2015届高考数学文二轮专题训练专题八第1讲函数与方程思想

第1讲函数与方程思想

1．函数与方程思想的含义

(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．

(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．

2．和函数与方程思想密切关联的知识点

(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0

时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．

(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．

(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．

(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．

(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.

热点一 函数与方程思想在不等式中的应用

例1 (1)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________.

(2)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是__________． 答案 (1)4 (2)(－∞，－3)∪(0,3)

解析 (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1

x

3.

设g (x )＝3x 2－1

x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4

，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，

因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫

12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0)时，

f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x

3，

设g (x )＝3x 2－1

x 3，且g (x )在区间[－1,0)上单调递增，

因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.

(2)设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )在R 上为奇函数．

又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， 所以x <0时，F (x )为增函数．

因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以x >0时，F (x )也是增函数． 因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)．

所以，由图可知F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．

思维升华 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f (x )>0或f (x )<0恒成立，一般可转化为f (x )min >0或f (x )max <0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解．

(1)若2x ＋5y ≤2－

y ＋5－

x ，则有( )

A ．x ＋y ≥0

B ．x ＋y ≤0

C ．x －y ≤0

D ．x －y ≥0

(2)已知函数f (x )＝1

2x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )

A ．m ≥3

2

B ．m >32

C ．m ≤3

2

D ．m <32

答案 (1)B (2)A

解析 (1)把不等式变形为2x －5－

x ≤2－

y －5y ，构造函数y ＝2x －5－

x ，其为R 上的增函数，所

以有x ≤－y .

(2)因为函数f (x )＝1

2x 4－2x 3＋3m .所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝3，经检验

知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －27

2，不等式f (x )＋9≥0恒

成立，即f (x )≥－9恒成立，

所以3m －272≥－9，解得m ≥3

2，故选A.

热点二 函数与方程思想在数列中的应用 例2 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列．

(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；

(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1

S 2n ，若对任意的n ∈N *，

不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值． 解 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0， 所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )， 得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)因为S n ＝n (n ＋1)， b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1

S 2n

＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)

＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3

＋…＋12n －1

2n ＋1

＝

1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1

＝1

2n ＋1n

＋3

，

令f (x )＝2x ＋1

x

(x ≥1)，