第四章矩阵微分方程

第四章 矩阵微分方程
4.1 线性定常系统的状态方程
1.线性常系数齐次微分方程组的解
dx1 dt

a11x1 a12 x2

a 1n xn
dx2 dt
a21x1 a22 x2

a 2n xn
dxn dt
an1x1 an2 x2

xi xi (t), aij C
a nn xn
0
例 求常系数线性齐次微分方程组
dy1 (t ) dt

2 y1

2 y2

y3
dy2 (t) dt

y1

y2

y3
dy3 (t) dt

y1

2 y2

2 y3
y1(0) 1
在初始条件y
(0)


y2
(0)



1

下的解。
y3(0) 3
x(t) t t0

x(t0 )
（4.2）
定解问题(4.2)的定解为
t
x(t) eA(tt0 ) x(t0 ) e A(tv)Bu(v)dv
t0
dx(t) Ax(t) x(t) eAtc dt
设x(t) eAtc(t)为 非 齐 次 方 程 组 的 解 ，则
dx(t)＝AeAtc(t) eAtc'(t) Ax(t) eAtc'(t) Ax(t) Bu(t) dt
x1(0) y0
令x(t)


x2 (t)
,
x(0)


x2
(0)



y '0





xn (t)


xn (0)

y ( n 1) 0

定解问题(4.3)可写成
dx(t) Ax(t)； x(t) x(0) （4.4）
（1）定解问题(4.1)的解为x(t) eA(tt0 ) x(t0 ), 并且这个解是唯一的；
（2）解x(t)的秩与t的取值无关.
2.线性常系数非齐次微分方程组的解
设A (aij )nn 与B (bij )nm 是常数矩阵，而
x1(t)
u1(t)
x(t
)


x2

x(t0
)


x21 (t0
)
x22 (t0 )

x2m (t0 )
xn1(t0 ) xn2 (t0 ) xnm (t0 )
定理 设定解问题为：
dx Ax； dt
x(t) t t0

x(t0 )
（4.1）
其中，x(t)是t的可微函数的n m矩阵，
x(t0 )是n m阶常数矩阵，A是给定的n阶 常数方阵, 则
(t
)

xn1(t)
x12 (t) x22 (t)
xn2 (t)
x1m (t)
x2m
(t
)

,

xnm (t)
则方程 dx Ax是n m个未知函数的线性常系数齐次微分 dt
方程组。
x11(t0 ) x12 (t0 ) x1m (t0 )
x(t)
t t0
y(i) (t)
t 0

y(i) 0
,
i

0,1,, n
1
令x1 y, x2 y ' x '1 ,
xn y(n1) x 'n1
x '1 x2 , x2 ' x3,
x 'n1 xn , xn ' an x1 an1x2
x1(t)
dt
t0
a1xn
其中
0

0
A

0
an
1 0
0 an1
0 1
0 an2
0
0


1

a1
定解问题 (4.4)的解为x(t) eAt x(0)
定解问题(4.3)的解为
y (1, 0, 0, , 0)x(t)
(1, 0, 0, , 0)eAt x(0)
(1, 0, 0,
y0
, 0)eAt
y0 '



y (n1) 0

n阶常系数线性非齐次方程的定解问题： y(n) a1 y(n1) a2 y(n2) an y u(t) (4.5) y(i) (t) t0 y0(i) , i 0,1,, n 1
(t
)
，u(t
Fra Baidu bibliotek
)


u2
(t
)



xn (t)
um (t)
都是函数向量，其中u1(t),u2 (t), ,um (t)是
已知函数，则称 dx(t) Ax(t) Bu(t) dt
为线性常系数非齐次微分方程组。
定解问题：
dx(t) Ax(t) Bu(t)； dt
t0
3. n阶常系数微分方程的解
设a1, a2, , an为常数，u(t)为已知函数，称 y(n) a1 y(n1) a2 y(n2) an y u(t) 为n阶常系数微分方程.当u(t) 0时，称为非齐次的； 否则，称为齐次的。
n阶常系数线性齐次方程的定解问题：
y(n) a1 y(n1) a2 y(n2) an y 0 (4.3)
dx(t) Ax(t) Bu(t)； x(t) x(0)
dt
t0
B (0, 0, .0,1)T
t
x(t) eAt x(0) eA(tv)Bu(v)dv
0
定解问题(4.5)的解为
t
y(t) (1,0,,0)(e At x(0) eA(tv)Bu(v)dv)
设
a11 a12
A


a21
a22

an1 an2
则 dx Ax dt
a1n
a2
n

,

ann
x1(t)
x(t
)


x2
(t
)


xn (t)
若未知函数x(t)不是列向量，而是n m矩阵
x11(t)
x(t
)


x21
t
c'(t) eAtBu(t)c(t) eAtBu(t)dt c t0
t
x(t) eAtc(t) eAt eAtBu(t)dt ceAt t0
x(t0 ) ceAt0 ,c eAt0 x(t0 )
t
x(t) eAt eAvBu(v)dv eAt0 x(t0 )eAt
2 2 1
解
定解问题的解为y(t
)

e
At
y(0),
其中A


1
1
1

,
下面求e
At。