第6章 控制系统的误差分析和计算
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essv 1 0 Kv
s 0
s 0
K a lim s 2G ( s ) H ( s ) K
essa
1 1 Ka K
me.ustb.edu.cn
自控控制理论
6.2.5 稳态误差系数和稳态误差的总结
（系统在控制信号作用下）
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的稳态误 差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，稳态误差为无 穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可以得如下结论： (1) 同一个系统，如果输入的控制信号不同，其稳态误差也不同。 (2) 同一个控制信号作用于不同的控制系统，其稳态误差也不同。 (3) 系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，系统的稳态误差 越小；反之，开环增益越小，系统的稳态误差越大。
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自控控制理论
输入为正弦(余弦)函数时的稳态误差 计算正弦类输入信号作用下系统的稳态误差时，应用频 率特性的基本概念是最简捷的方法之一。 例：设单位反馈系统的开环传递函数为：
100 G( s) s (0.1s 1)
试求系统响应控制信号为 r (t ) sin 5t 时的稳态误差。 解：由于系统为单位反馈系统，所以系统的误差传递函数为：
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自控控制理论
误差 e(t ) ：系统的希望输出 xoi (t ) 和实际输出 xo (t ) 之差。即
e(t ) xoi (t ) xo (t )
E(s) X oI (s) X o (s)
稳态误差 ess ：当t→∞时的系统误差。即
ess lim e(t ) lim s E ( s )
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自控控制理论
线性系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差），等
于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。
当系统的输入信号由位置、速度和加速度等分量组成时，即
C 2 当 r (t ) A Bt t 时， 2 A B C 有 ssr 1 K p Kv Ka essr 1 A B C ( ) H (0) 1 K p Kv Ka
自控控制理论
II型系统的稳态误差
V=2
G (s) H (s) K ( i s 1) s
v m
K p lim G ( s ) H ( s )
s 0
(T s 1)
i 1 i
i 1 n v
essp
1 0 1 K p
K v lim sG ( s ) H ( s )
解:
e ( s) 1G1( S )
S S 1/ T 1 S3
2 当 r (t ) 1 t 2 时 R( s)
(1) E ( s) ( s) R( s)
t 2 -T
1 2 S ( S 1/ T )
T S2
T - TS S 1/T
2 2
e(t ) T e T (t - T ) t 时 ess (2) 由终值定理 ess lim sE ( s) lim s ( s 11/T )
s 0
1 s2
定义：
稳态速度 误差系数
单位抛物线输入
ess lim s
s 0
R( s)
1 s3
1 1 1 1 1 G( s) H ( s) s 3 lim s 2G( s) H ( s) K a
s 0
稳态加速度 定义： 误差系数
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自控控制理论
6.2.4 不同类型反馈控制系统的稳态误差系数 0型系统的稳态误差
1 单位阶跃输入 定义： s 1 1 1 1 ess lim s s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 1 lim G( s) H ( s) 1 K p R(s)
s 0
稳态位置 误差系数
单位斜坡输入
R( s)
1 1 1 1 ess lim s s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 2 lim sG( s) H ( s) K v
1 s(0.1s 1) e ( s) 1 G ( s) 0.1s 2 s 100
根据频率响应的定义，系统在 r (t ) A sin(t ) 信号作
用下的稳态误差为：
ess (t ) e ( j) Asin(t e ( j))
K p lim G ( s ) H ( s )
s 0
essp
1 0 1 K p
s 0
K v lim sG ( s ) H ( s ) K
essv
1 1 Kv K
s 0
K a lim s 2G ( s ) H ( s ) 0
essa
1 Ka
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E ( s) ( s) 1 （ （ E s)= s) X I ( s) X I ( s) 1 G( s) H ( s)
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自控控制理论
1 例 : 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s) , 试求当输入 Ts 1 信号为r (t ) t 2时, 控制系统的稳态误差值。 2
ν =2时，称为II型系统，有2个积分环节； 依次类推。
0型系统: I型系统:
Gs H s
Gs H s
K 0 1 s 1 2 s 1 m s 1 T1 s 1T2 s 1Tn s 1
K1 1 s 1 2 s 1 m s 1 sT1 s 1T2 s 1Tn1 s 1
t s 0
偏差 (t ) ：系统的输入 xi (t ) 和主反馈信号 y(t ) 之差。即
(t ) xi (t ) y(t ) (s) X i (s) Y (s)
稳态偏差 ss ：当t→∞时的系统偏差。即
ss lim (t ) lim s ( s)
s 0
K ( i s 1)
essa
1 Ka
(T s 1)
i 1 i
i 1 n
0
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自控控制理论
I型系统的稳态误差
V=1
G (s) H (s) K ( i s 1) s v (Ti s 1)
i 1 i 1 n v m
自控控制理论
第六章 控制系统的误差分析和计算
准确性，即系统的精度，是对控制系统的基本要
求之一。系统的精度是用系统的误差来度量的。系统 的误差可以分为动态误差和稳态误差，动态误差是指 误差随时间变化的过程值，而稳态误差是指误差的终 值。本章主要讨论常用的稳态误差。
6.1 稳态误差的基本概念 6.2 输入引起的稳态误差 6.3 干扰引起的稳态误差 6.4 减小系统误差的途径 *6.5 动态误差系数
t s 0
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自控控制理论
误差与偏差的关系
1 由于 ( s) H (s)
所以 E ( s) ( s) ( s)
( s)
H ( s)
对单位反馈系统，由于H(s)=1,给定值（输入量）即为输出 量的希望值，因此等于偏差与误差相等。即 E (s) (s)
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自控控制理论
6.1 稳态误差的基本概念
本课程与误差有关的概念都是建立在反馈控制系统基础 之上的。
稳态的定义：时间趋于无穷大（足够长）时的固定响应称
为控制系统的稳定状态，简称稳态。
稳态误差：当系统在特定类型输入信号作用下，达到稳态 时系统精度的度量。 说明：误差产生的原因是多样的，课程中只研究由于系统 结构、参量、以及输入信号的形式不同所引起的误差。
1 1 1 K p 1 K
s 0
K v lim sG ( s ) H ( s ) lim s
s 0
K ( i s 1)
m
essv
1 Kv
s 0
(T s 1)
i 1 i
m
i 1 n
0
K a lim s 2G ( s ) H ( s ) lim s 2
V=0
G (s) H (s) K ( i s 1) s v (Ti s 1)
i 1 i 1 n v m
K p lim G ( s ) H ( s) lim
s 0 s 0
K ( i s 1)
m
(T s 1)
i 1 i
i 1 n
K
essp
自控控制理论
影响稳态误差的因素： 给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统加入不 同的输入，稳态误差不同。 与时间常数形式的开环增益有关；开环增益K↑，稳态误 差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。 与积分环节的个数有关。积分环节的个数↑，稳态误差↓， 但同时系统的稳定性和动态特性变差。 减小和消除稳态误差方法： 提高系统的开环增益。 增加系统开环传递函数中积分环节的个数。 但是这两种方法会降低系统的稳定性。 由此可见，对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特 性的要求是矛盾的。因此，系统的稳定性、准确性与快速性 之间的关系是相互关联和相互矛盾的。
s 0 s 0
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自控控制理论
6.2.2 系统的“型”的概念
闭环系统的开环传递函数一般可以表示为:
K G (s) H (s) s
( is 1) (Ti s 1)
i 1 i 1 n
m
定义： ν =0时，称为0型系统，没有积分环节；
ν =1时，称为I型系统，有1个积分环节；
稳态偏差
1 ss lim (t ) lim s X I ( s) t s 0 1 G ( s) H ( s)
ss ss ess 若H ( s)=H，则ess H (0) H
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自控控制理论
单位反馈系统
对于单位反馈系统由于误差及等于偏差，所以误差传递函 数和偏差传递函数相同，即
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自控控制理论
关于稳态误差几个问题的说明 用稳态误差系数Kp、Kv 和 Ka 表示的稳态误差分别被称为 位置误差、速度误差和加速度误差，都表示系统的过渡过程 结束后，虽然输出能够跟踪输入，但是却存在着位置误差。 速度误差和加速度误差并不是指速度上或加速度上的误差， 而是指系统在速度输入或加速度输入时所产生的在位置上的 误差。位置误差、速度误差和加速度误差的量纲是一样的。 在工程分析中，习惯地称输出量是“位置”， 输出量的 变化率是“速度”，但是，对于误差分析所得到的结论同样 适用于输出量为其它物理量的系统。例如在温度控制中，上 述的“位置”就表示温度，“速度”就表示温度的变化率， 等等。因此，对于“位置”、“速度”等名词应当作广义的 理解。
II型系统:
Gs H s
K 2 1 s 1 2 s 1 m s 1 s 2 T1 s 1T2 s 1Tn2 s 1
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自控控制理论
6.2.3 静态误差系数(稳态误差系数)
1 ess lim e(t ) lim s E (s) lim s X I (s) t s 0 s 0 1 G( s) H ( s)
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自控控制理论
6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 误差传递函数及稳态误差
在求稳态误差时一般是先计算稳态偏差。
偏差传递函数： ( s)
（ s)= X I ( s) 则 ( s)
1 1 G( s) H ( s)
1 X I ( s) 1 G( s) H ( s)
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自控控制理论
例 求如图所示系统在单位阶跃、斜坡、加速度输入
时的稳态误差。
解 系统为单位反馈系统， 偏差即为误差，且系统为I 型系统。 单位阶跃输入时
ess 0
ess 1 2 Kv n
单位斜坡输入时
单位斜坡输入时
ess
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s 0
s 0
K a lim s 2G ( s ) H ( s ) K
essa
1 1 Ka K
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6.2.5 稳态误差系数和稳态误差的总结
（系统在控制信号作用下）
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的稳态误 差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，稳态误差为无 穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可以得如下结论： (1) 同一个系统，如果输入的控制信号不同，其稳态误差也不同。 (2) 同一个控制信号作用于不同的控制系统，其稳态误差也不同。 (3) 系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，系统的稳态误差 越小；反之，开环增益越小，系统的稳态误差越大。
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自控控制理论
输入为正弦(余弦)函数时的稳态误差 计算正弦类输入信号作用下系统的稳态误差时，应用频 率特性的基本概念是最简捷的方法之一。 例：设单位反馈系统的开环传递函数为：
100 G( s) s (0.1s 1)
试求系统响应控制信号为 r (t ) sin 5t 时的稳态误差。 解：由于系统为单位反馈系统，所以系统的误差传递函数为：
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误差 e(t ) ：系统的希望输出 xoi (t ) 和实际输出 xo (t ) 之差。即
e(t ) xoi (t ) xo (t )
E(s) X oI (s) X o (s)
稳态误差 ess ：当t→∞时的系统误差。即
ess lim e(t ) lim s E ( s )
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自控控制理论
线性系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差），等
于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。
当系统的输入信号由位置、速度和加速度等分量组成时，即
C 2 当 r (t ) A Bt t 时， 2 A B C 有 ssr 1 K p Kv Ka essr 1 A B C ( ) H (0) 1 K p Kv Ka
自控控制理论
II型系统的稳态误差
V=2
G (s) H (s) K ( i s 1) s
v m
K p lim G ( s ) H ( s )
s 0
(T s 1)
i 1 i
i 1 n v
essp
1 0 1 K p
K v lim sG ( s ) H ( s )
解:
e ( s) 1G1( S )
S S 1/ T 1 S3
2 当 r (t ) 1 t 2 时 R( s)
(1) E ( s) ( s) R( s)
t 2 -T
1 2 S ( S 1/ T )
T S2
T - TS S 1/T
2 2
e(t ) T e T (t - T ) t 时 ess (2) 由终值定理 ess lim sE ( s) lim s ( s 11/T )
s 0
1 s2
定义：
稳态速度 误差系数
单位抛物线输入
ess lim s
s 0
R( s)
1 s3
1 1 1 1 1 G( s) H ( s) s 3 lim s 2G( s) H ( s) K a
s 0
稳态加速度 定义： 误差系数
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6.2.4 不同类型反馈控制系统的稳态误差系数 0型系统的稳态误差
1 单位阶跃输入 定义： s 1 1 1 1 ess lim s s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 1 lim G( s) H ( s) 1 K p R(s)
s 0
稳态位置 误差系数
单位斜坡输入
R( s)
1 1 1 1 ess lim s s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 2 lim sG( s) H ( s) K v
1 s(0.1s 1) e ( s) 1 G ( s) 0.1s 2 s 100
根据频率响应的定义，系统在 r (t ) A sin(t ) 信号作
用下的稳态误差为：
ess (t ) e ( j) Asin(t e ( j))
K p lim G ( s ) H ( s )
s 0
essp
1 0 1 K p
s 0
K v lim sG ( s ) H ( s ) K
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1 1 Kv K
s 0
K a lim s 2G ( s ) H ( s ) 0
essa
1 Ka
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E ( s) ( s) 1 （ （ E s)= s) X I ( s) X I ( s) 1 G( s) H ( s)
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1 例 : 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s) , 试求当输入 Ts 1 信号为r (t ) t 2时, 控制系统的稳态误差值。 2
ν =2时，称为II型系统，有2个积分环节； 依次类推。
0型系统: I型系统:
Gs H s
Gs H s
K 0 1 s 1 2 s 1 m s 1 T1 s 1T2 s 1Tn s 1
K1 1 s 1 2 s 1 m s 1 sT1 s 1T2 s 1Tn1 s 1
t s 0
偏差 (t ) ：系统的输入 xi (t ) 和主反馈信号 y(t ) 之差。即
(t ) xi (t ) y(t ) (s) X i (s) Y (s)
稳态偏差 ss ：当t→∞时的系统偏差。即
ss lim (t ) lim s ( s)
s 0
K ( i s 1)
essa
1 Ka
(T s 1)
i 1 i
i 1 n
0
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I型系统的稳态误差
V=1
G (s) H (s) K ( i s 1) s v (Ti s 1)
i 1 i 1 n v m
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第六章 控制系统的误差分析和计算
准确性，即系统的精度，是对控制系统的基本要
求之一。系统的精度是用系统的误差来度量的。系统 的误差可以分为动态误差和稳态误差，动态误差是指 误差随时间变化的过程值，而稳态误差是指误差的终 值。本章主要讨论常用的稳态误差。
6.1 稳态误差的基本概念 6.2 输入引起的稳态误差 6.3 干扰引起的稳态误差 6.4 减小系统误差的途径 *6.5 动态误差系数
t s 0
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误差与偏差的关系
1 由于 ( s) H (s)
所以 E ( s) ( s) ( s)
( s)
H ( s)
对单位反馈系统，由于H(s)=1,给定值（输入量）即为输出 量的希望值，因此等于偏差与误差相等。即 E (s) (s)
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6.1 稳态误差的基本概念
本课程与误差有关的概念都是建立在反馈控制系统基础 之上的。
稳态的定义：时间趋于无穷大（足够长）时的固定响应称
为控制系统的稳定状态，简称稳态。
稳态误差：当系统在特定类型输入信号作用下，达到稳态 时系统精度的度量。 说明：误差产生的原因是多样的，课程中只研究由于系统 结构、参量、以及输入信号的形式不同所引起的误差。
1 1 1 K p 1 K
s 0
K v lim sG ( s ) H ( s ) lim s
s 0
K ( i s 1)
m
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1 Kv
s 0
(T s 1)
i 1 i
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i 1 n
0
K a lim s 2G ( s ) H ( s ) lim s 2
V=0
G (s) H (s) K ( i s 1) s v (Ti s 1)
i 1 i 1 n v m
K p lim G ( s ) H ( s) lim
s 0 s 0
K ( i s 1)
m
(T s 1)
i 1 i
i 1 n
K
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影响稳态误差的因素： 给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统加入不 同的输入，稳态误差不同。 与时间常数形式的开环增益有关；开环增益K↑，稳态误 差↓，但同时系统的稳定性和动态特性变差。 与积分环节的个数有关。积分环节的个数↑，稳态误差↓， 但同时系统的稳定性和动态特性变差。 减小和消除稳态误差方法： 提高系统的开环增益。 增加系统开环传递函数中积分环节的个数。 但是这两种方法会降低系统的稳定性。 由此可见，对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特 性的要求是矛盾的。因此，系统的稳定性、准确性与快速性 之间的关系是相互关联和相互矛盾的。
s 0 s 0
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6.2.2 系统的“型”的概念
闭环系统的开环传递函数一般可以表示为:
K G (s) H (s) s
( is 1) (Ti s 1)
i 1 i 1 n
m
定义： ν =0时，称为0型系统，没有积分环节；
ν =1时，称为I型系统，有1个积分环节；
稳态偏差
1 ss lim (t ) lim s X I ( s) t s 0 1 G ( s) H ( s)
ss ss ess 若H ( s)=H，则ess H (0) H
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单位反馈系统
对于单位反馈系统由于误差及等于偏差，所以误差传递函 数和偏差传递函数相同，即
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关于稳态误差几个问题的说明 用稳态误差系数Kp、Kv 和 Ka 表示的稳态误差分别被称为 位置误差、速度误差和加速度误差，都表示系统的过渡过程 结束后，虽然输出能够跟踪输入，但是却存在着位置误差。 速度误差和加速度误差并不是指速度上或加速度上的误差， 而是指系统在速度输入或加速度输入时所产生的在位置上的 误差。位置误差、速度误差和加速度误差的量纲是一样的。 在工程分析中，习惯地称输出量是“位置”， 输出量的 变化率是“速度”，但是，对于误差分析所得到的结论同样 适用于输出量为其它物理量的系统。例如在温度控制中，上 述的“位置”就表示温度，“速度”就表示温度的变化率， 等等。因此，对于“位置”、“速度”等名词应当作广义的 理解。
II型系统:
Gs H s
K 2 1 s 1 2 s 1 m s 1 s 2 T1 s 1T2 s 1Tn2 s 1
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6.2.3 静态误差系数(稳态误差系数)
1 ess lim e(t ) lim s E (s) lim s X I (s) t s 0 s 0 1 G( s) H ( s)
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6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 误差传递函数及稳态误差
在求稳态误差时一般是先计算稳态偏差。
偏差传递函数： ( s)
（ s)= X I ( s) 则 ( s)
1 1 G( s) H ( s)
1 X I ( s) 1 G( s) H ( s)
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例 求如图所示系统在单位阶跃、斜坡、加速度输入
时的稳态误差。
解 系统为单位反馈系统， 偏差即为误差，且系统为I 型系统。 单位阶跃输入时
ess 0
ess 1 2 Kv n
单位斜坡输入时
单位斜坡输入时
ess
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