答： 因为 CD^2=AD·DB
AC^2=AD·AB BC^2=BD·AB 所以 1/AC^2+1/BC^2 =1/（AD·AB）+1/（BD·AB） =（AD+DB）/（AD·BD·AB） =AB/AD·BD·AB
∴SN=CN ∴PQ/PN=QM/MN
题 33 在“题一中”，延长 CB 到 E，使 EB=CB，连结 AE、DE， 求证：DE·AB= AE·BE
题 33 证明 CB^2= BD·AB 因 EB=CB ∴EB^2= BD·AB ∴EB：BD=AB：BE 又∠EBD=∠ABE ∴△EBD∽△ABE ∴EB：AB=DE：AE ∴DE·AB= AE·BE
题 39 （在题 19 中点 E“该为 E 为 BC 上任意一点”） 已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足， E 为 BC 上任意一点，连结 AE，CF⊥AE，F 为垂足，连结 DF， 求证：△ADF∽△AEB
题 40： 已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足 求证：S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB
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=1/AD·BD =1/CD^2 15 题解答： 因为 M 为 AB 的中点，所以 AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DM AC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB
31、（在题 1 中增加一个条件） 已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，∠A=30 度， 求证：BD=AB/4 （沪科版八年级数学第 117 页第 3 题） 32、（在 18 题基础上增加一条直线） 已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，作∠BCE=∠BCD P 为 AC 上任意一点，直线 PQ 交 CD 于 Q，交 CB 于 M，交 CE 于 N 求证：PQ/PN=QM/MN
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题 45、 已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，作以 AC 为直径的圆 O1，和以 BD 为直径的圆 O2，设 O1 和 O2 在△ABC 内交于 P 求证： △PAD 的面积和△PBC 的面积相等
题 49
题 49 解答：
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题目 50（题 33 再变） 已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，延长 CB 到 E，使 EB=CB，连结 AE 交 CD 的延长线于 F，如果此时 AC=EC， 求证： AF= 2FE
证明：延长 AC、GE，设交点为 H， ∴△EBG∽△EHC ∴EB：EH=EG：EC ∴EH·EG= BE·EC 又 HG‖CD，CF=FD ∴EH=EG ∴EG^2= BE·EC
题 35（在题 19 中增加点 F） 已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足， AE 平分∠BCA 交 BC 于点 E，交 CD 于 F， 求证：2CF·FD = AF·EF
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30、（在 19 题中增加一个圆） 已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，AE 平分∠BAC 交 BC 于 E，交 CD 于 F， 求证：⊙CED 平分线段 AF
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平面几何一题多变
在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨， 以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中 总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。 “一题多变”的常用方法有： 1、变换命题的条件与结论； 2、保留条件，深化结论； 3、减弱条件，加强结论； 4、探讨命题的推广； 5、考查命题的特例； 6、生根伸枝，图形变换； 7、Βιβλιοθήκη 力赛，一变再变； 8、解法的多变等。
22、已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，以 AD 为直径的圆交 AC 于 E，以 BD 为直径的圆交 BC 于 F， 求证： EF 是⊙O1 和⊙O2 的一条外公切线
23、已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，作以 AC 为直径的圆 O1，和 以 CD 为弦的圆 O2， 求证：点 A 到圆 O2 的切线长和 AC 相等（AT=AC）
题 43： 已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，△ADC 的内切圆⊙O1， △BDC 的内切圆⊙O2， 求证：S⊙O1：S⊙O2=AD：DB
题 44： 已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，△ADC 的内切圆⊙O1 的半径 R1，△BDC 的内切圆⊙O2 的半径 R2，△ABC 的内切圆⊙O 的半径 R，求证： R1+R2+R=CD
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（题 51 的几种解法） 解法 1、 作∠ACB 的平分线交 AB 于点 G，易证△ACG≌△CEF ∴CG=EF ∴证△CBG≌△EBF ∴∠ABC=∠EBF
题 45 解： ∠CAP=∠CDP=∠DBP（圆周角、弦切角） ∴Rt△APC∽Rt△BPD ∴AP·PD= BP·PC 又∠APD 和∠CPB 互补（∠APC+∠BPD=180 度） S △PAD=1/2·AP·PD·sin∠APD S △PBD=1/2·BP·PC·sin∠CPB ∴S △PAD= S △PBD