1.1.3北师大版八年级下册数学等腰三角形第三课时教案

1.3等腰三角形

一、学习目标

1.理解等腰三角形的判定定理,并会运用其进行简单的证明.

2.了解反证法的基本证明思路,并能简单应用.

二、创设情境引入新课

下列问题,要求学生独立思考后再进行交流.

【问题1】等腰三角形性质定理的内容是什么?这个命题的条件和结论分别是什么?

【问题2】我们是如何证明上述定理的?

【问题3】我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗?在一个三角形中,如果两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,对吗?

三、引导自主学习

1.等腰三角形的判定定理

以前我们通过改变问题的条件,得出了很多类似的结论,这是研究问题的一种常用方法,除此之外,我们还可以交换命题的条件和结论“反过来”思考问题,这也是获得数学结论的一条途径.比如“等边对等角”,反过来成立吗?也就是:有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?下面我们一起证明这个结论.先请同学们画出图形,写出已知、求证.

证明:有两个角相等的三角形是等腰三角形.

已知:如图所示,在△ABC中,∠B=∠C.

求证AB=AC.

师:同学们完成得很好,下面怎样来完成证明过程呢?(停顿一下,给学生思考时间.)同学们回想一下,我们是怎样证明“等边对等角的”?

生1:作辅助线构造两个全等的三角形,使AB与AC成为对应边就可以了.

生2:类比前面定理的证明的方法,猜想通过作BC边上的中线,或作∠A的平分线,或作BC 边上的高,都可以把△ABC分成两个全等的三角形.

师:很好!同学们可在练习本上尝试一下是否可行,我现在把大家分成三大组,请写出三种证明过程来.

从而得出等腰三角形的判定定理:

定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理可以简述为:等角对等边.

几何语言:

在△ABC中,∵∠B=∠C(已知),∴AB=AC(等角对等边).

(教材例2)已知:如图所示,AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E, 求证△AED是等腰三角形.

证明:∵AB=DC, BD=CA,AD=DA,

∴△ABD≌△DCA (SSS).

∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).

∴AE=DE(等角对等边).

∴△AED是等腰三角形.

2.反证法

如果否定命题的条件,是否也能获得一个数学结论?我们一起来“想一想”.

小明说,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗?

有学生提出:“认为这个结论是成立的.因为画了几个三角形,观察并测量发现,如果两个角不相等,它们所对的边也不相等.但要像证明“等角对等边”那样证明却很难,像这种从正面

入手很难证明的结论,我们有没有别的证明思路和方法呢?

我们来看一位同学的想法:

如图所示,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等,要么不相等.

假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B,这与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾,因此AB≠AC.

你能理解他的推理过程吗?

这位同学在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.

(教材例3)用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角.

已知:△ABC.

求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角.

证明:假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A和∠B是直角,即∠A=90°,∠B=90°,

于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.

这与三角形内角和定理矛盾,因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.

所以,一个三角形中不能有两个角是直角.

四、精讲点拨

1.等腰三角形的判定定理和性质定理是互逆的,解有关等腰三角形问题时,等腰三角形底边上的高线、中线、顶角平分线通常是作辅助线需要重点考虑的线段.

2.反证法首先要假设命题的结论不成立即命题结论的反面成立，从而推出与已知、公理、定理相矛盾的结论证明假设不成立。

五、测评反馈

1.已知:如图所示,OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3 cm,则CD等于 ()

A.3 cm

B.4 cm

C.1.5 cm

D.2 cm

2.(2015·西安中考)如图所示,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有()

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

3.如图所示,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论:①△BDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周长等于AB与AC的和;④BF=CF.其中正确的有()

A.①②③

B.①②③④

C.①②

D.①

4.用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中,至多有一个锐角”的第一步是.

六、总结提升