高考数学(文)专题15+统计的命题规律
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
高考数学新课标命题规律归纳
高考数学新课标命题规律归纳考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备，高考数学新课标命题规律是怎样的呢?下面是店铺为大家整理的高考数学新课标命题规律，请认真复习!高考数学新课标命题规律总结1、广泛覆盖基础知识，重点考查主干知识(1) 知识模块全面考查:本套试卷注重从学科结构上设计试题，全面覆盖中学数学教材中的理科21个知识模块和文科20个知识模块，知识点的覆盖面在60%左右。
除主干知识重点考查外，已广泛涉及复数、集合、三视图、程序框图、逻辑与推理，几何概型，随机数，模拟方法等(新课程的新增加内容有意识考查)，特别地，还注重了数学的现实情景和历史文化(如理科第5, 8, 12, 18题，文科第8, 9, 16, 18题)。
这就有利于注重基础知识、基本概念的教学。
(2) 主干内容重点考查:试卷在全面覆盖知识模块的同时，突出了学科的主干内容:函数、立体几何、解析几何、数列、概率与统计、导数的应用以及不等式、三角函数、向量等摸块在试卷中占有较高的比例，整体结构合理，同时也达到了必要的考查深度。
对促进中学课程改革起到了良好的导向作用。
其中，三角函数虽然没有出现在必做解答题，但理科第7, 9, 13题以及第11, 19, 23题(文科第3, 11, 15, 23题)等，已广泛涉及三角函数的图像和性质、同角关系公式、诱导公式、正弦定理等，依然是考查的重点内容。
主干内容的考查以模块内综合为主，也有知识模块之间的交汇、渗透与综合，如文、理科第17题有数列与取整函数的交叉，理科第19题有平面图形、简单几何体与空间向量的交叉等。
2、注重思想方法，凸显能力素养(1)注重思想方法的考查:试卷在全面覆盖基础知识、基本技能的同时，七个基本数学思想在试卷中都有所涉及，其中，函数与方程的数学思想(如理科第3, 4, 7, 9, 12, 13, 20, 21, 23, 24等题)，数形结合的数学思想(如理科1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 19, 20, 21,22, 23, 24等题)，化归与转化的数学思想(如理科第5, 10, 12, 18, 19, 21等题)体现较多。
高考统计答题知识点
高考统计答题知识点统计学在现代社会中扮演着至关重要的角色，而在高考中，统计学也是一个重要的考点。
了解和掌握高考统计答题的知识点对于提高解题能力和取得优异成绩非常有益。
下面将介绍一些高考统计答题的关键知识点。
一、数据类型与描述性统计1. 数据类型高考统计答题中常见的数据类型有：定性数据和定量数据。
定性数据是指以某种特征或属性来区分的数据，如性别、颜色等；定量数据则是可以进行数值表示和统计运算的数据，如年龄、身高等。
2. 描述性统计描述性统计是对数据进行总结和描述的过程。
在解题过程中，常见的描述性统计方法有：频数、频率、众数、中位数、平均数等。
掌握这些方法，可以帮助我们更好地理解和分析统计数据。
二、抽样与调查1. 抽样方法抽样是统计学中常用的一种数据收集方法。
在高考统计答题中，常见的抽样方法有：随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
了解各种抽样方法的应用场景和特点，可以有效避免抽样误差，提高数据准确性。
2. 调查设计在进行统计调查时，需要合理设计调查方案。
调查设计包括确定样本规模、制定调查问卷、选择调查方式等。
合理的调查设计可以确保数据的代表性和可靠性。
三、概率与统计推断1. 概率基础概率是统计学中的重要概念，用于描述事件发生的可能性。
在高考统计答题中，常见的概率计算方法包括：排列组合、加法法则、乘法法则等。
掌握概率的基础知识，可以帮助我们解决与概率相关的统计问题。
2. 统计推断统计推断是通过样本数据对总体进行估计和推断的过程。
在高考统计答题中，常见的统计推断方法有：参数估计、假设检验等。
通过合理运用统计推断方法，可以对总体进行准确的估计和推断。
四、统计图表与统计学应用1. 统计图表统计图表可以直观地反映数据的分布和规律。
在高考统计答题中，常见的统计图表有：条形图、饼图、折线图、散点图等。
了解各种统计图表的作用和使用方法，可以帮助我们更好地理解和展示数据。
2. 统计学应用统计学在现实生活中有着广泛应用。
在高考统计答题中，常见的应用场景有：生产调度、市场调研、质量控制等。
高考数学中概率与统计的解题技巧有哪些
高考数学中概率与统计的解题技巧有哪些在高考数学中，概率与统计是一个重要的考点，也是很多同学感到头疼的部分。
但其实，只要掌握了一些解题技巧，就能在这部分题目中取得较好的成绩。
首先，我们要对基本概念有清晰的理解。
概率的定义是事件发生的可能性大小，而统计则是对数据的收集、整理、分析和解释。
比如，随机事件、必然事件、不可能事件，以及概率的加法公式、乘法公式等，这些都是解题的基础。
如果对基本概念模糊不清，就很容易在解题时出现错误。
在理解概念的基础上，要善于运用公式。
比如，古典概型的概率公式 P(A) ＝ m ／ n ，其中 m 是事件 A 包含的基本事件个数，n 是基本事件总数。
还有条件概率公式 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) 等。
在使用公式时，要注意其适用条件，不能盲目套用。
对于排列组合问题，这是概率计算中的一个常见难点。
要掌握好排列数和组合数的计算公式，以及解决排列组合问题的常用方法，如捆绑法、插空法、特殊元素优先法等。
例如，在计算从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数时，如果存在相邻元素需要捆绑在一起看作一个整体，再与其他元素进行排列；如果存在不相邻元素，则先排其他元素，然后将不相邻元素插入到这些元素形成的空隙中。
概率与统计中的图表问题也不容忽视。
比如，频率分布直方图、茎叶图等。
要能够从图表中获取关键信息，比如频率、平均数、中位数、众数等。
通过对图表的观察和分析，找到解题的线索。
在处理概率问题时，要学会分类讨论。
有时候一个问题可能需要分成多种情况来考虑，分别计算每种情况的概率，然后再根据题目要求进行综合。
例如，在掷骰子的问题中，可能需要分别考虑点数为奇数和偶数的情况。
另外，反证法也是一种常用的解题技巧。
当直接证明某个结论比较困难时，可以先假设其反面成立，然后推出矛盾，从而证明原结论的正确性。
在统计部分，样本均值、样本方差的计算方法要熟练掌握。
同时，要理解样本对总体的估计作用，能够根据样本数据对总体的参数进行估计和推断。
统计(5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-备战2024年高考数学考试易错题(原卷版)
专题13统计易错点一：统计用表中概念不清、识图不准致误（频率分布直方图、总体取值规律）频率分布直方图作频率分布直方图的步骤①求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差.②决定组距与组数将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.③将数据分组④列频率分布表各小组的频率＝小组频数样本容量.⑤画频率分布直方图纵轴表示频率组距，频率组距实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率.频率分布直方图的性质①因为小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.③频数相应的频率＝样本容量.④频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性.易错提醒：频率分布条形图和频率分布直方图是两个完全不同的概念，考生应注意两者之间的区别.虽然它们的横轴表示的内容是相同的，但是频率分布条形图的纵轴表示频率；频率分布直方图的纵轴表示频率与组距的比值，其各小组的频率等于该小组上的矩形的面积.例：如图所示是某公司（共有员工300人）2021年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有______人.易错分析：解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为()10.020.080.1020.60-++⨯=，从而得到员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有3000.60180⨯=（人）的错误结论.正解：由所给图形，可知员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的频率为()10.020.080.080.100.1020.24-++++⨯=，所以员工中年薪在1.4万元~1.6万元之间的共有3000.2472⨯=（人）.故72.易错警示：考生误认为频率分布直方图中纵轴表示的是频率，这是错误的，而是“频率/组距”，所以频率对应的是各矩形的面积.变式1：某大学有男生2000名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校100名男生的体重，并将这100名男生的体重（单位：kg ）分成以下六组：[)54,58、[)58,62、[)62,66、[)66,70、[)70,74、[]74,78，绘制成如下的频率分布直方图：70,78上的男生大约有人．该校体重（单位：kg）在区间[]变式2：现对某类文物进行某种物性指标检测，从1000件中随机抽取了200件，测量物性指标值，得到如下频率分布直方图，据此估计这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为.变式3：如图是根据我国部分城市某年6月份的平均气温数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20，26]，样本数据的分组为[20，21)，[21，22)，[22，23)，[23，24)，[24，25)，[25，26].已知样本中平均气温低于22°C的城市个数为11，样本中平均气温不低于25°C的城市个数是.1．已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则图中a所代表的数值是.2．某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：这400名学生的竞赛成绩分组如下：分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于3．从某小学所有学生中随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：图），其中样本数据分组[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150)4．某工厂抽取100件产品测其重量（单位：[[[[,42]，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在40,40.5),40.5,41),41,41.5),41.5件数为．5．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．设函数()()()f c p c q c =+，则函数()f c 在区间[95,105]取得最小值时c =．6．某大学有男生10000名．为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校100100名男生的体重（单位：kg ）分成以下六组：[)54,58、[)58,62、[)62,66、[66,70kg []7．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了秒），将数据按照[)11.5,12，[)12,12.5，…8．某工厂对一批产品的长度（单位：mm）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm以下的产品有30个，9．某中学为了解学生的数学学习情况，在全体学生中随机抽取30,40成绩，将所得的数据分为7组：[)图，则在被抽取的学生中，该次数学考试成绩不低于10．某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这平均成绩的估计值为．11．将一个容量为100的样本数据，按照从小到大的顺序分为组号123456频数10161815若第6组的频率是第3组频率的12．节约用水是中华民族的传统美德，某市政府希望在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理易错点二：统计中的数字特征的实际意义理解不清楚致误（频率分布直方图特征数考查）众数、中位数、平均数①众数：一组数据中出现次数最多的数.②中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.③平均数：如果n个数x1，x2，…，x n，那么()∑==+++=niinxnxxxnx12111叫做这n个数的平均数.总体集中趋势的估计①平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.②一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数.频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法①样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替.②在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等.③将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值.易错提醒：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.例．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计该班本次测试众数为．变式1：为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择自行车，他记录了100次骑车所用时间（单位：分钟），得到频率分布直方图，则骑车时间的众数的估计值是分钟变式2：数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：甲同学：中位数为3，方差为2.8；乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；丙同学：中位数为3，众数为3；丁同学：平均数为3，中位数为2.根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是同学.变式3：以下5个命题中真命题的序号有.①样本数据的数字特征中，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息；②若数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的标准差为S ，则数据1ax b +，2ax b +，3ax b +，…，n ax b +的标准差为aS ；③将二进制数(2)11001000转化成十进制数是200；④x 是区间[0,5]内任意一个整数，则满足“3x <”的概率是35.1．2022年11月卡塔尔世界杯如期举行，这是世界足球的一场盛宴．为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100，得到如图所示的频率分布直方图．图中部分数据丢失，若已知这1000名观众评分的中位数估计值为87.5，则m=.2．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均数为x ，则,,e o m m x 的大小关系是．3．《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取数据，按[)40,45，[)45,50，[50,55所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是4．为了解某校高三学生的数学成绩，随机地抽查了该校布直方图如图所示.请根据以上信息，估计该校高三学生数学成绩的中位数为两位）5．2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于按如下方式分成六组：第一组[12,13该100名考生的成绩的中位数（保留一位小数）是6．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为.7．某快递驿站统计了近期每天代收快件的数量，并制成如下图所示的频率分布直方图．则该快递驿站每天代收包裹数量的中位数为8．某质检部门对某新产品的质量指标随机抽取10．某大学天文台随机调查了该校100位天文爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图，则估计该校100名天文爱好者的平均岁数为.11．众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，､､分别表示众数､平均数､形态中，m n p12．如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图，则估计此工厂工人生产能力的平均值为易错点三：运用数字特征作评价时考虑不周（方差、标准差的求算）方差、标准差①假设一组数据为n x x x x ,,,321，则这组数据的平均数()∑==+++=ni i n x n x x x n x 12111 ，方差为()()()[]()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+-+-=∑∑=2221222212111n ii n i i n x n x n x x n x x x x x x ns ，标准差()211∑=-=ni i x x n s ②若假设一组数据为n x x x x ,,,321，它的平均数为x ，方差为2s ，则一组数据为b ax b ax b ax b ax n ++++ ,,,321，的平均数为b x a +，方差为22s a 。
高中数学统计解题技巧
高中数学统计解题技巧统计是高中数学中的一个重要内容，也是考试中的一个常见题型。
掌握好统计解题技巧，可以帮助我们更好地理解和应用统计知识，提高解题效率。
本文将介绍一些常见的统计解题技巧，并通过具体的题目进行说明，帮助读者更好地理解和掌握。
一、频数表和频数直方图的应用频数表和频数直方图是统计中最常用的工具之一，通过它们可以直观地展示数据的分布情况。
在解题过程中，我们可以根据频数表和频数直方图进行分析和计算。
例如，某班级的学生考试成绩如下：80 85 90 95 80 85 85 90 95 90我们可以通过制作频数表和频数直方图来更好地了解这些成绩的分布情况。
首先，我们可以列出频数表：成绩频数80 285 390 395 2然后，我们可以根据频数表制作频数直方图：频数3 | ■2 | ■■1 |0 |_____________________80 85 90 95通过频数直方图，我们可以清楚地看到成绩在80-85分和90-95分之间的学生人数较多，这有助于我们对数据的分布有更直观的认识。
二、平均数的计算和应用平均数是统计中最基本的概念之一，它可以帮助我们了解一组数据的集中趋势。
在解题过程中，我们常常需要计算平均数，并根据平均数进行分析。
例如，某班级的学生考试成绩如下：80 85 90 95 80 85 85 90 95 90我们可以通过计算平均数来了解这些成绩的整体水平。
首先，我们将这些成绩相加，得到总分数：80+85+90+95+80+85+85+90+95+90=875然后，我们将总分数除以学生人数，得到平均数：875/10=87.5通过计算得到的平均数为87.5分，我们可以认为这个班级的学生整体水平较为优秀。
三、中位数和众数的计算和应用中位数和众数也是统计中常见的概念，它们可以帮助我们了解一组数据的分布情况。
中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的数。
如果数据个数为奇数，中位数就是中间的那个数；如果数据个数为偶数，中位数就是中间两个数的平均数。
高中数学统计题求解题技巧
高中数学统计题求解题技巧解题技巧是帮助我们更好地理解和解决数学问题的方法和策略。
在高中数学统计题中，掌握一些解题技巧可以帮助我们更快、更准确地求解问题。
以下是一些常用的高中数学统计题解题技巧。
1. 统计数据的整理与分组在解决统计问题之前，我们首先需要整理给定的统计数据。
这包括将数据按照一定的规则进行分类和分组，以便更好地进行分析和计算。
分组可以按照数值大小进行区间划分，也可以按照某个特定的属性进行分类。
2. 频数、频率和累积频数的计算在统计问题中，我们经常需要计算频数、频率和累积频数。
频数指的是某个数值或某个区间内的数据出现的次数；频率指的是频数与总数的比值；累积频数指的是从最小值到某个数值或某个区间内的数据出现的次数累计总和。
3. 极差、中位数和众数的求解极差指的是一组数据的最大值与最小值之差；中位数指的是一组数据从小到大排列后的中间值，若数据个数为偶数，则中位数为中间两个数的平均值；众数指的是一组数据中出现次数最多的数值。
4. 平均数、方差和标准差的计算平均数是一组数据的总和除以数据个数；方差是每个数据与平均数之差的平方和的均值；标准差是方差的算术平方根。
这些指标可以帮助我们了解一组数据的集中程度和离散程度。
5. 概率的计算概率是数学统计的重要概念，用于描述某个事件在所有可能事件中发生的可能性大小。
在解决概率问题时，我们可以利用概率的定义和一些常用的概率公式来计算事件的概率。
6. 利用统计图表进行分析在数学统计中，统计图表是一种有效的工具，可以用来展示和分析数据。
常见的统计图表包括条形图、折线图、饼图等。
利用统计图表可以更直观地观察和比较数据，从而更好地理解和解决问题。
7. 注意问题的隐含条件和要求在解决数学统计题时，我们需要仔细分析问题的条件和要求。
有时问题中的条件和要求并不明显，需要我们根据问题的背景和逻辑进行推断和分析。
只有正确理解了问题的条件和要求，才能准确地解答问题。
8. 建立数学模型求解问题对于一些复杂的统计问题，可以利用数学模型来建立与问题相对应的数学关系。
高考数学中的统计推断
高考数学中的统计推断高考是每位学生都经历的重要考试，其中数学考试占据了相当大的比例。
数学考试中的统计学是一道很重要的知识点，也是大家普遍比较薄弱的一个方面。
而在统计学中，统计推断是最基础也是最关键的一部分。
统计推断是通过样本数据推断总体参数的过程，涉及到点估计、区间估计和假设检验三个部分。
在高考中，针对统计推断的考题通常都是从这三个方向出发的，现在我们一一来分析。
一、点估计点估计是指通过样本数据推断总体参数的常用方法之一，主要是通过样本数据计算统计量来推断总体参数。
而统计量通常是对样本随机变量的某种函数，其最常见的形式就是样本均值、样本方差等。
在高考数学中，针对点估计的考题通常是要求使用样本均值或者样本比率来估计总体均值或者总体比率。
这类考题通常需要掌握如何计算样本均值和样本比率，以及如何通过样本均值和样本比率推断总体均值和总体比率。
二、区间估计区间估计是指通过样本数据推断总体参数的另一种方法，主要是要给出一个范围，推断总体参数在这个范围内的概率有多大。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
在高考数学中，针对区间估计的考题通常是需要使用置信区间估计来估计总体均值或者总体比率。
这类考题通常需要掌握如何根据样本数据计算样本均值和样本比率，以及如何通过样本均值和样本比率求出置信区间。
三、假设检验假设检验是指通过样本数据推断总体参数的第三种方法，主要是先提出一个假设，然后通过假设检验的方法来判断这个假设是否成立。
假设检验分为单侧假设和双侧假设两种。
在高考数学中，针对假设检验的考题通常是需要求解单侧假设或者双侧假设的显著性水平。
这类考题通常需要掌握如何提出假设、如何计算假设的统计量以及如何计算显著性水平。
在统计推断中，还有一些其他的知识点，比如样本量的确定、两个总体参数的比较等。
围绕这些知识点，还有很多高考数学的考题需要我们去掌握和解答。
综上所述，统计推断是高考数学中的一个相当重要的知识点，也是相对难度比较大的一个方面。
统计与概率的题型特点与命题规律
统计与概率的题型特点与命题规律统计与概率是高考必考重点内容之一，理科高考考查的主要内容有：抽样方法、统计图表，统计数据的数字特征，变量间的相关关系、随机事件的概率（古典概型、几何概型），离散型随机变量及其分布列，回归分析及独立性检验。
一．考点及要求考试内容]要求层次网]A B C统计随机抽样简单随机抽样√分层抽样和系统抽样√用样本估计总体频率分布表、直方图、折线图、茎叶图√样本数据的基本数字特征（如平均数、标准差）√用样本的频率分布表估计总体分步，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征√变量的相关性线性回归方程√统计案例独立性检验独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用。
√回归分析回归分析的基本思想、方法及其简单应用。
√概率事件与概率随机事件的概率√随机事件的运算√说明: A.了解 B.理解 C.掌握高频考点展示：1. 统计图表及样本数字特征2. 随机事件的概率3. 相关关系与线性回归方程4. 离散型随机变量的分布列与期望和方差5. 函数与概率问题6. 统计图表与随机变量的分布列二、常考题型分析纵观2012到2016年全国高考试卷，不难发现新课标对统计与概率模块的考查强调知识的应用性，考题为“一小一大”，即一道小题，一道大题，占17分，小题通常考查统计图的读取或概率计算，大题在解答题对统计和概率综合考查，难度不大。
试题背景与两个互斥事件的概率加法公式√ 古典概型 古典概型 √ 几何概型 几何概型√ 概率取有限值的离散型随机变量及其分布列 √ 超几何分布 √ 条件概率√ 事件的独立性√ n 次独立重复试验与二项分布√ 取有限值的离散型随机变量的均值、方差 √ 正态分布√日常生活贴近，联系也最为紧密，体现统计思想与概率思想，考查学生处理数据的能力，对概率事件的识别及概率的计算能力，以及考查学生的阅读与理解能力、分析问题与解决问题的能力．试题朝着“重基础、重能力、重应用”的方向发展． 热点一 常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式. 【例1】 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列.解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4).则iii i C A P -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=443231)(.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率2783231)(22242=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=C A P (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝91313231444334=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C C .(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3)＝8140323132313343114=⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C C ， P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝8117313244444=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛C C .所以ξ的分布列是探究提高 (1)独立重复试验，4人中恰有i 人参加甲游戏的概率iii C P -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=443231，这是本题求解的关键.(2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和.热点二 离散型随机变量的分布列、均值与方差(规范解答)离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练. 【例2】 (满分12分)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).满分解答 解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5............................2分(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4)8156323132323132222=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=............................5分 (2)X 的可能取值为2，3，4，5...........................6分 P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，..7分P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，..................8分P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081，........9分P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881............10分故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881.....................................................11分 E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481..................12分❶得步骤分：这是得分点的步骤，有则给分，无则没分，步步为“赢”，求得满分.如第(1)问，引进字母表示事件，用文字叙述正确，得2分；把事件拆分成A ＝A 1A 2＋B 1A 2A 3＋A 1B 2A 3A 4，就得2分，计算概率值正确，得1分.第(2)问求出X 的四个值的概率，每对一个得1分；列出随机变量X的分布列得1分.❷得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分.如第(1)问，写出事件“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”分解为“甲在第1，2局连胜”“甲在第1局输，第2，3局连胜”“甲在第1局胜，第2局输，第3，4局连胜”，正确得2分.第(2)问，求四个概率时，结果错误，即使计算过程有步骤也不得分.❸得计算分：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证.如第(1)问、第(2)问中概率值的计算要正确，否则不得分，分布列中计算四个概率的和是否为1，若和不为1，就有概率值出现错误了，不得分.求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】 (2017·济南模拟)2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.（解答略）探究提高本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X服从超几何分布.热点四统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得720,184,20,801012101101101====∑∑∑∑====i i i i i i i i ix y x y x(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，210201,81080111======∑∑==n i in i i y n y x n x 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关.(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).探究提高(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r 来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.概率与统计的解答题难度比较稳定，通常为由日常生活情景中给出问题，然后通过读取统计图表的信息、求样本的数字特征，概率及分布列和期望等.预计2017年的全国高考命题中，解答题形式不变，但会继续朝着“重基础、重能力、重应用”的方向发展．。
统计题型研究,展望命题规律——基于全国高考与复习
2019年%月备考指南jfe统计题型研究，展望命题规律——基于全国高考与复习!安徽省天长市铜城中学卞寿霞为了更好地应对2019届高考的数学备考，通过对2013年至2018年六年间的全国新课标I卷理科数学试题中关于统计知识点的试题进行分析，结合题型研究,梳理高考数学试题对统计的考查意图，了解高考数学试题中统计的命题方向，并结合考试说明进行对比，为新一届的复习备考提供一些展望与指导.―、全国高考统计部分考点分析与考查重点1.考点分析与考查概况以新课标高考全国I卷为例，就近%年全国新课标高考统计部分的考点分析如下:年份题号分值考点2013年35分抽样方法2014年1812分产.检验，直方图，数据特征，数学期望2015年1912分利润问题，散（图模型，回归方程及应用201%年1912分机器更换问题，柱状图,分布列，方案优化2017年1912分正态分布，数学期望,抽象的合理性2018年35分饼图及其应用统计是每年高考中必考的考点之一，也是实际应用的主要场所之一，主要考点为：三种抽样方法的选择及其相关计算，总体分布中的统计图与表的识别与应用，总体特征数的计算与应用，线性回归方程的求解与应用，以及统计知识的交汇与综合应用问题等.2.高考考查重点（1）抽样方法主要考查抽样方法的概念、选用及相关运算，并会运用统计知识来解决一些相关的实际问题.平时考查主要包括抽样方法的选择，以及对应的计算问题，主要以分层抽样为主.⑵总体分布的考查主要以统计图或表的形式出现,包括统计中常用的“一表六图”（频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、频率分布扇形图、饼图、茎叶图、散点图等）的考查:①比较图表的信息，确定不同数据的结果情况;②图表的数据信息与统计信息,通过识图、读图，从图表中获取数据信息并加以统计,从而通过这些统计表或图给出相应的统计信息,或通过相应的统计信息求解这些相应的统计图或表.高考中的考查主要以频率分布表、频率分布直方图等为主，经常出现在选择题、填空题或解答题中，难度不大.（3）在总体特征数的考查中,往往利用对应的数学特征来进行计算与应用.（4）理清两个变量之间的函数关系与相关关系的区别与联系，以及准确确定线性回归方程,从而进一步加强数学应用意识,培养运用所学知识分析问题和解决问题的能力.（5）在统计中，经常把统计知识与代数、几何、概率等相关知识加以交汇与整合，用来考查实际应用问题，是新课标考纲中比较热点的问题之一.二、全国高考统计部分考情预测（1）抽样方法的选择与计算，有时也会涉及简单的概率问题；（2）统计图与表的识别与应用，考查对图表的阅读与理解，以及知识点间的应用问题；（3）数字特征的考查以创新情景为主，理解公式与应用；⑷概率与统计的交汇与综合也是考查的一大方向.三、统计的命题类型1.抽样方法的考查例1某地区有高中生12000人,初中生10000人,小学生13000人，某调研机构为了了解学生的学习成绩与网络课程学习方面是否存在一定的差异,打算从全体学生中按1%的比例抽取学生进行调查，则比较适合采用的抽样方法是（）■-系统抽样法B.分层抽样法C.抽签法D.随机数表法思路分析:根据抽样的目的与抽样方法的特点综合来判断与选择.解：因为抽样的目的与各学段的学生有关,所以从全体学生中抽取1%应该用分层抽样法，按各学段学生高中彳•了裂：•■?152019年6月所占的比例进行抽取，故选B .方法点拨:求解此类问题的关键是分清简单随机抽样、系统抽样、分层抽样各自的特点.简单随机抽样是从 总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取， 此种情况下一般要求总体中个体数较少;而系统抽样的特征是总体一般有明显的平均分成几部分，此时按照事先确定的规则，分别在各部分中有规律地抽取,样本分布比较均匀;分层抽样是将总体分成几层,按各层个体 数之比进行抽取，样本有较强的代表性.明晰这三种抽 样方法各自的特点，即可顺利破解此类问题.2.总体分布的考查例2图1是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）.7899434 6图147A . 84,4.84B . 84,1.6C .85,1.6D .85,4思路分析:通过读取茎叶图，确定七位评委所打出的分数，进而去掉最高分93,最低分79,再利用剩下的数 据求解平均数与方差即可.解：去掉最高分93，最低分79,平均分为*x （84+84+86 +84+87）=85,方差s 2=*x [（84-85）2+（84-85）2+（86-85 ）2+ （84-85 ）2+（87-85）2]=-8=1.6.故选择答案:C .结论总结:我们知道，茎叶图可以非常直观地将数据有条不紊地罗列出来，可以从中直观地观察到相应数据的分布情况.在高考中,对茎叶图部分经常考查的有:（1） 通过对茎叶图的分析与判断，用于解决茎叶图中的数字问题、数据信息汇总问题、数据的分析判断问题等;（2） 茎叶图的绘制与应用等.3.总体特征数的考查例3已知某个总体中每个个体的值由小到大依次为2,3,3,7,&,',12,13.7,18.3,21,且这列值的中位数为 10，若要使得该总体的方差最小，那么/=_____.思路分析:根据中位数的概念得出&+'的值,再结合平均数公式与方差公式，确定相应的代数式的最小值,最后结合基本不等式加以判断方差的最小值问题.解：由于总体的个数为10个,根据中位数的概念可知 &+'=10x 2=20.又平均数为）# 2+3+3+7+&+'+12+13.7+18.3+21 =10,所以要使该总体的方差最小，那么只需（&-10）2+（'-10）2 最小即可.而（&-10）2+（'-10）2=&2+'2-20（«+6） +200!（&+'严-2200=0,当且仅当&=' = 10时，该总体的方差最小，此时〃= 100，故填 100.解题攻略：众数、中位数和平均数这三种最常用的数字特征，其主要提供关于样本数据的特征信息，可以从不同的侧面反映数据的分布状态.而标准差或方差则是用来考查样本数据的分散程度，标准差或方差越大，对应的数据的离散程度越大;标准差或方差越小，对应的数据的离散程度越小.特别地,在样本数据的平均数 相同的条件下，经常通过考查标准差或方差来进一步分析数据的离散程度.四、统计的复习策略1. 回归教材，夯实基础（1 ）准确理解相应知识的本质，重视对相关概念、定理等的理解和掌握.如“三方法”（三种抽样方法），“一表六图”（频率分布表，频率分布直方图和折线图，扇形图，茎叶图，饼图，散点图），‘'三数一方程”（平均数,方差与标准差，相关系数，线性回归方程）等.（2） 注意解题方法和解题规律的总结与应用.如利用平均数、方差或标准差，以及线性回归方程来解决数据问题，进而得以合理决策与应用等.（3） 重视数学思想方法和数学素养的应用.统计富含数学思想方法，如数据分析，数形结合思想，化归与转 化思想等,经常用来解决一些相关的统计及其应用问题.2. 吃透例（习）题，注重变式近几年的高考中，特别是对统计部分知识的考查与 应用,以基本题为主，命题主要是立足教材，适当变形,适度整合，拓展提升，同时渗透相关的数学思想方法，这已经是高考命题的一个常态.因而，在统计的复习过程 中，应万变不离其宗,好好吃透教材的例（习）题,并在此 基础上加以适当变式探究就显得尤为重要.3. 跳出题海，培养素养在高考复习中，一定量的练习是非常有必要的，但不能盲目地陷入题海当中，要注重“一题多解”“一题多 变”与“多题一解”等的学习实践，养成变式思维,跳出题海,注重对经典题型的变式训练.在此基础上，不断提高数学运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力等,从而提 升思维，培养数学核心素养!6 彳•了裂:7高中。
2018届高三文科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版
2018届高三文科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版【简介】概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类古典概型概率的计算方法，另外近几年对于变量间的相关关系与统计案例的考察也时常出现，这部分也要做复习的重点.【3年高考试题比较】从近几年的高考命题来看，高考对概率的考查，一般以实际生活题材为背景，以应用题的形式出现.主要考查图表信息的整理及分析，古典概型和统计的相关知识，以回归直线方程和独立性检验为主.概率应用题侧重于古典概型，主要考查随机事件、等可能事件、互斥事件、对立事件的概率.解决简单的古典概型试题可用直接法(定义法)，对于较为复杂的事件的概率，可以利用所求事件的性质将其转化为互斥事件或其对立事件的概率求解.解决古典概型问题的关键在于确定基本事件.回归直线方程以线性为主，对于非线性的往往通过换元得到线性关系，并会利用应用回归方程作出估计，独立性检验以利用2列联表计算K 2为主. 概率统计的试题在高考中文字较大，信息量较大，需要认真阅读，理解题意.【必备基础知识融合】1．概率问题(1)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A 的对立事件A 的概率，然后利用P (A )＝1－P (A )可得解；(2)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A 中的基本事件，利用公式P (A )＝m n求出事件A 的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏；(3)求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A 所包含的基本事件所占据区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件． 2．统计问题(1)统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；(2)用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，考点是：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用；(3)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展开数据发布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了；(4)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.①在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. ②在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. ③如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. （5）线性回归方程①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.②回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x＋a ^，则b ^＝1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yx x xnx ====---=--∑∑∑∑，a ^=y ^-b ^x .其中，b ^是回归方程的斜率,a ^是在y 轴上的截距. 回归直线一定过样本点的中心（x ，y ）.③.残差分析：残差：对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，它们的随机误差为e i ＝y i －bx i －a ，i ＝1，2，…，n ，其估计值为e ^i ＝y i －y ^i ＝y i －b ^x i －a ^，i ＝1，2，…，n .e ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差.⑤相关指数：R 2＝1－2121()()niii nii y y y y ==--∑∑.其中21()niii y y =-∑是残差平方和，其值越小，则R 2越大(接近1)，模型的拟合效果越好. （6）.独立性检验①利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.②列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为计则随机变量K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量.【解题方法规律技巧】典例1：我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，……，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数.(3)设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.又前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.【规律方法】(1)准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率和条形图混淆.(2)“命题角度二”的例题中抓住频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，并利用频率分布直方图可以估计总体分布.（3）利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注意这三者的区分：(1)最高的矩形的中点横坐标即众数；(2)中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.典例2：某企业有甲、乙两个研发小组.为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b －)，(a ，b )，(a －，b )，(a －，b －)，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a －，b －)，(a ，b －)(a ，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b ).其中a ，a －分别表示甲组研发成功和失败；b ，b －分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率.(2)记E ＝{恰有一组研发成功}.在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a ，b －)，(a －，b )，共7个.因此事件E 发生的频率为715.用频率估计概率，即得所求概率为P (E )＝715.【规律方法】(1)平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据围绕平均数的波动大小.进行平均数与方差的计算，关键是正确运用公式.(2)平均数与方差所反映的情况有着重要的实际意义，一般可以通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、乙两品种可以做出评价或选择.典例3：随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t 的回归方程y ^＝b ^t ＋a ^；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^＝∑ni ＝1t i y i －nt －y －∑n i ＝1t 2i －nt －2，a ^＝y －－b ^t －.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)． 【规律方法】(1)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，也可计算相关系数r 进行判断．若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值． (2)正确运用计算b ^，a ^的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键，并充分利用回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x －，y －)进行求值．典例4：微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人．若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23是青年人．(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表；(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）【规律方法】(1)在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．(2)解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．独立性检验的一般步骤：①根据样本数据制成2×2列联表：②根据公式K2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ）计算K2的观测值k0；③比较k0与临界值的大小关系，作统计推断．典例5： 某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.【规律方法】1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率.(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.典例6：某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率).解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.【规律方法】(1)①求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.②结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误.(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A －)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法.典例7：某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由. 解 (1)依题意，所有可能的摸出的结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}.(2)不正确.理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为P 1＝412＝13，不中奖的概率为P 2＝1－P 1＝23.由于P 1＝13＜P 2＝23.故这种说法不正确.【规律方法】(1)求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.(2)本题常见的错误：①理解不清题意，不能把基本事件列举出来；②不能恰当分类，列举基本事件有遗漏，再者本题中基本事件(x ，y)看成有序的，(1，2)与(2，1)等表示不同的基本事件.典例8：空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染.一环保人士记录了某地2016年某月10天的AQI 的茎叶图如图所示. (1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数(按这个月总共30天计算)；(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI ＞100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.【规律方法】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.典例9：菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但蔬菜上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x （单位：千克）清洗蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y （单位：微克）的统计表：（1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x 与y 是正相关还是负相关；（2）若用解析式2y cx d ∧=+作为蔬菜农药残量y ∧与用水量x 的回归方程，令2w x =，计算平均值w 与y ，完成以下表格（填在答题卡中），求出y ∧与x 的回归方程.（,c d 保留两位有效数字）；（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请评估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精确到0.1，参考数据2.236≈）（附：对于一组数据()()()1122,,,,......,,n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：()()()121,niii nii u u v v v u u u βαβ∧∧∧==--==--∑∑）【答案】（1）负相关（2）22.060y x ∧=-+（3）需要4.5千克的清水解析：（1）负相关.（含散点图） （2）11,38w y ==()()()()()()()222221020716215914287512.03741072514c -⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-==-≈-+-+-++ 2751381160, 2.060 2.060374d y cw y w x ∧⎛⎫=-=--⨯≈=-+=-+ ⎪⎝⎭. （3）当20y ∧<时， 22.06020, 4.5x x -+≈∴为了放心食用该蔬菜，估计需要4.5千克的清水清洗一千克蔬菜.【规律总结】(1)回归直线y ＝bx ＋a 必过样本点的中心(x ，y )．(2)正确运用计算b ，a 的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．(3)分析两变量的相关关系，可由散点图作出判断，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．（4）分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r 来确定，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱. 典例10：已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(x ，y ).(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，求满足a ·b <0的概率.解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；由a ·b ＝－1， 得－2x ＋y ＝－1，∴a ·b ＝－1包含的基本事件为(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3种情形.故P (a ·b ＝ －1)＝336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6，1≤y ≤6}；满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6，1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，正方形的面积为S 正方形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.【规律总结】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.几何概型：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．【归纳常用万能模板】1.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．审题路线图利用分层抽样的特征确定各层的抽样比→求出样品中各层的数量→列举基本事件空间→利用古典概型公式求解评分细则(1)各层抽样数量每个算对给1分；(2)没有列举基本事件只求对基本事件个数给1分；(3)求对样本事件个数而没有列出的给1分；(4)最后没下结论的扣1分．2.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率.满分解答(1)解因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.3分(2)解由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4. 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.5分(3)解受访职工中评分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，8分从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}.11分又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝110.12分❶抓住关键，准确计算(1)得关键分：如第(1)问中，正确求得a＝0.006；第(3)问中列出10个基本事件，错写或多写，少写均不得分.(2)得转化计算分：如第(1)问，第(2)问中的计算要正确，否则不得分；第(3)问中利用“频数、样本容量、频率之间的关系”求得各区间的人数，转化为古典概型的概率.❷步骤规范，防止失误抓住得分点的步骤，“步步为赢”求得满分，本题的易失分点：(1)不能利用频率分布直方图的频率求出a值；(2)求错评分落在[50，60)，[40，50)间的人数；(3)没有指出“基本事件总数”与“事件M”包含的基本事件个数，或者只指出事件个数，没有一一列举10个基本事件及事件M包含的基本事件，导致扣3分或2分.第一步：由各矩形的面积之和等于1，求a的值.第二步：由样本频率分布估计概率.第三步：设出字母，列出基本事件总数及所求事件M所包含的基本事件.第四步：利用古典概型概率公式计算.第五步：反思回顾，查看关键点，易错点和答题规范.【易错易混温馨提醒】一、样本的数字特征的计算1．随着雾霾的日益严重，中国部分省份已经实施了“煤改气”的计划来改善空气质量指数.2017年支撑我国天然气市场消费增长的主要资源是国产常规气和进口天然气，资源每年的增量不足以支撑天然气市场连续300亿立方米的年增量.进口LNG和进口管道气受到接收站、管道能力和进口气价资源的制约.未来，国产常规气产能释放的红利将会逐步减弱，产量增量将维持在80亿方以内.为了测定某市是否符合实施煤改气计划的标准，某监测站点于2016年8月某日起连续200天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：（1）根据上图完成下列表格（2）计算这200天中，该市空气质量指数的平均数；（3）若按照分层抽样的方法，从空气质量指数在101~150以及151~200的等级中抽取7天进行调研，再从这7天中任取2天进行空气颗粒物分析，求恰有1天空气质量指数在101~150上的概率.【答案】（1）见解析（2）95（3）1021 P=【解析】试题分析：（1）根据题意给出的数列，即可求得所求表格数据，进而完成图表；（2）依题意，利用平均数的计算公式，即可求解数列的平均数.（3）依题意，从空气质量指数在101~150以及151~200的天数为5，记为,,,,a b c d e，空气质量指数在151~200的天数为2，记为1，2，列出基本事件的个数，根据古典概型，即可求解相应的概率值.试题解析：解：（1）所求表格数据如下：（2）依题意，故所求平均数为250.2750.41250.251750.12250.0595⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2.为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；（2）轮胎的宽度在[]194,196内，则称这个轮胎是标准轮胎.（i）若从甲乙提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率P；（ii）试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？【答案】（1）x=甲()195mm.x乙()194mm=.（2）（i）35P=.（ii）见解析.【解析】试题分析：（1）利用折线图能求出甲厂这批轮胎宽度的平均值和乙厂这批轮胎宽度的平均值．（2））①从甲厂提供的10个轮胎中有6个轮胎是标准轮胎，从中随机选取1个，能求出所选的轮胎是标准轮胎的概率．②甲厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195，乙厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，求出两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，从而乙厂的轮胎相对更好．3.为了调查观众对某热播电视剧的喜爱程度，某电视台在甲、乙两地各随机抽取了8名观众作问卷调查，得分统计结果如图所示：（1）计算甲、乙两地被抽取的观众问卷的平均得分；（2）计算甲、乙两地被抽取的观众问卷得分的方差；（3）若从甲地被抽取的8名观众中再邀请2名进行深入调研，求这2名观众中恰有1人的问卷调查成绩在90分以上的概率.【答案】（1）85,85 (2)35.5，41（3）123287 P==（3）依题意，所有的事件的可能性为()()()78,79,78,81,78,82, ()()()78,84,78,88,78,93,()()()78,95,79,81,79,82,()()()79,84,79,88,79,93,()()()79,95,81,82,81,84,()()()81,88,81,93,81,95,()()()82,84,82,88,82,93,()()()82,95,84,88,84,93,()84,95,()()()88,93,88,95,93,95，共28种，其中满足条件的为()()()78,93,78,95,79,93, ()()()79,95,81,93,81,95, ()()()82,93,82,95,84,93, ()()()84,95,88,93,88,95，共12种，故所求概率123287P ==. 二、图表数据的处理4.“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就.自2012年以来，北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%）.（Ⅰ）从2012-2016五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率；（Ⅱ）从2012-2016五年中任选一年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率； （Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明） 【答案】(Ⅰ)35；(Ⅱ) 910；(Ⅲ)2014年.试题解析：（Ⅰ）设城镇居民收入实际增速大于7%为事件A ，由图可知，这五年中有2012,2013,2014这三年城镇居民收入实际增速大于7%，所以P (A )=35. （Ⅱ）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B ，这五年中任选两年，有(2012,2013)，(2012,2014)，(2012,2015)，(2012,2016)，(2013,2014)，(2013,2015)，(2013,2016)，(2014,2015)，(2014,2016)，(2015,2016)共10种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过7%的为前9种情况，所以P (B )=910. （Ⅲ）从2014开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大. 三、非线性回归方程转化为线性回归方程5.已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度x （单位：℃），对某种鸡的时段产蛋量y （单位： t ）和时段投入成本z （单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度i x 和产蛋量()1,2,,7i y i =⋅⋅⋅的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．。
高考数学复习专项解题方法与技巧—统计
高考数学复习专项解题方法与技巧—统计1.使用分层随机抽样法应遵循的原则(1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则;(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样,需在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.2.进行分层随机抽样的相关计算时,常用到的关系(1)样本容量n总体容量N =该层抽取的个体数该层的个体数;(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比;(3)样本的平均数和各层的样本平均数的关系:w=mm+n x+nm+ny=MM+Nx+NM+Ny.典例1：某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为①．则完成①、①这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法【思路点拨】此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较多而且差异又不大时宜采用系统抽样，采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样．【解析】依据题意，第①项调查应采用分层抽样法、第①项调查应采用简单随机抽样法．故选B．【总结升华】采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定．3.频率分布直方图的性质=频率,所以各小长方形的面积表示相应各(1)因为小长方形的面积=组距×频率组距组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.(2)在频率分布直方图中,各小长方形的面积的总和等于1..(3)样本容量=频数相应的频率4.频率分布直方图中第p百分位数的计算方法方法一:(1)确定百分位数所在的区间[a,b);(2)确定小于a和小于b的数据所占×(b-a).的百分比分别为f a%,f b%,则第p百分位数为a+p%-f a%f b%-f a%方法二:设出百分位数的值,利用百分位数的定义计算.典例2：为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是（）(A)20 (B)30 (C)40 （D）50【答案】C；【解析】根据运算的算式：体重在〔56.5,64.5〕学生的累积频率为2×0.03＋2×0.05＋2×0.05＋2×0.07=0.4，则体重在〔56.5,64.5〕学生的人数为0.4×100=40.5.利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．6.利用样本数字特征进行决策时的两个关注点(1)平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响较大;中位数是样本数据所占频率的等分线,不受极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无法客观反映总体特征.(2)当平均数大于中位数时,说明数据中存在许多较大的极端值;反之,说明数据中存在许多较小的极端值.7.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系众数众数是最高小长方形底边的中点所对应的数据,表示样本数据的中心值中位数①在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相等,由此可以估计中位数的值,但是有偏差;①表示样本数据所占频率的等分线平均数①平均数等于每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和;①平均数是频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平衡点8.计算分层随机抽样的方差s2的步骤(1)确定x1,x2,s12,s22;(2)确定x;(3)应用公式s 2=n 1n [s 12+(x 1-x)2]+n2n [s 22+(x 2-x)2]计算s 2. 9.数据分析的要点要正确处理此类问题,首先要抓住问题中的关键词语,全方位地进行必要的计算、分析,而不能习惯性地仅从平均数的大小去决定哪一组的成绩好,解决像这样的实际问题还得从实际的角度去分析.典例3：甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次．两人成绩的统计表如甲表、乙表所示，请根据你所学统计知识，进一步判断这两个人这次比赛中的成绩情况．甲表：乙表：【解析】甲、乙两人比赛的中位数、平均数如下： 甲的平均数是4567865x ++++==甲； 乙的平均数是536965x ⨯++==乙； 甲、乙的平均数都是6，甲的中位数是6，乙的中位数是5，甲的总体成绩好些； 从方差看，甲的方差是2222221[(2)(1)012]25s =-+-+++=甲，乙的方差是22221[3(1)03] 2.45s =⨯-++=乙； 甲的成绩较乙的成绩好；甲的极差是8―4=4，乙的极差是9―5=4．【总结升华】平均数、众数、中位数描述了数据的集中趋势，极差、方差和标准差描述了数据的波动大小，也可以说反映了各个数据与其平均数的离散程度，方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；方差越小，数据的离散程度越小，越稳定。
数学高考数学中的概率与统计题解题方法与思路总结
数学高考数学中的概率与统计题解题方法与思路总结概率与统计是数学中的一个重要分支，也是高考数学中的一项重要内容。
考查概率与统计的题目在高考中占据一定比例，掌握好解题方法与思路对于考生来说是至关重要的。
本文将对高考数学中的概率与统计题解题方法与思路进行总结，并提供一些实用的技巧和示例，帮助考生更好地应对这类题目。
一、概率题解题方法与思路在高考数学中，概率题目主要包括事件与概率、排列组合与概率、概率的计算与运用等内容。
以下是一些解题方法与思路的总结：1. 理清题意：在解概率题前，首先要仔细阅读题目，理解题目所描述的背景和条件。
确定给定事件和所求事件，并结合题目中的条件将问题转化为一个概率问题。
2. 构建样本空间：根据题目所给条件，建立一个恰当的样本空间。
样本空间是所有可能的结果组成的集合，对于复杂的问题，可以利用树状图、表格等方式来构建样本空间，帮助理清逻辑关系。
3. 确定事件：根据题目要求，确定所关注的事件，并通过分析题目中的条件，对事件进行限定条件，以便进行计算。
4. 计算概率：利用概率的定义，计算所求事件发生的概率。
常用的计算方法有等可能原理、排列组合等概率的性质。
5. 运用概率：在解概率题时，还需要掌握条件概率、独立事件等相关概念和计算方法。
根据题目给出的条件，利用已知的概率计算所求的概率，注意要根据条件的不同进行不同的计算。
二、统计题解题方法与思路统计是高考数学中的另一个重要内容，主要包括频率分布、参数估计、假设检验等。
以下是一些解题方法与思路的总结：1. 构建频数表：对于给定的数据，首先要进行整理和分类，然后利用频数表将数据进行统计。
频数表是将数据按照一定的规则分组，统计各组的频数。
2. 绘制统计图表：根据频数表，可以绘制统计图表，如直方图、频率多边形等。
统计图表可以直观地展示数据的分布情况，对于理解问题和进行进一步分析具有重要意义。
3. 计算统计指标：在统计题中，常常需要计算一些统计指标，如平均数、标准差等。
高考数学复习之命题规律总结
2019高考数学复习之命题规律总结作者：佚名数学高考重视对基础学问、基本技能，某些有规律性和普遍意义的常规解题模式，常用的数学思想方法，和基本活动阅历。
1.细致学《考试说明》，从参试题中找寻启示高考试题体现实力的同时更加人性化，解答题起点低，入口简洁，不同层次的学生都能得到肯定的分数。
由此可见，强调“三基”，突出“三基”，考查“三基”已成为命题的主旋律。
2.重视课本，把基础落到实处尽管当前高考数学试卷不再刻意追求学问点的覆盖面，但凡是《考试说明》中规定的学问点，在复习时不能遗漏，并且要突出重点。
回到基础中去，对课本中的概念、法则、性质、定理等进行梳理，要理清学问发生的本原，考生要留意从学科整体意义上建构学问网络，形成完整的学问体系，驾驭学问之间内在联系与规律。
重点放在驾驭例题涵盖的学问及解题方法上，这一阶段所做的题目要基本，但也要留意学问之间适当的综合。
重视基础，也要留意书写与表达。
3.娴熟驾驭数学模式题的通用解法从高考数学试题中可以明显看出，高考重视对基础学问、基本技能和通性通法的考查。
所谓通性通法，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法。
现在高考比较重视的就是这种具有普遍意义的方法和相关的学问。
例如，将直线方程代入圆锥曲线方程，整理成一元二次方程，再利用根的判别式、求根公式、根与系数的关系、两点之间的距离公式等可以编制出许多精彩的试题。
这些问题考查了解析几何的基本方法，这种通性通法在中学数学中是许多的，如二次函数在闭区间上求最值的一般方法：配方、作图、分类探讨。
考生在复习的过程中要对这些普遍性的东西不断地进行概括总结，不断地在详细解题中细心体会。
现在的高考命题的一个原则就是淡化特别技巧，考生在复习中千万不要去刻意追求一些解题的特别技巧，尽管一些数学题目有多种解法，有的甚至有十几种解法，但这些解法中具有普遍意义的通用解法也就一两种而已，更多的是针对这个题目的专用解法，这些解法作为爱好爱好去观赏是可以的，但在高考复习中却不能把它当做重点。
高考数学中的统计分布问题探究
高考数学中的统计分布问题探究在高考数学考试中，统计学是一个非常重要的考点。
其中，统计分布作为统计学中最重要的内容之一，经常出现在数学考试中的大题和小题中。
掌握统计分布的概念和解题方法，对于考试中得高分有很大的帮助。
本文将探讨高考数学中的统计分布问题，并对其解题方法进行分析。
一、概述统计分布指的是一组数据在各数值上出现的频率或概率分布情况。
常见的统计分布包括离散型分布和连续型分布。
离散型分布指的是数据的取值只能是某些离散的数值，如二项分布、泊松分布等。
而连续型分布指的是数据的取值可以在某一个区间内任意取值，如正态分布、指数分布等。
在高考中，统计分布通常出现在概率论中，主要考察考生对概率密度函数、累积分布函数、期望、方差等概念和计算方法的掌握能力。
下面我们将对其中一些常见的分布进行介绍。
二、二项分布在高考中，最常见的离散型分布莫过于二项分布。
二项分布是指在n次独立的伯努利试验中，成功的次数服从二项分布，其概率分布函数为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数，p为单次试验成功的概率，1-p表示单次试验失败的概率。
这里着重要注意，两者之和应该等于1。
二项分布的期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=n*pVar(X)=n*p*(1-p)在解题中，我们通常需要求出二项分布的概率、期望或方差等。
下面我们以例题形式介绍如何应用二项分布进行解题。
例题：某班级有30名学生，现在将30个袋子里各装入一个木球，每个袋子里的木球除非被摸到否则为空，现在要求随机摸13个袋子并将13个木球全部取出，求此过程中至少不摸到一个袋子的概率。
解题方法：由题可知，每次摸不被摸到的袋子对应的概率为p=29/30，因此此过程中摸到不被摸到的情况的概率为1-29/30=1/30。
设X表示摸到不被摸到的情况的次数，因为这里涉及到13个球的问题，因此，我们可以建立二项分布来计算此问题的概率：P(X>=1)=1-P(X=0)=1-C(13,0)*（1/30^0）*（29/30）¹³≈0.392解答：该过程中至少不摸到一个袋子的概率为0.392。
2024年高考数学命题热点全覆盖专题15统计的命题规律理
专题15 统计的命题规律【学习目标】1．会收集现实问题中两个有关联变量的数据并作出散点图，会利用散点图直观相识变量间的相关关系； 2．了解最小二乘法的思想，能依据给出的线性回来方程系数公式建立线性回来方程； 3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简洁应用； 4．了解回来的基本思想、方法及简洁应用． 【学问要点】 1．抽样方法(1)抽样要具有随机性、等可能性，这样才能通过对样本的分析和探讨更精确的反映总体的状况，常用的抽样方法有简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样．(2)简洁随机抽样是指一个总体的个数为(较小的有限数)，通过逐个抽取一个样本，且每次抽取时每个个体被抽取的概率相等．简洁随机抽样的两种常用方法为抽签法和随机数表法．(3)分层抽样是总体由差异明显的几部分组成，常将总体按差异分成几个部分，然后按各部分所占比例抽样，其中所分成的各部分叫做层．(4)系统抽样是当总体中的个数较多时，将总体均分成几部分，按事先按确定的在各部分抽取． 2．总体分布的估计(1)作频率分布直方图的步骤：①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) ②确定组距与组数 ③将数据分组④列频率分布表(下图)分组频数频率累计频率01[)t t ， 1r 1f 1f12[)t t ，2r2f12f f ＋…………1[]k k t t －， k r k f⑤画频率分布直方图，将区间[)a b ，标在横轴上，纵轴表示频率与组距的比值，以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画矩形，共得k 个矩形，这样得到的图形叫频率分布直方图．频率分布直方图的性质：①第i 个矩形的面积等于样本值落入区间1[)i i t t －，的频率；②由于，所以全部小矩形的面积的和为1.(2)连接频率分布直方图中各小长方形上边的中点，就得到频率分布折线图，随着样本容量的增加，折线图会越来越近似于一条光滑曲线，称之为总体密度曲线．(3)统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是中格中间的一列数，叶是从茎旁边长出来的一列数. 用茎叶图表示数据有两个突出的优点：一是从统计图上没有原始信息的损失，全部的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以在竞赛时随时记录，便利记录与表示． 3．平均数和方差的计算(1)假如有n 个数据，则叫做这组数据的平均数，叫做这组数据的方差，而s 叫做标准差．(2)公式(3)当一组数据中各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a ，得到11x x a '＝－，22x x a '＝－，…，n n x x a'＝－，则4．利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应当相等，由此可以估计中位数值. (2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和. 6.独立性检验 (1)分类变量用变量的不同“值”，表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量.例如：是否吸烟，宗教信仰，国籍等.(2)列联表：即列出两个分类变量的频数表：一般地，假设有两个分类变量x 和y ，它们的值域分别为12{,}x x和12{y ,}y ，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：1y 2y合计1xa b a b + 2xcd c d +合计a c +b d +n其中为样本容量.(3)可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较为精确地给出这种推断的牢靠程度，详细做法是：依据观测数据计算由公式所给出的检验随机变量的观测值k ，并且k 的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大，同时可以利用以下数据来确定“X 与Y 有关系”的可信程度.这种利用随机变量2K 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.三．高考命题类型分析 （一）随机抽样例1．从2024名学生中选取50名学生参与某一活动，若采纳下面的方法选取：先用简洁随机抽样从2024人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在这2024人中，每个人入选的概率 （ ）A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为D ．都相等，且为【答案】C【解析】由简洁随机抽样和系统抽样都是等可能抽样，从个个体中抽取个个体，则每个个体被抽到的概率都等于，即可得解.练习1．下列说法中错误的是（）A．先把高二年级的2000名学生编号为1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为，，的学生，这样的抽样方法是系统抽样法；B．独立性检验中，越大，则越有把握说两个变量有关；C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1；D．若一组数据1、a、3的平均数是2，则该组数据的方差是.【答案】C【解析】对选项逐个进行分析，解除即可得到答案.【详解】对于A，依据个体数目较多，且没有明显的差异，抽取样本间隔相等，知这种抽样方法是系统抽样法，∴A正确；对应B,独立性检验中，越大，应当是说明两个变量有关系的可能性大，即有足够的把握说明两个变量有关，B正确；对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数|r|的值越接近于1，C错误；对于D，一组数据1、a、3的平均数是2，∴a＝2；∴该组数据的方差是s2＝×[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2]＝，D正确．故选：C.（二）样本估计总体例2．某校高一年级有甲，乙，丙三位学生，他们前三次月考的物理成果如表：第一次月考物理成果其次次月考物理成果第三次月考物理成果学生甲80 85 90学生乙81 83 85学生丙90 86 82则下列结论正确的是（）A．甲，乙，丙第三次月考物理成果的平均数为86B．在这三次月考物理成果中，甲的成果平均分最高C．在这三次月考物理成果中，乙的成果最稳定D．在这三次月考物理成果中，丙的成果方差最大【答案】C【解析】由表格中数据，利用平均数公式以及方差的定义与性质，对选项中的命题逐一推断正误即可．【详解】故选C．上购物经验的人数，所得数据的茎叶图如图所示，则这20个班有网购经验的人数的众数为（）A．24 B．37 C．35 D．48【答案】C【解析】依据茎叶图中的数据，利用众数的定义写出结果．【点睛】本题主要考查利用茎叶图求众数，意在考查对基础学问的驾驭与应用，是基础题．练习2．已知一组数据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，那么3，4，5，a，b这组数据的方差为（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】依据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，可知，由方差公式求解即可.【详解】因为从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，所以3，4，5，a，b，m 这6个数字中有4个4，所以，所以故选D.（三）频率分布直方图例3.．例3.．2024年APEC会议于11月10日至11日在越南岘港实行，某探讨机构为了了解各年龄层对APEC会议的关注程度，随机选取了100名年龄在[20，45]内的市民实行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分组区间分布为[20，25），[25.30），[30，35），[35，40），[40，45]）．（1）求选取的市民年龄在[30，35）内的人数；（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人参与APEC会议的宣扬活动，求参与宣扬活动的市民中至少有一人的年龄在[35，40）内的概率．【答案】（1）30；（2）.【解析】（1）由频率分布直方图可得年龄在内的频率为，从而可得结果；（2）利用分层抽样的方法可知，所选的5人中，从第3组选3人，从第4组选2人，利用列举法，求出总事务以及至少有一人的年龄在内的事务，再利用古典概型概率公式即可得出结果.【详解】（1）由频率分布直方图可得年龄在[30，35）内的频率为0.06×5=0.3，则选取的市民年龄在[30，35）内的人数0.3×100=30；练习2．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A．12.5,12.5 B．13,13 C．13.5,12.5 D．13.5,13【答案】B【解析】本题首先要通过频率分布直方图得出第一组、其次组、第三组的频率，然后依据平均数的定义计算出平均数，最终依据中位数定义计算出中位数，即可得出答案。
统计规律
统计规律1问题的提出在统计学中有大数定律如下：定义11 若L L ,,,,21n ξξξ是随机变量序列，如果存在常数列，使对任意的L L ,,,,21n a a a 0>ε，有1P lim 1=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<−∑=∞→εξn n i i n a n 成立，则称随机变量序列{}n ξ服从大数定律。
贝努里定理是所述这类大数定律中著名的一个。
设n μ是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，又A 在每次试验中出现的概率为)10(<<p p ，则对任意的0>ε，有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−∞→εμp n p n n显然，这种大数定律并不能告诉我们：为什么每次试验中A 出现的概率是p 以及当时，为什么p A p =)(n Aμ服从二项式分布。
这里的大数定律，实际上仅是数学的演绎，并非实证的规律，就是说，只要我们给出了随机变量序列(当然是包含足够的关于其分布的信息)，就可以证明它们是否有上述定义和定理的结论成立。
但在实证研究中，我们实际上是通过对实际数据的分析来论证统计规律的存在的。
同时，教科书中又这样描述统计规律：在一定条件组实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果，但大量重复观察时，所得的结果却呈现某种规律，称为随机现象的统计规律性2。
这种描述显然是不符合科学规范的，有含糊其词之嫌。
如“某种规律”与“统计规律性”是何关系，与概率又有何联系。
下面我们以概率的定义和假设检验为基础，来定义统计规律，使统计规律以科学的规范性，成为可通过实践检验真假的命题。
2假设检验解释数理统计中的假设检验包括参数和非参数两部分，下面仅对参数检验做出某些讨论。
一般参数检验系统可描述如下3:设总体ξ的分布函数);(θx F 中含有未知参数θ，参数空间记作Ω，即Ω∈θ，则考虑如下假设的检验问题0H ：0Ω∈θ，：1H 0Ω−Ω∈θ1华东师范大学数学系.概率论与数理统计教程. 北京：高等教育出版社，1983年，第196页。
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【学习目标】1．会收集现实问题中两个有关联变量的数据并作出散点图，会利用散点图直观认识变量间的相关关系； 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程； 3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用； 4．了解回归的基本思想、方法及简单应用． 【知识要点】 1．抽样方法(1)抽样要具有随机性、等可能性，这样才能通过对样本的分析和研究更准确的反映总体的情况，常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样．(2)简单随机抽样是指一个总体的个数为(较小的有限数)，通过逐个抽取一个样本，且每次抽取时每个个体被抽取的概率相等．简单随机抽样的两种常用方法为抽签法和随机数表法．(3)分层抽样是总体由差异明显的几部分组成，常将总体按差异分成几个部分，然后按各部分所占比例抽样，其中所分成的各部分叫做层．(4)系统抽样是当总体中的个数较多时，将总体均分成几部分，按事先按确定的在各部分抽取． 2．总体分布的估计(1)作频率分布直方图的步骤：①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) ②决定组距与组数 ③将数据分组 ④列频率分布表(下图)分组频数频率累计频率…………01[)t t ，1r 1f 1f 12[)t t ，2r 2f 12f f ＋1[]k k t t －，k r k f⑤画频率分布直方图，将区间标在横轴上，纵轴表示频率与组距的比值，以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画矩形，共得个矩形，这样得到的图形叫频率分布直方图．频率分布直方图的性质：①第个矩形的面积等于样本值落入区间的频率；②由于，所以所有小矩形的面积的和为1.三．高考命题类型分析 （一）随机抽样例1．从名学生中选取50名学生参加某一活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从人中剔除18人，剩下的人再按系统抽样的方法抽取50人，则在这人中，每个人入选的概率 （ ）A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为D ．都相等，且为【答案】C 【解析】【详解】因为简单随机抽样和系统抽样都是等可能抽样，从个个体中抽取个个体，则每个个体被抽到的概率都等于，即从2 018名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，每人入选的概率都相等，且为，故选C.练习1．下列说法中错误的是（ ）A ．先把高二年级的名学生编号为1到，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为，，的学生，这样的抽样方法是系统抽样法；B ．独立性检验中，越大，则越有把握说两个变量有关；C ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1；D ．若一组数据1、a 、3的平均数是2，则该组数据的方差是. 【答案】C【解析】对于A ，根据个体数目较多，且没有明显的差异，抽取样本间隔相等，知这种抽样方法是系统抽样法，∴A 正确；[)a b ，k i 1[)i i t t －，对应B,独立性检验中，越大，应该是说明两个变量有关系的可能性大，即有足够的把握说明两个变量有关，B正确；对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数|r|的值越接近于1，C错误；对于D，一组数据1、a、3的平均数是2，∴a＝2；∴该组数据的方差是s2＝×[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2]＝，D正确．故选：C. 上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，则这20个班有网购经历的人数的众数为（）A．24 B．37 C．35 D．48【答案】C【解析】这20个班有网购经历的人数最多的数字为35；所以众数为35，故选C．【点睛】本题主要考查利用茎叶图求众数，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题．练习2．已知一组数据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，那么3，4，5，a，b这组数据的方差为（）A．B．2 C．D．【答案】D【解析】根据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，可知，由方差公式求解即可.（三）频率分布直方图例3.．例3.．APEC会议于11月10日至11日在越南岘港举行，某研究机构为了了解各年龄层对APEC会议的关注程度，随机选取了100名年龄在[20，45]内的市民举行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分组区间分布为[20，25），[25.30），[30，35），[35，40），[40，45]）．（1）求选取的市民年龄在[30，35）内的人数；（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人参与APEC会议的宣传活动，求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在[35，40）内的概率．【答案】（1）30；（2）.【解析】（1）由频率分布直方图可得年龄在内的频率为，从而可得结果；（2）利用分层抽样的方法可知，所选的5人中，从第3组选3人，从第4组选2人，利用列举法，求出总事件以及至少有一人的年龄在内的事件，再利用古典概型概率公式即可得出结果.【详解】（1）由频率分布直方图可得年龄在[30，35）内的频率为0.06×5=0.3，则选取的市民年龄在[30，35）内的人数0.3×100=30；【点睛】本题考查古典概率概率公式与频率分布直方图的应用，属于中档题．利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.练习3．某市要对多名出租车司机的年龄进行调査,现从中随机抽出100名司机,已知该市的司机年龄都在[20,45]之间,根据调査结果得出司机的年龄情况的频率分布直方图如图所示,估计该市出租车司机年龄在频率是()A．0.02 B．0.04 C．0.2 D．0.84【答案】C（四）茎叶图例4．将甲、乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲、乙两人成绩的中位数分别为，则下列说法正确的是( )A．；乙比甲成绩稳定B．；甲比乙成绩稳定C．；乙比甲成绩稳定D．；甲比乙成绩稳定【答案】A练习1．为比较甲、乙两地某月12时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中12时的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：①甲地的平均气温低于乙地的平均气温；②甲地的平均气温高于乙地的平均气温；③甲地气温的标准差小于乙地气温的标准差；④甲地气温的标准差大于乙地气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B【解析】由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两地某月12时的气温抽取的样本温度，进而求出两组数据的平均数、方差，可得答案．【详解】由茎叶图中的数据，我们可得甲，乙两地某月12 时的气温抽取的样本温度分别为：甲：26，28，29，31，31乙：28，29，30，31，32；所以甲地该月12时的气温的标准差大于乙地该月12时的气温标准差.①正确，故选B.故数据的方差是，故标准差是，故选：D．【点睛】本题考查了解方程组问题，考查求数据的平均数和方差问题，是一道基础题．练习2．若样本的平均数是，方差是，则对样本，下列结论正确的是( )A．平均数为14，方差为5 B．平均数为13，方差为25C．平均数为13，方差为5 D．平均数为14，方差为2【答案】C【解析】根据平均数和方差的定义和性质进行求解即可．【点睛】本题主要考查样本数据的方差和平均数的计算，根据相应的公式进行计算是解决本题的关键．（七）极差、方差、标准差例7．已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为x，方差为，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式，进行求解，即可得到答案.【详解】由题意，根据这7个数的平均数为3，方差为，即，，即，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为，即，故选B.练习1．在下列命题中，下列选项正确的是（）A．在回归直线中，变量时，变量的值一定是15.B．两个变量相关性越强，则相关系数就越接近于1.C．在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关.D．若是两个相等的非零实数，则是纯虚数.【答案】D【解析】根据回归方程的定义判断；根据相关系数的定义判断；根据残差图的性质判断；根据纯虚数的定义判断.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查回归方程的定义、相关系数的定义、残差图的性质、纯虚数的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，做这类题目要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.（九）回归分析例9．26．已知某商品的价格（元）与需求量（件）之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753；参考：；当时, ,（1）求，；（2）求出回归直线方程；（3）计算相关系数r的值，并说明回归模型拟合程度的好坏。
【答案】（1）；（2）；（3），拟合效果好.【解析】（1）由平均数公式计算x，y的平均值即可；（2）结合回归方程系数公式和（1）的结论求解回归方程即可；（3）利用相关系数的计算公式求得相关系数即可比较拟合效果的好坏．【点睛】本题考查了线性回归方程的实际应用，线性回归方程的性质，相关系数的概念等，重点考查学生的计算能力和对基础概念的理解，属于中等题．练习1．某工厂每日生产一种产品吨，每日生产的产品当日销售完毕，日销售额为万元，产品价格随着产量变化而有所变化，经过一段时间的产销，得到了的一组统计数据如下表：（1）请判断与中，哪个模型更适合刻画之间的关系？可从函数增长趋势方面给出简单的理由；（2）根据你的判断及下面的数据和公式，求出关于的回归方程，并估计当日产量时，日销售额是多少？（结果保留整数）参考公式及数据：线性回归方程中，，.，，【答案】(1)答案见解析；(2)23万元.【解析】分析：（1）从函数增长趋势考虑可知更适合刻画之间的关系.（2）由题意可得非线性回归方程为，据此预测当日产量时，日销售额是23万元.点睛：本题主要考查非线性回归方程的求解，回归分析的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（十一）独立性检验例11．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：月份12345违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：能否据此判断有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？不礼让斑马线礼让斑马线合计驾龄不超过1年22830驾龄1年以上81220合计302050参考公式及数据：.（其中）【答案】（1）；（2）有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．【解析】（1）利用所给数据计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）由列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论．（2）的可能取值为，，，，，，，，所以的分布列为。