2.4.2 空间向量与垂直关系 课件(北师大选修2-1)

π π |a|＝|b|＝|c|＝a，且〈a，b〉＝ ，〈a，c〉＝ . 3 3 而 BC ＝ OC － OB ＝c－b， BC ∴ OA · ＝a· (c－b)＝a· c－a· b， 1 2 1 2 ＝|a||c|cos〈a，c〉－|a||b|cos〈a，b〉＝ a － a ＝0， 2 2 ∴ OA ⊥ BC ，即OA⊥BC.
CC1 的中点，∴M1，0，
6 . 2
6 ∴ AM ＝1，－ 3， ， BA1 ＝(0， 3， 6)． 2 6 ∴ AM · 1 ＝1×0－3＋ × 6＝0. BA 2 ∴ AM ⊥ BA1 ，即 AM⊥BA1.
[一点通]
用向量法证明两直线互相垂直时，
可以证明两直线的方向向量a，b的数量积为零，即
a· b＝0.若图形易于建立空间直角坐标系，则可用坐
标法进行证明，否则可用基向量分别表示a，b后进
行证明．
1．四面体OABC中，各棱长均为a，求证：OA⊥BC. 证明：令 OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，由题意
6.如图，ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的
正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．求证： 平面AB1D⊥平面ABB1A1.
证明：法一：取 AB1 的中点 M，则 DM ＝ DC ＋ CA ＋ AM . 又因为 DM ＝ DC1 ＋ C1 B1 ＋ B1 M ，

x＝ 3y， n· 1 A ＝0， B 则 即 z＝2y， B n· 1 D ＝0，
x ，y ，z · 1 1 1 2，0，0＝0， ∴ x1，y1，z1· 2，2，1＝0， x ＝0， 1 ∴ 2y1＋z1＝0.
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令 y1＝－1，得 n1＝(0，－1,2)．同理可得 n2＝(0,2,1)． ∴n1·2＝(0，－1,2)· n (0,2,1)＝0，知 n1⊥n2. ∴平面 DEA⊥平面 A1FD1.
证明：建立如图所示坐标系，令正方体的棱长为 1，则
1 1 1 A(1,0,0)，B1(1，1,1)，C(0,1,0)，E1，1，2，F2，2，1，
1 1 1 则 AB1 ＝(0,1,1)， AC ＝(－1,1,0)， EF ＝－2，－2，2.
可以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空 间直角坐标系．可设出点N坐标后利用方程 MN · 1 ＝ DC 0，进行求解．
[精解详析]
建立空间直角坐标系，如图．
1 则C1(0,2,3)，M2，2，0，D(0,0,0)，
∴ DC1 ＝(0,2,3)．设点N(0,0，h)，

法一：令平面 B1AC 的法向量为 n＝(x，y，z)， n· 1 ＝0， AB 则 AC n· ＝0，
z＝－y， 得： x＝y，
令 y＝1 得
1 1 1 n＝(1,1，－1)＝－2－2，－2，2＝－2 EF ， ∴n∥ EF ，
3a a ， ，0， 2 2
3 3 3 a ∴ CE ＝ a，－ a，0， B1 A ＝ a， ，－a， 4 2 4 2
a B1 D ＝0，a，－2.设平面 AB1D 的法向量 n＝(x，y，z)，
如图，建立空间直角坐
标系，不妨假设正方体的棱长为 2， 则 A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0，2,0)， B1(2,2,2)，O(1,1,0)． 于是 OB1 ＝(1,1,2)， AC ＝(－2,2,0)， AP ＝(－2,0,1)．由于 OB1 · ＝－2＋ AC 2＝0， OB1 · ＝－2＋2＝0. AP 所以 OB1⊥AC，OB1⊥AP. 又 AC PAC，AP PAC，且 AC∩AP＝A， 面 面 所以 OB1⊥平面 PAC.
所以DM⊥AA1，DM⊥AB， 又AA1∩AB＝A， 所以DM⊥平面ABB1A1，而DM 平面AB1D. 所以平面AB1D⊥平面ABB1A1.
法二：如图建立空间直角坐标系，取 AB 的 中 点 E，连 接 CE，由题 意知 CE⊥平 面 ABB1A1.
由图知，C(0，a,0)，E a a)，D0，a，2，A 3a a ， ，0，B1(0,0， 4 4
[例2]
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中
点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC. [思路点拨] 欲证B1O⊥平面PAC，只需证明 B1O 与 平面PAC内的两条相交直线都垂直， B1O 与这两条相交直
线的方向向量的数量积为0即可．
[精解详析]
考点一
§4 第 二 课 时 把握 热点考向 考点二 考点三
第 二 章
应用创新演练
第二课时 空间向量与垂直关系
[例1]
直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD
是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点，在 DD1上存在一点N，使MN⊥DC1，试确定N点位置． [思路点拨] 本题中DA，DC，DD1两两垂直，故
3 a a， ， 2 2
(3 分)
3 3 法一：可得 EF ＝－ a， a，0，BA ＝(0,0，a)，BC ＝ 4 4 3 3 a， a，0， 2 2 BC ∴ EF · ＝0， EF · ＝0. BA
2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90° ，AB＝ 3， BC＝1，BB1＝ 6，M为CC1中点，求证：AM⊥BA1.
证明：如图，建立空间直角坐标系，则 B(0,0,0)，C(1,0,0)，A(0， 3，0)，B1(0,0， 6)， A1(0， 3， 6)，C1(1，0， 6)． ∵M 为
即AB1⊥BD，AB1⊥BA1. 又BD∩BA1＝B，∴AB1⊥平面A1BD.
[例3]
(12分)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，
BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是 AC，AD的中点．求证：平面BEF⊥平面ABC. [思路点拨] 本题可建立空间坐标系后，证明面
BEF内某一直线的方向向量为面ABC的法向量；也可分别
得出两面的法向量，证明法向量垂直．
[精解详析]
C
建立空间直角坐标系如图，设
AB＝a，则 BD＝ 3a，于是 A(0,0，a)，B(0,0,0)，
3 3 3 3 a D(0， 3a,0)， a， a， ， E a， a，0， 2 2 4 2 4
F0，
3 3 ∴ CD ＝－ a， a，0为平面ABC的一个法向量． 2 2
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
3 3 ∴n· ＝0，即(x，y，z)· EF － a， a，0＝0. 4 4
∴x＝y.
3 a 由n· ＝0，即(x，y，z)· BF 0， a， ＝0， 2 2
1 则 MN ＝－2，－2，h.

1 ∵MN⊥DC1，则 MN · 1 ＝－2，－2，h· (0,2,3)＝－4 DC
4 4 ＋3h＝0.∴h＝ ，则N0，0，3. 3
4 故N点在DD1上且|DN|＝ 时，有MN⊥DC1. 3
4．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为
CC1中点．
求证：AB1⊥平面A1BD.
证明：取BC中点O，B1C1中点O1，以O 为原点， OB ， OO1 ， OA 的方向为x， y，z轴的正方向建立如图所示的空间直 角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)， A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0)， ∴ AB1 ＝(1,2，－ 3)， BD ＝(－2,1,0)， BA1 ＝(－1,2， 3)． ∵ AB1 · ＝－2＋2＋0＝0， AB1 · 1 ＝－1＋4－3＝0， BA BD ∴ AB1 ⊥ BD ， AB1 ⊥ AB1 .
(6 分)
即 EF⊥AB，EF⊥BC.
(8 分)
又AB∩BC＝B，∴EF⊥平面ABC. 又EF 平面BEF，∴平面ABC⊥平面BEF. 法二：∵∠BCD＝90° ，∴CD⊥BC. 又AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD. 又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
(10分) (12分) (1分) (2分) (3分) (4分)
∴EF⊥平面 B1AC.
1 1 1 法二：∵ EF ＝－2，－2，2， B1 A ＝(0，－1，－1)，

B1C ＝(－1,0，－1)， 又 EF · 1 A ＝0， EF · 1C ＝0， B B
∴EF⊥B1A，EF⊥B1C 又B1C∩B1A＝B1，∴EF⊥平面B1AC.
两式相加，得 2 DM ＝ CA ＋ C1 B1 ＝ CA ＋ CB ，
由于2 DM · 1 ＝(CA ＋ CB )· 1 ＝0， AA AA 2 DM · ＝( CA ＋ CB )·CB － CA )＝ ( AB 2 2 | CB | －| CA | ＝0，
[一点通]
用向量法证明线面垂直时，可直接证明
直线的方向向量与面内两相交直线的方向向量垂直；也 可证明直线的方向向量与平面的法向量平行．可由图形 特点建立直角坐标系后用坐标法证明，也可利用基向量
法进行处理．
3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，E，F分别是BB1、D1B1的中点． 求证：EF⊥平面B1AC.
[一点通] 用向量法证明两平面垂直时，可证其中一面内某条 直线的方向向量与另一面内的两相交直线的方向向量垂 直；也可直接得出两平面的法向量，证明两平面的法向 量互相垂直．
5．已知：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1， CD的中点．求证：平面DEA⊥平面A1FD1.
证明：建立空间直角坐标系如图． 令 DD1＝2，则有 D(0,0,0)，D1(0,0,2)， A(2,0,0)，A1(2，0,2)，F(0,1,0)， E(2,2,1)． 设 n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面 DEA，平面 A1FD1 的法向量，则 n1⊥ DA，n1⊥ DE .
(6分)
3 a 有 ay＋ z＝0，∴z＝－ 3y. 2 2 取y＝1，得n＝(1,1，－ 3)．
3 3 CD ∵n· ＝(1,1，－ 3)· － a， a，0＝0， 2 2 ∴n⊥ CD .∴平面BEF⊥平面ABC.
(8分) (9分) (10分) (12分)