高中数学必修五解三角形知识点归纳

解三角形一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-(2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===(3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理：2sin sin sin a b cR C===A B ．R 为C ∆AB 的外接圆的半径）正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2aR A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）)三．余弦定理：2222cos a b c bc =+-A2222cos b a c ac =+-B 2222cos c a b ab C =+-．注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论：222cos 2b c a bc+-A =222cos 2a c bac+-B =222cos 2a b cC ab+-=． ①若222ab c+=，则90C=； ②若222a b c +>，则90C<；③若222a b c +<，则90C >．余弦定理主要解决的问题：（1）.已知两边和夹角求其余的量。

（2）.已知三边求其余的量。

注意：解三角形与判定三角形形状时，实现边角转化，统一成边的形式或角的形式四、三角形面积公式：等差数列一．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． 二．符号表示:1n n a a d +-=（n>=1） 三．判断数列是不是等差数列有以下四种方法：(1)),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- （可用来证明） (2)211-++=n n n a a a (2≥n )（可用来证明） (3)b kn a n +=(k n ,为常数)(4)12n n s a a a =+++是一个关于n 的2次式且无常数项 四.等差中项a ，A ，b 成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项．五.通项公式:()11n a a n d =+-(是一个关于的一次式,一次项系数是公差)通项公式的推广：()n m a a n m d =+-； n ma a d n m -=-．六.等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=(注意利用性质特别是下标为奇数)②()112n n n S na d -=+(是一个关于n 的2次式且无常数项,二次项系数是公差的一半) 七.等差数列性质:(1)若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+； (2)若2n p q =+则2n p q a a a =+． (3) (4)且公差为原公差的成等差数列,}S {n n(5)①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1nn S a S a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 成等差数列 n n n S S 232n n S ,S ,S --（6）若等差数列{ an} {bn}的前n 项和为则八．等差数列前n 项和的最值(1)利用二次函数的思想:n da n d S n )2(212-+=(2)找到通项的正负分界线 ①若 则 有最大值，当n=k 时取到的最大值k 满足②若则 有最大值，当n=k 时取到的最大值k 满足,n nS T ⎩⎨⎧<>01d a n s⎩⎨⎧≤≥+01k k a a ⎩⎨⎧><001d a ⎩⎨⎧≥≤+001k k a a n s1212--=n n n n T S b a等比数列一．定义、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．二．符号表示：1n na q a += 注：①等比数列中不会出现值为0的项；②奇数项同号，偶数项同号 （３）合比性质的运用三．数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n （可用来证明）②112-+⋅=n n na a a (2≥n )（可用来证明）③nncqa =(q c ,为非零常数).（指数式）④从前n 项和的形式（只用来判断） 四.等比中项:在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．（注：由2G ab =不能得出a ，G ，b 成等比，由a ，G ，b ⇒2G ab=）五.等比数列的通项公式：11n n a a q-=．通项公式的变形： (1) n mn m a a q-=；(2)n mnm a qa -=．(注意合比性质的利用)六．前n 项和的公式：①()()()11111111n n n na q S a q a a qq qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩． ②12n ns a a a =+++=A+B*q n ,则A+B=0七．等比数列性质: (1)若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅；(2)若2n p q =+ 则2np q a a a =⋅． (3)通项公式的求法: (1).归纳猜想(2).对任意的数列{na }的前n 项和nS 与通项na 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n检验第②式满不满足第①式，满足的话写一个式子，不满足写分段的形式 (3).利用递推公式求通项公式 1、定义法:符合等差等比的定义 2、迭加法:3、迭乘法:4、构造法:5.如果上式后面加的是指数时可用同除指数式6.如果是分式时可用取倒数成等比数列 n n n S S 232n n S ,S ,S --1()n n a a f n +-=1()n na f n a +=1n n a qa p+=+(4)同时有和与通项有两种方向 一种:当n 大于等于2,再写一式,两式相减,可以消去前n 项和 二种:消去通项数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n naa c其中{ na }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

(分式且分母能分解成一次式的乘积)3.错位相减法:适用于{}nn b a 其中{ na }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.5.常用结论（1）: 1+2+3+...+n = 2)1(+n n （2） 1+3+5+...+(2n-1) =2n（3）2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n （４）)12)(1(613212222++=++++n n n n ;（5)111)1(1+-=+n n n n不等式一、不等式的主要性质： （1）对称性：ab b a <⇔>（2）传递性：c a c b b a >⇒>>, （3）加法法则：c b c a b a +>+⇒>；（4）同向不等式加法法则：d b c a d c b a +>+⇒>>, （5）乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0, （6）同向不等式乘法法则：bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 （7）乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b ab a n n且（8）开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a nn且（9）倒数法则：b a ab b a 110,<⇒>> 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax及其解法二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象))((212x x x x a c bx ax y --=++=))((212x x x x a c bx ax y --=++=cbx ax y ++=2一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根a bx x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx << ∅∅三．含有参数的二次不等式的解法: (1) 二次项系数(正负零) (2) 根一种:能分解因式,主要是比较根的大小 。

二种:能分解因式就从判别式进进行行讨论(3)画图写解集 四、线性规划1.在平面直角坐标系中，直线0x y C A +B +=同侧的点代入后符号相同，异侧的点相反2.由A 的符号来确定：先把x 的系数A 化为正后，看不等号方向：①若是“>”号，则0x y C A +B +>所表示的区域为直线:0x y C A +B +=的右边部分。

②若是“<”号，则0x y C A +B +<所表示的区域为直线 0x y C A +B +=的左边部分。

注意：)0(0<>++或C By Ax 不包括边界；)0(0≤≥++C By Ax 包括边界3.求解线性线性规划问题的步骤 (1)画出可行域(注意实虚) (2)将目标函数化为直线的斜截式(3)看前的系数的正负.若为正时则上大下小,若为负则上小下大 4.非线性问题:(1)看到比式想斜率 （2）看到平方之和想距离 四、均值不等式1、设a 、b 是两个正数，则2a b+称为正数a 、b 的算术平均数(等差中项)称为正数a 、b 的几何平均数．(等比中项)2、基本不等式（也称均值不等式）： 如果a,b 是正数，那么).""(22号时取当且仅当即==≥+≥+b a ab ba ab b a 注意：使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：（a 、b 为正数），即ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+（当a = b 时取等）4、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭． 5、极值定理：设x 、y 都为正数，则有：⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值． 五、含有绝对值的不等式1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 ；代数意义：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0a 0 00||a a a a a 2、则不等式：如果,0>a(1) ax a x a x -<><=>>或|| ；(2)a x a x ax -≤≥<=>≥或||(3) ax a ax <<-<=><|| ；(4)a x a ax ≤≤-<=>≤||注意:上式中的x 可换成f(x)3、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号 、其他常见不等式形式总结：① 式不等式的解法：移项通分,化分为整0)()(0)()(>⇔>x g x f x g x f ；⎩⎨⎧≠≥⇔≥0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f ②指数不等式：)()()1()()(x g x f a a a x g x f >⇔>>)()()10()()(x g x f a a a x g x f <⇔<<>③对数不等式：⎪⎩⎪⎨⎧>>>⇔>>)()(0)(0)()1)((log )(log x g x f x g x f a x g x f a a⎪⎩⎪⎨⎧<>>⇔<<>)()(0)(0)()10)((log )(log x g x f x g x f a x g x f a a ④高次不等式：数轴穿线法口诀: “从右向左，自上而下；奇穿偶不穿，遇偶转个弯；小于取下边，大于取上边”。