第10章1静电场的描述
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Ex [sin sin( )] , 4 0 x 2 2 2 0 x Ey [cos( ) cos ] 0, E 4 0 x 2 2 20 x
l1
y
2. 设棒长为l ，x>>l， 无穷远点场强，
sin 1 l x
1.建立坐标系； 2.确定电荷密度: 3.求电荷元电量; 体 , 面 , 线 ；
4.确定电荷元的场 dE
5.求场强分量Ex、Ey、EZ；
1 dq e 2 r 40 r
Ex dEx ,
20
E y dE y , EZ
2
dE
Z
2 2 E E E 求总场 x y EZ
,...qn 电荷系产生的电场中， 2. 将q 放在点 q1, q2 , q 3 q 受到的作用力为 F 。 F 比值 与检验电荷无关，反映电场本身的性质。 q
13
F 1、定义空间某点的电场强度为： E q0 即单位正电荷在电场中某点受到的力
2.单位：牛顿/库仑，N· C1或伏特/米，v/m 3.方向：正检验电荷在该点的受力方向 q
q1
6
q2
F
F
12
1 q1q2 e r 2 4π 0 r
N m C
1 2 2
F
er
0：真空中的介电常数（真空电容率）
0 8.85 10
静电力的叠加原理：
库仑定律是一个矢量方程， 它满足叠加原理。
q1 rO1 qo rO3
1 q0 qi F0 F0i er0i 2 i 1 i 1 40 r0i
Ey
24
x x (cos1 cos 2 ) ( ) 0, 4 0 x 4 0 x x x 相当于点电荷的电场
l q 40 x 2 40 x 2
例3.均匀带电圆环半径为R，带电量为q,求：圆环轴线上 一点的场强。 dq 解：电荷元dq的场
由场对称性 E∥=0
o
同样可得：
2 (cos1 cos 2 ) Ey sin θdθ 4 0 x 40 x 1
Ex (sin 2 sin 1 ), 4 0 x
2 x 1
x
23
Ey (cos1 cos 2 ) 4 0 x
讨论: 1. 无限长均匀带电直线， θ1= -π/2, θ2=π/2,
e r 表示 r 的单位矢量。
E E3 2
r2
q2
r
E
位矢
O 场源
q
r1
q1
17
p
r3
q3
E1
n 1 n qi E Ei e 2 r 40 i 1 ri i 1
3．连续分布的电荷电场中的电场强度
dE
电荷元dq在P 点的场强：
解:线电荷密度λ dq dy
1 λdy 1 dq er dE e 2 2 r 40 r 40 r
1 λdy dEx cos, 2 40 r
dE y 1 λdy sin 2 40 r
y
dq
o
r 2 P
dEx
1 x
dEy
x
dE
x r x / cos , y xtgθ, dy 2 dθ cos θ
dE
带电体在P点的场强： E dE
线电荷： dq dl 面电荷： dq dS 体电荷： dq
18
dq e 2 r 4π 0 r
dq
P
dq e 2 r 4π 0 r
dl E e 2 r 40 r l
E
S
dS e 2 r 40 r
q E 2 4 0 x
1
相当于点电荷的场 R
q
E
2 R 2
o
26
2 R 2
x
例4.求一半径为 R、电荷面密度为 的均匀带电圆盘在其轴线 上任一点的场强. dr 解：以盘心为原点，x 轴沿轴线方向，如图 所示，在任意半径 r 处取一宽为 dr 的圆环， ro 其电量
dV
ρdV E e 2 r 40 r V
4. 电偶极子
电偶极子： 大小相等，符号相反且存在一微小间 距的两个点电荷构成的复合体。
电偶极矩： p ql
-q
p
q
l
电偶极子是个很重要的物理模型，在研究 电极化、电磁波的发射和接收时都会用到。
19
解题思路及步骤：
q qx x E dq 3 0 2 2 3/2 q 40 r 4 0 ( x R )
dq
R
o
r
x
讨论: 1.环心处：x=0, E=0 2.当 x >> R,
2
(x R )
2 3/2
x
3
2
dq '
dE∥
dE x dE
x
d qx dE 2 0 , 0 , x R 3.场强极大值位置： 2 2 3/ 2 令 dx 2 dx 4 0 ( x R )
1 e 1 q q 1 2 解：库仑力大小 F 2 e 2 4 0 r 4 0 r
万有引力大小 F G m 1m 2 G m p m e 引 2 2
2
r
r
Fe 1 e 39 F引 4 0G m p m e 2 .26 10
9
2
电场 电场强度
10
一、电场
电荷间的相互作用力靠什么来传播呢？
带电现象：物体经摩擦后对轻 微物体有吸引作用的现象。 两种电荷： • 硬橡胶棒与毛皮摩擦后 所带的电荷为负电荷。 • 玻璃棒与丝绸摩擦后所带的电荷为正电荷。 电荷的基本性质：
同种电荷相斥，异种电荷相吸
4
电荷量：物体带电荷的多少。
q ne
n = 1，2，3，…
电荷量单位： 库仑（C） 元电荷量： e 1.602 1019 C 电荷守恒定律：在一个孤立系统中，无论发生了怎
2 1 2
o
2 1
x
x
,
sin 2
l2
cos1
x
l x
2 2
2
,
l x
2 1
2
,
cos 2
x l x
2 2 2
,
E l l ( 1 2) 40 x x x
l2 l1 Ex (sin 2 sin 1 ) ( ), 4 0 x 4 0 x x x
i 1
q2
n E E1 E2 En Ei
F2
q0
证毕
16
F1 Fi
3.场强分布与场源电荷的关系 F 1 q 1.点电荷的场强 E e 2 r q 40 r
p
求场点
的方向：从源点指向场点。 r
2.ห้องสมุดไป่ตู้电荷系的场强
1 dq dE e 2 r 40 r
2 x 2 ∥
q
R
o
r
dE '
x
dE∥
E E E
Ex
dE x
dE
x
E Ex dEx
0
q
25
x cos r
dE cos
0
q
dq '
q 0
E
dq x 2 40 r r
r 与 x 都为常量
1
电磁学介绍宏观电磁场的基本规律
主要内容有
1、电场的描述及其规律
2、磁场的描述及其规律
3、电场和磁场的相互联系——电磁感应和电磁波 在现代社会中，电磁学的理论及应用都是非常 普遍的。其中包括场（电磁场）和路（电路）两个 部份。本课程的内容以电磁场为主。
2
静电场
电荷 库仑定律
3
电荷 库仑定律
1 电荷
22
r x / cos , y xtgθ,
x dy 2 dθ cos θ
1 λdy 1 λ( x / cos2 θ )dθ λ dEx cosθ cosθ cosθdθ 2 2 40 ( x / cosθ ) 40 x 40 r y
2 Ex cosdθ (sin 2 sin 1 ) 40 x 1 4 0 x
物理意义
r
q0
注意几点
1、电场强度与检验电荷无关，只与场源电荷和场点位 置有关 2、电场强度的大小等于单位正电荷在电场中所受的力
3、q<0时电场强度的方向沿 -r 方向。
14
2.场强迭加原理 （1）独立作用原理：各个点电荷电场作用是相互独 立的，一个场不影响另一个场的作用。
（2）叠加原理：点电荷系电场中空间某点的场强为 各个点电荷在该点单独存在时产生的场强的矢量和。
电场是一种客观存在，是物质存在的一种形式。 静电场(electrostatic field）：相对于观察者静止的电荷周 围产生的电场。
12
二、电场强度
描写电场性质的物理量。 1.电场强度的定义
电场
q0 F
+
Ea
出发点:从电场的电荷受力出发，引入一描述电场的物理量。
q 本身携带电荷足够小；是点电荷。 1. 检验电荷：
例1.求电偶极子中垂线上一点的电场强度。 电偶极子：一对等量异号的点电荷系。 E 电偶极矩: p ql
y
E
y
解：E E E
由对称性分析Ey=0
Ex Ex 2 E Ex x
E E
x x
P
Ey
2E cos
1）电荷是通过电场来作用的。 电场的基本性质：对处在其中的其它电荷会产生作 用力，该力称为电场力。 电荷q1 电场E 电荷q2
电场是电荷周围存在的一种特殊物质。
11
2）场的物质性体现在： a.给电场中的带电体施以力的作用。 b.当带电体在电场中移动时，电场力作功，表明电场 具有能量。
c.变化的电场以光速在空间传播，表明电场具有动量 3）电场与实物有何不同? 电场与实物之间的不同在于电场具有叠加性。
1 q 解： F 4 0 x 2 x/2 tg sin mg mg l
简化上式：
2
l θθ T q x
l
q2 x 2 4 0 m gx 2l
x3 q l 2 0 mg
2
F
q
mg
解出x得：
8
例2.经典的氢原子中电子绕核旋转，质子质量 Mp = 1.6710-27 kg , 电子质量 me= 9.1110-31 kg , 求电子与质子间的 库仑力Fe与万有引力F引之比。
cos l 2 r l 4
2 2
E
r
x
EP 2 E cos
21
q
因为r >>l 所以
p ql
o
l
q
4π 0 r l 4
2 2
ql
32
ql p EP 3 4π 0 r 4π 0 r 3
例2.电荷均匀分布在一根长直细棒上，此棒电荷线密度 为λ。试计算距细棒垂直距离为x的P点的场强。已知细 棒两端和P点的连线与X轴的夹角分别为θ1和θ2。
n n
q3
rO 4
q4
rO 2
q2
库仑定律的适用范围：库仑定律适用于真空中点电荷 的相互作用力。
对于较大的带电体间的作用力可用积分法计算。
7
例1.两个相同的小球，质量都是m，带等值同号电荷q, 各用长为l的丝线悬挂于一点。如图所示。设θ很小， 以致tgθ可以近似地用sinθ代。两球之间的距离x等于多 少？
电磁学是研究电磁现象的规律的学科 电磁学现象的定量的理论研究过程:
1、1785年库仑研究电荷之间的相互作用，即库仑定律 2、泊松、高斯等人的研究形成了静电场/静磁场理论（超距作用） 3、1786年迦伐尼发现电流，后经伏特、欧姆、法拉第等人发现了 关于电流的定律 4、1820年，奥斯特发现了电流的磁效应，很快毕奥、萨伐尔、安 培、拉普拉斯等作了进一步定量的研究 5、1831年法拉第发现了有名的电磁感应现象，并提出了场和力线 的概念，进一步结实了电报与磁的联系 6、麦克斯韦集前人之大成，加上他的关于感应电场和位移电流的 假说，建立了以一套方程组为基础的完整的宏观的电磁场理论
n E E1 E2 En Ei
i 1
场强迭加原理
15
n E E1 E2 En Ei
检验电荷受力 F F 1F 2 F n
两边除q0 证明：
i 1
q1
qi
p
Fn F F1 F2 q0 q0 q0 q0
样的物理过程，电荷不会创生，也不会消失，只能从 一个物体转移到另一个物体上。
5
2
库仑定律
真空中的库仑定律： 真空中两个静止点电荷相互作用力F 的大小与这两个点 电荷所带电荷量 q1和q2 的乘积成正比，与它们之间的距离 r 的平方成反比。作用力F 的方向沿它们的连线方向，同 号相斥，异号相吸。
r
l1
y
2. 设棒长为l ，x>>l， 无穷远点场强，
sin 1 l x
1.建立坐标系； 2.确定电荷密度: 3.求电荷元电量; 体 , 面 , 线 ；
4.确定电荷元的场 dE
5.求场强分量Ex、Ey、EZ；
1 dq e 2 r 40 r
Ex dEx ,
20
E y dE y , EZ
2
dE
Z
2 2 E E E 求总场 x y EZ
,...qn 电荷系产生的电场中， 2. 将q 放在点 q1, q2 , q 3 q 受到的作用力为 F 。 F 比值 与检验电荷无关，反映电场本身的性质。 q
13
F 1、定义空间某点的电场强度为： E q0 即单位正电荷在电场中某点受到的力
2.单位：牛顿/库仑，N· C1或伏特/米，v/m 3.方向：正检验电荷在该点的受力方向 q
q1
6
q2
F
F
12
1 q1q2 e r 2 4π 0 r
N m C
1 2 2
F
er
0：真空中的介电常数（真空电容率）
0 8.85 10
静电力的叠加原理：
库仑定律是一个矢量方程， 它满足叠加原理。
q1 rO1 qo rO3
1 q0 qi F0 F0i er0i 2 i 1 i 1 40 r0i
Ey
24
x x (cos1 cos 2 ) ( ) 0, 4 0 x 4 0 x x x 相当于点电荷的电场
l q 40 x 2 40 x 2
例3.均匀带电圆环半径为R，带电量为q,求：圆环轴线上 一点的场强。 dq 解：电荷元dq的场
由场对称性 E∥=0
o
同样可得：
2 (cos1 cos 2 ) Ey sin θdθ 4 0 x 40 x 1
Ex (sin 2 sin 1 ), 4 0 x
2 x 1
x
23
Ey (cos1 cos 2 ) 4 0 x
讨论: 1. 无限长均匀带电直线， θ1= -π/2, θ2=π/2,
e r 表示 r 的单位矢量。
E E3 2
r2
q2
r
E
位矢
O 场源
q
r1
q1
17
p
r3
q3
E1
n 1 n qi E Ei e 2 r 40 i 1 ri i 1
3．连续分布的电荷电场中的电场强度
dE
电荷元dq在P 点的场强：
解:线电荷密度λ dq dy
1 λdy 1 dq er dE e 2 2 r 40 r 40 r
1 λdy dEx cos, 2 40 r
dE y 1 λdy sin 2 40 r
y
dq
o
r 2 P
dEx
1 x
dEy
x
dE
x r x / cos , y xtgθ, dy 2 dθ cos θ
dE
带电体在P点的场强： E dE
线电荷： dq dl 面电荷： dq dS 体电荷： dq
18
dq e 2 r 4π 0 r
dq
P
dq e 2 r 4π 0 r
dl E e 2 r 40 r l
E
S
dS e 2 r 40 r
q E 2 4 0 x
1
相当于点电荷的场 R
q
E
2 R 2
o
26
2 R 2
x
例4.求一半径为 R、电荷面密度为 的均匀带电圆盘在其轴线 上任一点的场强. dr 解：以盘心为原点，x 轴沿轴线方向，如图 所示，在任意半径 r 处取一宽为 dr 的圆环， ro 其电量
dV
ρdV E e 2 r 40 r V
4. 电偶极子
电偶极子： 大小相等，符号相反且存在一微小间 距的两个点电荷构成的复合体。
电偶极矩： p ql
-q
p
q
l
电偶极子是个很重要的物理模型，在研究 电极化、电磁波的发射和接收时都会用到。
19
解题思路及步骤：
q qx x E dq 3 0 2 2 3/2 q 40 r 4 0 ( x R )
dq
R
o
r
x
讨论: 1.环心处：x=0, E=0 2.当 x >> R,
2
(x R )
2 3/2
x
3
2
dq '
dE∥
dE x dE
x
d qx dE 2 0 , 0 , x R 3.场强极大值位置： 2 2 3/ 2 令 dx 2 dx 4 0 ( x R )
1 e 1 q q 1 2 解：库仑力大小 F 2 e 2 4 0 r 4 0 r
万有引力大小 F G m 1m 2 G m p m e 引 2 2
2
r
r
Fe 1 e 39 F引 4 0G m p m e 2 .26 10
9
2
电场 电场强度
10
一、电场
电荷间的相互作用力靠什么来传播呢？
带电现象：物体经摩擦后对轻 微物体有吸引作用的现象。 两种电荷： • 硬橡胶棒与毛皮摩擦后 所带的电荷为负电荷。 • 玻璃棒与丝绸摩擦后所带的电荷为正电荷。 电荷的基本性质：
同种电荷相斥，异种电荷相吸
4
电荷量：物体带电荷的多少。
q ne
n = 1，2，3，…
电荷量单位： 库仑（C） 元电荷量： e 1.602 1019 C 电荷守恒定律：在一个孤立系统中，无论发生了怎
2 1 2
o
2 1
x
x
,
sin 2
l2
cos1
x
l x
2 2
2
,
l x
2 1
2
,
cos 2
x l x
2 2 2
,
E l l ( 1 2) 40 x x x
l2 l1 Ex (sin 2 sin 1 ) ( ), 4 0 x 4 0 x x x
i 1
q2
n E E1 E2 En Ei
F2
q0
证毕
16
F1 Fi
3.场强分布与场源电荷的关系 F 1 q 1.点电荷的场强 E e 2 r q 40 r
p
求场点
的方向：从源点指向场点。 r
2.ห้องสมุดไป่ตู้电荷系的场强
1 dq dE e 2 r 40 r
2 x 2 ∥
q
R
o
r
dE '
x
dE∥
E E E
Ex
dE x
dE
x
E Ex dEx
0
q
25
x cos r
dE cos
0
q
dq '
q 0
E
dq x 2 40 r r
r 与 x 都为常量
1
电磁学介绍宏观电磁场的基本规律
主要内容有
1、电场的描述及其规律
2、磁场的描述及其规律
3、电场和磁场的相互联系——电磁感应和电磁波 在现代社会中，电磁学的理论及应用都是非常 普遍的。其中包括场（电磁场）和路（电路）两个 部份。本课程的内容以电磁场为主。
2
静电场
电荷 库仑定律
3
电荷 库仑定律
1 电荷
22
r x / cos , y xtgθ,
x dy 2 dθ cos θ
1 λdy 1 λ( x / cos2 θ )dθ λ dEx cosθ cosθ cosθdθ 2 2 40 ( x / cosθ ) 40 x 40 r y
2 Ex cosdθ (sin 2 sin 1 ) 40 x 1 4 0 x
物理意义
r
q0
注意几点
1、电场强度与检验电荷无关，只与场源电荷和场点位 置有关 2、电场强度的大小等于单位正电荷在电场中所受的力
3、q<0时电场强度的方向沿 -r 方向。
14
2.场强迭加原理 （1）独立作用原理：各个点电荷电场作用是相互独 立的，一个场不影响另一个场的作用。
（2）叠加原理：点电荷系电场中空间某点的场强为 各个点电荷在该点单独存在时产生的场强的矢量和。
电场是一种客观存在，是物质存在的一种形式。 静电场(electrostatic field）：相对于观察者静止的电荷周 围产生的电场。
12
二、电场强度
描写电场性质的物理量。 1.电场强度的定义
电场
q0 F
+
Ea
出发点:从电场的电荷受力出发，引入一描述电场的物理量。
q 本身携带电荷足够小；是点电荷。 1. 检验电荷：
例1.求电偶极子中垂线上一点的电场强度。 电偶极子：一对等量异号的点电荷系。 E 电偶极矩: p ql
y
E
y
解：E E E
由对称性分析Ey=0
Ex Ex 2 E Ex x
E E
x x
P
Ey
2E cos
1）电荷是通过电场来作用的。 电场的基本性质：对处在其中的其它电荷会产生作 用力，该力称为电场力。 电荷q1 电场E 电荷q2
电场是电荷周围存在的一种特殊物质。
11
2）场的物质性体现在： a.给电场中的带电体施以力的作用。 b.当带电体在电场中移动时，电场力作功，表明电场 具有能量。
c.变化的电场以光速在空间传播，表明电场具有动量 3）电场与实物有何不同? 电场与实物之间的不同在于电场具有叠加性。
1 q 解： F 4 0 x 2 x/2 tg sin mg mg l
简化上式：
2
l θθ T q x
l
q2 x 2 4 0 m gx 2l
x3 q l 2 0 mg
2
F
q
mg
解出x得：
8
例2.经典的氢原子中电子绕核旋转，质子质量 Mp = 1.6710-27 kg , 电子质量 me= 9.1110-31 kg , 求电子与质子间的 库仑力Fe与万有引力F引之比。
cos l 2 r l 4
2 2
E
r
x
EP 2 E cos
21
q
因为r >>l 所以
p ql
o
l
q
4π 0 r l 4
2 2
ql
32
ql p EP 3 4π 0 r 4π 0 r 3
例2.电荷均匀分布在一根长直细棒上，此棒电荷线密度 为λ。试计算距细棒垂直距离为x的P点的场强。已知细 棒两端和P点的连线与X轴的夹角分别为θ1和θ2。
n n
q3
rO 4
q4
rO 2
q2
库仑定律的适用范围：库仑定律适用于真空中点电荷 的相互作用力。
对于较大的带电体间的作用力可用积分法计算。
7
例1.两个相同的小球，质量都是m，带等值同号电荷q, 各用长为l的丝线悬挂于一点。如图所示。设θ很小， 以致tgθ可以近似地用sinθ代。两球之间的距离x等于多 少？
电磁学是研究电磁现象的规律的学科 电磁学现象的定量的理论研究过程:
1、1785年库仑研究电荷之间的相互作用，即库仑定律 2、泊松、高斯等人的研究形成了静电场/静磁场理论（超距作用） 3、1786年迦伐尼发现电流，后经伏特、欧姆、法拉第等人发现了 关于电流的定律 4、1820年，奥斯特发现了电流的磁效应，很快毕奥、萨伐尔、安 培、拉普拉斯等作了进一步定量的研究 5、1831年法拉第发现了有名的电磁感应现象，并提出了场和力线 的概念，进一步结实了电报与磁的联系 6、麦克斯韦集前人之大成，加上他的关于感应电场和位移电流的 假说，建立了以一套方程组为基础的完整的宏观的电磁场理论
n E E1 E2 En Ei
i 1
场强迭加原理
15
n E E1 E2 En Ei
检验电荷受力 F F 1F 2 F n
两边除q0 证明：
i 1
q1
qi
p
Fn F F1 F2 q0 q0 q0 q0
样的物理过程，电荷不会创生，也不会消失，只能从 一个物体转移到另一个物体上。
5
2
库仑定律
真空中的库仑定律： 真空中两个静止点电荷相互作用力F 的大小与这两个点 电荷所带电荷量 q1和q2 的乘积成正比，与它们之间的距离 r 的平方成反比。作用力F 的方向沿它们的连线方向，同 号相斥，异号相吸。
r