第6章 控制系统的误差分析和计算
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控制工程基础6章
H(S) +
Xor(S)
+ N(S)
+
-
E(S)
G1(S)
G2(S)
X0(S)
设xor (t )是控制系统希望的输出信号，而 xo (t ) 是实际的输出信号, 一般把二者之差定义为 误差信号，记做e(t), e(t) = xor (t ) - xo (t )
m(p) 是理想算子，是认为规 定的。一般情况下， m( s) =1/H(s)。
时的系统输出端的稳态误差。
1 2 例题：求下图所示系统 在1(t), t, 和 t 分别作用下的稳态误差 。 2
五、扰动引起的误差
+
G1(s) N(s) G2(s) Xo(s)
Xi(s) +
+
Y(s) H(s)
要想求稳态偏差，可以利用叠加原理，分别求
出给定信号Xi(s) 和N(s)单独作用时的偏差，然
2 2
对于0型系统，Ka=0，ess=
对于I型系统， Ka=0, ess=
对于II型系统， Ka=K, ess= 1/K 对于III型及以上系统， Ka= , ess= 0
0和I型系统不能跟踪单位斜坡输入，I I型系统能跟踪单 位斜坡输入但有静差，需要III型以上系统才能消除静差。
10 G 例：设有一非单位反馈控制系统， ( s) = s 1 H(s)=Kh，输入为单位阶跃。试求， Kh=1和0.1
结构形式 输入形 式
1 例：设单位反馈控制系统的 G( s) = ，输 2 Ts t 入信sint ， 2 试求系统的稳态误差。
为什么？ 因为：E(s) = s (s 2 2 )(s 1 ) T T 1 T s T 2 3 1 =- 2 2 2 2 2 2 2 2 1 T 1 s 2 T 1 s 2 T 1 s T 求拉式反变换 T
Xor(S)
+ N(S)
+
-
E(S)
G1(S)
G2(S)
X0(S)
设xor (t )是控制系统希望的输出信号，而 xo (t ) 是实际的输出信号, 一般把二者之差定义为 误差信号，记做e(t), e(t) = xor (t ) - xo (t )
m(p) 是理想算子，是认为规 定的。一般情况下， m( s) =1/H(s)。
时的系统输出端的稳态误差。
1 2 例题：求下图所示系统 在1(t), t, 和 t 分别作用下的稳态误差 。 2
五、扰动引起的误差
+
G1(s) N(s) G2(s) Xo(s)
Xi(s) +
+
Y(s) H(s)
要想求稳态偏差，可以利用叠加原理，分别求
出给定信号Xi(s) 和N(s)单独作用时的偏差，然
2 2
对于0型系统，Ka=0，ess=
对于I型系统， Ka=0, ess=
对于II型系统， Ka=K, ess= 1/K 对于III型及以上系统， Ka= , ess= 0
0和I型系统不能跟踪单位斜坡输入，I I型系统能跟踪单 位斜坡输入但有静差，需要III型以上系统才能消除静差。
10 G 例：设有一非单位反馈控制系统， ( s) = s 1 H(s)=Kh，输入为单位阶跃。试求， Kh=1和0.1
结构形式 输入形 式
1 例：设单位反馈控制系统的 G( s) = ，输 2 Ts t 入信sint ， 2 试求系统的稳态误差。
为什么？ 因为：E(s) = s (s 2 2 )(s 1 ) T T 1 T s T 2 3 1 =- 2 2 2 2 2 2 2 2 1 T 1 s 2 T 1 s 2 T 1 s T 求拉式反变换 T
控制系统的误差分析和计算
第六章 控制系统的误差分析和计算
- Y (s)
×
ε ( s)
G (s ) H (s )
Xo ( s)
ε ( s) = X i ( s) − Y ( s) = X i ( s) − H ( s) X 0 ( s)
根据拉氏变换的终值定理 终值定理， 根据拉氏变换的终值定理，得到稳态偏差εss为
ε ss = lim ε (t ) = lim sε ( s)
中国石油大学机电工程学院
10
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析和计算
说明： 说明：
误差是从系统输出端 误差 输出端来定义的，是输出期望值与实际输 输出端 出值之差。误差在性能指标提法中经常使用，实际系统中 因为输入信号和输出信号往往量纲不同，一般只具有数学 上的意义。 偏差是从系统输入端 偏差 输入端来定义的，是系统输入信号与主反 输入端 馈信号之差。偏差在实际系统中是能测量的，具有一定的 物理意义。 对于单位反馈系统而言，误差与偏差是一致的。对于非 单位反馈系统，两者是不同的。 必须是稳定系统计算稳态误差（偏差）才有意义。
xo (t ) x i (t )
ess
瞬态响应
China university of petroleum
稳态响应
t
4
中国石油大学机电工程学院
控制工程基础
第六章 控制系统的误差分析和计算
是控制系统期望的输出值， 是其实际的输出值， 设xor(t)是控制系统期望的输出值， xo(t)是其实际的输出值， 是控制系统期望的输出值 是其实际的输出值 则误差函数e(t)定义为 则误差函数 定义为
China university of petroleum
控制工程基础
《自动控制原理》第6章_自动控制系统的校正
频率法校正的基本原理： 利用校正网络的特性来增大系统的相位裕度，
改善系统瞬态响应。
校正装置分类
校正装置按 控制规律分
超前校正（PD） 滞后校正（PI）
滞后超前校正（PID)
校正装置按 实现方式分
有源校正装置（网络） 无源校正装置（网络）
有源超前校正装置
R2
u r (t)
i 2 (t)
R1
i1(t)
(aTa s
1)(Tb a
s
1)
滞后--超前网络
L'()
20db / dec
20 lg K c
1 1/ T1 2 1/ T2
设相角为零时的角频率
1
()
a)
20db / dec
5
1 T1T2
90
5 校正网络具有相
5
位滞后特性。
90
b)
5 校正网络具有相位
超前特性。
G( j)
Kc
( jT1
G1 (s)
N (s) C(s)
G2 (s)
性能指标
时域：
超调量 σ%
调节时间 ts
上升时间 tr 稳态误差 ess
开环增益 K
常用频域指标:
开环频域 指标
截止频率: 相角裕度:
c
幅值裕度:
h
闭环频域 指标
峰值 : M p
峰值频率: r
带宽: B
复数域指标 是以系统的闭环极点在复平面
上的分布区域来定义的。
解：由稳态速度误差系数 k v 1应00 有
G( j)
100
j( j0.1 1)( j0.01 1)
100 A()
1 0.012 1 0.00012
改善系统瞬态响应。
校正装置分类
校正装置按 控制规律分
超前校正（PD） 滞后校正（PI）
滞后超前校正（PID)
校正装置按 实现方式分
有源校正装置（网络） 无源校正装置（网络）
有源超前校正装置
R2
u r (t)
i 2 (t)
R1
i1(t)
(aTa s
1)(Tb a
s
1)
滞后--超前网络
L'()
20db / dec
20 lg K c
1 1/ T1 2 1/ T2
设相角为零时的角频率
1
()
a)
20db / dec
5
1 T1T2
90
5 校正网络具有相
5
位滞后特性。
90
b)
5 校正网络具有相位
超前特性。
G( j)
Kc
( jT1
G1 (s)
N (s) C(s)
G2 (s)
性能指标
时域：
超调量 σ%
调节时间 ts
上升时间 tr 稳态误差 ess
开环增益 K
常用频域指标:
开环频域 指标
截止频率: 相角裕度:
c
幅值裕度:
h
闭环频域 指标
峰值 : M p
峰值频率: r
带宽: B
复数域指标 是以系统的闭环极点在复平面
上的分布区域来定义的。
解：由稳态速度误差系数 k v 1应00 有
G( j)
100
j( j0.1 1)( j0.01 1)
100 A()
1 0.012 1 0.00012
第六章 控制系统的误差分析和计算.ppt
6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 误差传递函数与稳态误差
➢单位反馈控制系统
输入引起的系统的误差传递函数为
E(s) 1 Xi(s) 1G(s)
则
E(s) 1 1G(s)
Xi(s)
X i sE(s)源自G(s)X o s
图6-2 单位反馈系统
根据终值定理 e ss lt ie m (t) ls i0s m (E s) ls i0s m 1 G 1 (s)X i(s)
这就是求取输入引起的单位反馈系统稳态误差的方法.需要注意的 是,终值定理只有对有终值的变量有意义.如果系统本身不稳定,用 终值定理求出的值是虚假的.故在求取系统稳态误差之前,通常应 首先判断系统的稳定性.
➢ 非单位反馈控制系统
输入引起的系统的偏差传递函数为:
sXi(s)Y(s)
1
1G(s)H(s)
控制系统的方块图如图6-1所示.实线部分与实际系统有对应关系, 而虚线部分则是为了说明概念额外画出的.
控制系统的误差信号的象函数是 E ( s )s X is X o s (6-1)
而
偏差信号的象函数是 (s)X is Y s
(6-2)
考虑Xi(s)与Y(s)近似相等,且Y(s)=H(s)Xo(s),得
一般情况下,H为常值,故这时:
e ss
ss
H
例6-1 某反馈控制系统如图6-4,当xi(t)=1(t)时,求稳态误差.
解:该系统为一阶惯性系统,系统稳定.误差传递函数为:
Es 1 1 s
Xi(s) 1G(s) 110 s10 s
而
X
i
(s)
1 s
则
e ss ls i0s m s s1X 0 i(s) ls i0s m s s11 s0 0
控制工程基础 第6章 控制系统的误差分析和计算
C0 (s)
N (s)
R(s) B(s)
(s)
-
G1 ( s )
+ G2 (s)
H (s)
e(s) -
C(s)
(b)
误差
C0(s) (s) N(s)
R(s)
1 H(s)
R1(s) C0(s)
E1(s(s))H(s)
E(s)
G1(s)
G2(s) C(s)
(c)
e(s) -+ (s)
H (s)
E(s)
因为偏差 (s) R(s) B(s) H (s)C0 (s) H (s)C(s) H (s)e(s)
这里 R(s) H (s)C0 (s) 是基于控制系统在理想工作情况下
(s) 0 得到的。
即当控制系统的偏差信号 (s) 0 时，该控制系统无调节控制
作用，此时的实际输出信号C(s)就是希望输出信号 C0 (s) 。
G(s)H(s)
i1 nv
sv (Tis 1)
i1
（4）稳态误差系数和稳态误差的总结 （系统在控制信号作用下）
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的
稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，
稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可
以得如下结论：
何改变系统结构?
(s)
- G1 K1
解：（1）给定作用下的误差传递函数为
RE (s)
(s)
R(s)
1
1
K1
K2 s
s s K1K2
当给定输入为单位阶跃输入时，稳态误差为
N (s)
+
G2
K2 s
自动控制6第六章控制系统的综合与校正
复合校正
同时采用串联校正和反馈校正的方法，对系 统进行综合校正，以获得更好的性能。
数字校正
利用数字技术对控制系统进行校正，具有灵 活性和高精度等优点。
02 控制系统性能指标及评价
控制系统性能指标概述
稳定性
准确性
系统受到扰动后，能否恢复到原来的 平衡状态或达到新的平衡状态的能力。
系统稳态误差的大小，反映了系统的 控制精度。
针对生产线上的各种工 艺要求，设计相应的控 制策略，如顺序控制、 过程控制等。
系统校正方法
根据生产效率和产品质 量要求，采用适当的校 正方法，如PID参数整定、 自适应控制等。
仿真与实验验证
通过仿真和实验手段， 验证综合与校正后的工 业自动化生产线控制系 统的稳定性和效率。
控制系统综合与校正的注
06 意事项与常见问题解决方 案
仿真与实验验证
通过仿真和实验手段，验证综合与校正后 的导弹制导控制系统的精确性和可靠性。
系统校正方法
针对导弹制导控制系统的性能要求，采用 适当的校正方法，如串联校正、反馈校正 等。
实例三
01
02
03
04
控制系统结构
分析工业自动化生产线 控制系统的组成结构， 包括传感器、执行机构、 PLC等部分。
控制策略设计
考虑多变量解耦控制
对于多变量控制系统，可以考虑采 用解耦控制策略，降低各变量之间 的相互影响，提高系统控制精度。
加强系统鲁棒性设计
考虑系统不确定性因素，加强 系统鲁棒性设计，提高系统对 各种干扰和变化的适应能力。
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控制系统综合与校正的注意事项
明确系统性能指标
第6章 控制系统的误差分析和计算
H(s) H(s)
ess = lime(t ) = lims ⋅ E(s) = lims ⋅
t →∞ s→0 s→0
H(s)
ε (s)
H(s)
控制系统的误差分析和计算
输入及干扰引起的稳态误差计算 输入作用下的偏差传递函数及稳态偏差计算
1 ΦRε (s) = = R(s) 1+ G1(s)G2 (s)H(s)
满足由0<K<6，显然调整 值也无法使稳态误差小于 。 调整K值也无法使稳态误差小于 调整 值也无法使稳态误差小于0.1。
式中：K − 开环放大系数； ν − 积分环节个数； 控制系统的误差分析和计算 G0 (s) −开环传递函数去掉积分和比例环节； 输入及干扰引起的稳态误差分析
G 0 (0) = 1 ,
s→0
KP的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。KP越大， 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 越大， ess越小。所以说 P 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。 越小。所以说K 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。 稳态误差为零的系统称为无差系统,为有限值称有差系统。 稳态误差为零的系统称为无差系统,为有限值称有差系统。 无差系统 有差系统 在单位阶跃作用下, 的系统为有差系统, 在单位阶跃作用下,υ=0 的系统为有差系统, 系统为无差系统 为无差系统。 υ>=1 的系统为无差系统。
ν = 0 → Kν = lims ⋅ Gk (s) = 0 → ess−r = ∞
s→0
ν = 1 → Kν = lims ⋅ Gk (s) = K → ess−r = 1/ K
s→0
ν ≥ 2 → Kν = lims ⋅ Gk (s) = ∞ → ess−r = 0
s→0
Kυ的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。K υ越大， 的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。 越大， 斜坡输入下的稳态精度 ess越小。所以说 Kυ 反映了系统跟踪斜坡输入的能力。 越小。 反映了系统跟踪斜坡输入的能力。 斜坡输入的能力
ess = lime(t ) = lims ⋅ E(s) = lims ⋅
t →∞ s→0 s→0
H(s)
ε (s)
H(s)
控制系统的误差分析和计算
输入及干扰引起的稳态误差计算 输入作用下的偏差传递函数及稳态偏差计算
1 ΦRε (s) = = R(s) 1+ G1(s)G2 (s)H(s)
满足由0<K<6，显然调整 值也无法使稳态误差小于 。 调整K值也无法使稳态误差小于 调整 值也无法使稳态误差小于0.1。
式中：K − 开环放大系数； ν − 积分环节个数； 控制系统的误差分析和计算 G0 (s) −开环传递函数去掉积分和比例环节； 输入及干扰引起的稳态误差分析
G 0 (0) = 1 ,
s→0
KP的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。KP越大， 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 越大， ess越小。所以说 P 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。 越小。所以说K 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。 稳态误差为零的系统称为无差系统,为有限值称有差系统。 稳态误差为零的系统称为无差系统,为有限值称有差系统。 无差系统 有差系统 在单位阶跃作用下, 的系统为有差系统, 在单位阶跃作用下,υ=0 的系统为有差系统, 系统为无差系统 为无差系统。 υ>=1 的系统为无差系统。
ν = 0 → Kν = lims ⋅ Gk (s) = 0 → ess−r = ∞
s→0
ν = 1 → Kν = lims ⋅ Gk (s) = K → ess−r = 1/ K
s→0
ν ≥ 2 → Kν = lims ⋅ Gk (s) = ∞ → ess−r = 0
s→0
Kυ的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。K υ越大， 的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。 越大， 斜坡输入下的稳态精度 ess越小。所以说 Kυ 反映了系统跟踪斜坡输入的能力。 越小。 反映了系统跟踪斜坡输入的能力。 斜坡输入的能力
控制工程实验-第6章
定义静态位置误差系数为
Kpls i0m G (s)G (0)
用静态位置误差系数表示的单位阶跃输入
下的稳态误差为
1
ess 1 K p
K, 0型系统 Kpls i0m G (s)G (0) , I型或 I型 高系 于
ess11Kp
11K, 0,
0型系统 I型或高 I型于 系统
• 如果单位反馈控制系统前向通道中没有包 含积分环节，那么它对阶跃输入的响应中 包含稳态误差。
及稳态误差的方法。
6.2.1 误差传递函数与稳态误差
对于下图所示的单位反馈控制系统，
输入引起的系统误差传递函数为
e(s)X E i((ss))1G 1(s)1G c(s)
则
E(s) 1 1G(s)
Xi(s)
如果系统稳定，根据终值定理，可计
算稳态误差
1 e ss e( ) ls i0s m (E s) ls i0s m 1 G (s)X i(s)
本节的要点：
掌握有干扰时的稳态误差计算方法。
s1G 2 G (2 s()G s)1 H ssH sN s
根据终值定理，干扰引起的稳态偏差为
则干扰引起ss的lt稳 i 态m 误(t)差为ls i0s m (s)
ess
ss
H 0
干扰引起的稳态误差也可以这样来求：
由于干扰产生的输出全是系统误差，因此， 干扰引起的稳态误差等于干扰产生的稳态 输出乘以（-1）。
静态速度误差系数
系统对单位斜坡（速度）输入的稳态误差是
essls i0m s1G 1(s)s12s1 G (s)
定义静态速度误差系数为
Kv
limsG(s) s0
用静态速度误差系数表示的单位速度输入下
Kpls i0m G (s)G (0)
用静态位置误差系数表示的单位阶跃输入
下的稳态误差为
1
ess 1 K p
K, 0型系统 Kpls i0m G (s)G (0) , I型或 I型 高系 于
ess11Kp
11K, 0,
0型系统 I型或高 I型于 系统
• 如果单位反馈控制系统前向通道中没有包 含积分环节，那么它对阶跃输入的响应中 包含稳态误差。
及稳态误差的方法。
6.2.1 误差传递函数与稳态误差
对于下图所示的单位反馈控制系统，
输入引起的系统误差传递函数为
e(s)X E i((ss))1G 1(s)1G c(s)
则
E(s) 1 1G(s)
Xi(s)
如果系统稳定，根据终值定理，可计
算稳态误差
1 e ss e( ) ls i0s m (E s) ls i0s m 1 G (s)X i(s)
本节的要点：
掌握有干扰时的稳态误差计算方法。
s1G 2 G (2 s()G s)1 H ssH sN s
根据终值定理，干扰引起的稳态偏差为
则干扰引起ss的lt稳 i 态m 误(t)差为ls i0s m (s)
ess
ss
H 0
干扰引起的稳态误差也可以这样来求：
由于干扰产生的输出全是系统误差，因此， 干扰引起的稳态误差等于干扰产生的稳态 输出乘以（-1）。
静态速度误差系数
系统对单位斜坡（速度）输入的稳态误差是
essls i0m s1G 1(s)s12s1 G (s)
定义静态速度误差系数为
Kv
limsG(s) s0
用静态速度误差系数表示的单位速度输入下
机械工程控制基础控制系统的误差分析和计算
12
对单位阶跃输入，稳态误差为
ess
lim
s0
s 1
G
1
s
H (s)
1 s
1
G
1
0 H (0)
静态位置误差系数的定义：
Kp
lim G
s0
s
H (s)
G
0 H (0)
则
ess
1 1 Kp
13
对0型系统
Gs
K 1s 1 2s 1 T1s 1 T2s 1
Kp
lim
s0
K0 t1s 1t2s 1L T1s 1T2s 1L
Gs
K 1s 1 2s 1 T1s 1 T2s 1
Kv
lim
s0
s
K 1s 1 2s 1 T1s 1 T2s 1
0
16
对I型系统
Gs
K 1s 1 2s 1 s T1s 1 T2s 1
Kv
lim
s0
s
K 1s 1 2s 1 s T1s 1 T2s 1
K1
对II型系统
Gs
K 1s 1 2s 1 s2 T1s 1 T2s 1
ε(s) =Xi(s) - Y(s) Y(s)=H(s)Xo(s)
(s) 1
H (s)
p202
Xi (s)
X oi (s)
(s)
(s)
G1 ( s )
N(s)
＋ G2 (s)
Y (s)
H (s)
E(s)
1 H (s)
Xi (s)
X o (s)
ε(s) =Xi(s) - H(s)Xo(s)
1 (s)
t
s0
2. 利用终值定理计算系统的稳态误差：
自动控制系统1_第6章 控制系统的误差分析与计算
6.1.1 误差定义
6.1.1 误差定义 1.从输入端定义 2.从输出端定义 3.两种定义之间的联系 由于输入r(t)是期望输出cr(t)的函数，而 主反馈b(t)又与实际输出c(t)有关，所以两种定义e(t)与er(t)有一定 的联系。
6.1.1 误差定义
系统误差的定义为：被控量期望值(理论理想值)与实际值(实际测量值)之差。
6.1.1 误差定义
图6-1 控制系统的典型结构
1.从输入端定义
1.从输入端定义 将给定输入信号作为期望值，反馈信号作为实际值，可以得到从输入端
相应的传递函数为
2.从输出端定义
2.从输出端定义 从输出端定义，控制系统的误差er(t)为被控制量的期望值 cr(t)与实际值c(t)之差，如图6 1所示，即
(3)静态加速度(s误)=差的系稳数态K误a：差系也统称对为加加速速度度输误入差信系号数r(t)＝1/2t2、R
表6-1 系统型别、静态误差系数及稳态误差与输入信号之间关系
首先，判别系统的稳定性。由图6 3可写出系统的开环传递函数
(3)静态加速度(s误)=差的系稳数态K误a：差系也统称对为加加速速度度输误入差信系号数r(t)＝1/2t2、R
图6-3 位置随动系统
(3)静态加速度(s误)=差的系稳数态K误a：差系也统称对为加加速速度度输误入差信系号数r(t)＝1/2t2、R
图6-4 化为单位反馈的位置随动系统
由系统闭环特征方程式4s 2+4s+10=0可知系统是稳定的. 然后求系统的稳态误差。由于开环传递函数中含有一个积分环节，即N=1属Ⅰ型 系统，且开环放大系数为K=2 5，所以，根据表6 1
相应的传递函数
3.两种定义之间的联系
两种定义之间的联系 由于输入r(t)是期望输出cr(t)的函数，而主反馈b(t)又 与实际输出c(t)有关，所以两种定义e(t)与er(t)有一定的联系。当实际输出值 c(t)等于期望输出值cr(t)时，由输入端定义误差信号e(t)等于零，有
第6章系统误差计算分析
Xi(s)
+ −
ε(s) G1(s)
+ +
N(s) G2(s)
Xo(s)
Y(s)
H(s)
干扰引起稳态偏差为
ss lim ( t ) lim s ( s )
t s0
( s)
G2 ( s ) H ( s ) N ( s) 1 G2 ( s )G1 ( s ) H ( s )
lim G0 ( s ) 1
s0
E ( s) 1 e ( s) R( s ) 1 G1 ( s ) H ( s )
1 K 1 v G0 ( s ) s 1 ess lim s e ( s ) R( s ) lim s R( s ) s0 s0 K 1 v G0 ( s ) s
X i ( s) E ( s) X 0 ( s) H ( s)
( s)
X i ( s) X o ( s) H ( s) H ( s) X i ( s) E ( s) X o ( s) H ( s)
1 E (s)= ( s) H ( s)
A 1 A s 1 G1 ( s ) H ( s ) 1 lim G1 ( s ) H ( s )
s0
静态位置误差系数 K p lim G1 ( s ) H ( s ) lim
s 0
s 0
K sv
A 1 K p
r (t ) A t
e ssv lim s e ( s ) R( s ) lim s
s0 s0
A 1 A s 2 1 G1 ( s ) H ( s ) lim s G1 ( s ) H ( s )
+ −
ε(s) G1(s)
+ +
N(s) G2(s)
Xo(s)
Y(s)
H(s)
干扰引起稳态偏差为
ss lim ( t ) lim s ( s )
t s0
( s)
G2 ( s ) H ( s ) N ( s) 1 G2 ( s )G1 ( s ) H ( s )
lim G0 ( s ) 1
s0
E ( s) 1 e ( s) R( s ) 1 G1 ( s ) H ( s )
1 K 1 v G0 ( s ) s 1 ess lim s e ( s ) R( s ) lim s R( s ) s0 s0 K 1 v G0 ( s ) s
X i ( s) E ( s) X 0 ( s) H ( s)
( s)
X i ( s) X o ( s) H ( s) H ( s) X i ( s) E ( s) X o ( s) H ( s)
1 E (s)= ( s) H ( s)
A 1 A s 1 G1 ( s ) H ( s ) 1 lim G1 ( s ) H ( s )
s0
静态位置误差系数 K p lim G1 ( s ) H ( s ) lim
s 0
s 0
K sv
A 1 K p
r (t ) A t
e ssv lim s e ( s ) R( s ) lim s
s0 s0
A 1 A s 2 1 G1 ( s ) H ( s ) lim s G1 ( s ) H ( s )
第6章_控制系统的误差分析和计算_6.3干扰引起的稳态误差
N (s ) R (s ) E (s )
-
G1 = K1
+
G2 =
K2 s
C (s )
（2）扰动作用下的误差传递函数为 K2 − E(s) − K2 s ΦNE (s) = = = N(s) 1+ K K2 s + K1K2 1 s 当扰动输入为单位阶跃输入时，稳态误差为
essn
1 − K2 1 1 = lim s ⋅ Φ NE ⋅ = lim s ⋅ ⋅ =− s →0 s s →0 s + K1 K 2 s K1
N (s )
X i (s )
ε (s )
B (s )
-
G1 ( s )
+
H (s )
G2 (s)
X o (s )
（2）稳态误差的计算 ）
①给定作用下的偏差传递函数
N (s )
X i
X i (s )
-
G1 ( s )
+
H (s )
G2 (s)
X o (s )
ε (s )
ess = essr + essn 1 =− K1
（3）输入作用与扰动作用共同作用下的稳态误差为
N (s ) R (s ) E (s )
-
G1 =
K1 s
+
G2 =
K2 s
C (s )
（4）如果要求稳态误差为零，可以在G1中串联积分环节，令 K1 G1 = s 1 s2 1 essr = lim s ⋅ Φ RE ⋅ = lim s ⋅ 2 ⋅ =0 则有 s →0 s s →0 s + K1 K 2 s
④对于稳定的系统，采用拉氏变换的终值定理计算稳态偏差
第六章控制系统性能分析
令 G(S)
K S
G 1(S )
则
G(j
)
K S
G 1(
j
)
( j )
K S
G
1(
j
)
1
K S
G
1(
j
)
KG S
1( j ) KG 1 ( j
)
当 0, 1时
M (0) ( j0) 1
当 0
M (0) ( j0) K 1 1 K
0, 输入信号变为直流信号
(相当于阶跃信号） ,
1.低频段
开环玻德图 L()上第一个转折频率之前的频段，主要影响时间响
应的结尾段。 开环玻德图低频段渐近线的斜率反映系统含积分环节的个数（系统 型别），而它的高度则反映系统的开环增益，因此，低频渐近线的 斜率和高度决定着系统的稳态精度。
一般在保证稳定的前提下，K越大，系统型别越高，则系统稳态精
度越好。一般取 2。
灵敏度为：
S
d ln d ln
d dH
dH d
+ -
G(s)
Y(s)
H(s)
dH H d
H d dH
S
H
H
d dH
S
H
H
GG ( 1 GH
)2
S
S
H
G(S)H (S) 1 G(S)H (S)
当 G(S )H (S ) 1
S
H
G2 ( 1 GH
H )2
S
S
H
dG d
H(s)
(1 GH G
) dG d
1 GH GH (1 GH ) 2
dG 1 G d 1 GH
自动控制原理(第三版)第6章 控制系统的校正
如果通过调整控制器增益后仍然不能全面满 足设计要求的性能指标，就需要在系统中增加一 些参数及特性可按需要改变的校正装置，使系统 全面满足设计要求。
在研究系统校正装置时，为了方便，将系统 中除了校正装置以外的部分，包括被控对象及控 制器的基本组成部分一起称为“固有部分”。
因此控制系统的校正，就是按给定的固有部 分和性能指标，设计校正装置。
KPLeabharlann e(t) 1 TI
t
e(t)dt
0
TD
de(t) dt
u(t为) 控制器的输出； e(为t) 系统给定量与输出量的偏差
K为P 比例系数； T为I 积分时间常数； TD 为微分时间常数
相应的传递函数为
Gc
(s)
K
P
1
1 TI s
TD
s
KP
KI s
KDs
KP 为比例系数；K I为积分系数；KD 为微分系数。
(1) 原理简单，使用方便。
(2) 适应性强，可广泛应用于各种工业生产部 门，按PID控制规律进行工作的控制器早已商品化， 即使目前最新式的过程控制计算机，其基本控制 功能也仍然是PID控制。
(3) 鲁棒性强，即其控制品质对被控对象特性 的变化不太敏感。
自动控制原理
基本PID控制规律可以描述为
u(t)
自动控制原理
2. 频域性能指标
频域性能指标，包括开环频域指标和闭环频 域指标。 (1) 开环频域指标 一般要画出开环对数频率特性，并给出开环频域 指标如下：开环剪切频率c 、相位裕量 和幅值 裕量K g 。 (2) 闭环频域指标 一般给出闭环幅频特性曲线，并给出闭环频域指 标如下：谐振频率 r 、谐振峰值 M r 和频带宽度b 。
在研究系统校正装置时，为了方便，将系统 中除了校正装置以外的部分，包括被控对象及控 制器的基本组成部分一起称为“固有部分”。
因此控制系统的校正，就是按给定的固有部 分和性能指标，设计校正装置。
KPLeabharlann e(t) 1 TI
t
e(t)dt
0
TD
de(t) dt
u(t为) 控制器的输出； e(为t) 系统给定量与输出量的偏差
K为P 比例系数； T为I 积分时间常数； TD 为微分时间常数
相应的传递函数为
Gc
(s)
K
P
1
1 TI s
TD
s
KP
KI s
KDs
KP 为比例系数；K I为积分系数；KD 为微分系数。
(1) 原理简单，使用方便。
(2) 适应性强，可广泛应用于各种工业生产部 门，按PID控制规律进行工作的控制器早已商品化， 即使目前最新式的过程控制计算机，其基本控制 功能也仍然是PID控制。
(3) 鲁棒性强，即其控制品质对被控对象特性 的变化不太敏感。
自动控制原理
基本PID控制规律可以描述为
u(t)
自动控制原理
2. 频域性能指标
频域性能指标，包括开环频域指标和闭环频 域指标。 (1) 开环频域指标 一般要画出开环对数频率特性，并给出开环频域 指标如下：开环剪切频率c 、相位裕量 和幅值 裕量K g 。 (2) 闭环频域指标 一般给出闭环幅频特性曲线，并给出闭环频域指 标如下：谐振频率 r 、谐振峰值 M r 和频带宽度b 。
第6章_控制系统的误差分析和计算_6.4减小系统误差的途径
Φ n ( s) = 0
G1 ( s )
即可以使得干扰信号N(s)所产生的输出信号C(s)=0，从而 N(s) C(s)=0 消除了干扰信号N(s)对输出信号C(s)的影响。 该系统由两个通道组成，属于复合控制系统。实际上，该 系统就是利用双通道原理，实现了对干扰信号N(s)的补偿作用。 一个通道是干扰信号N(s)直接到达相加点，另一个通道是干扰信 号N(s)经过Gc(s)G1(s)后到达同一个相加点。如果满足上述选择 Gc(s)G1(s)=-1，则从两个通道过来的干扰信号在此相加点处， 大小相等，方向相反，从而实现了干扰信号的全补偿。
《控制工程基础》 控制工程基础》
第6章 控制系统的误差分析和计算 6.4 减小系统误差的途径
为了减小系统误差，可以考虑以下途径： （1）反馈通道的精度对于减小系统误差至关 重要。反馈通道元部件的精度要高，避免在反馈通 道引入干扰。 （2）在系统稳定的前提下： 对于输入引起的误差，增大系统开环放大倍数 或提高系统型次，可以使之减小。 对于干扰引起的误差，在前向通道干扰点前加 积分器或增大放大倍数，可以使之减小。 （3）既要求稳态误差小，又要求良好的动态 性能，只靠加大开环放大倍数或串入积分环节不能 同时满足要求时，可以采用复合控制（顺馈）方法 对误差进行补偿。补偿的方式可分为按干扰补偿和 按输入补偿。
6.4.2 按输入补偿（顺馈补偿闭环控制） 按输入补偿（顺馈补偿闭环控制）
顺馈补偿闭环控制系统的典型结构如图所示，其中R(s) 是输入信号，C(s)是输出信号，E(s)是偏差，Gc(s)是顺馈补偿 通道传递函数。该系统由两个通道组成，属于复合控制系统。 一个通道是由G1(s)G2(s)组成的主控制通道，为闭环控制。另 一个通道是由Gc(s)G2(s)组成的顺馈补偿控制通道，为开环控 制。系统的输出不仅与系统的误差有关，而且还与补偿信号有 关。补偿信号所产生的作用，可以用来补偿原来的误差信号。
G1 ( s )
即可以使得干扰信号N(s)所产生的输出信号C(s)=0，从而 N(s) C(s)=0 消除了干扰信号N(s)对输出信号C(s)的影响。 该系统由两个通道组成，属于复合控制系统。实际上，该 系统就是利用双通道原理，实现了对干扰信号N(s)的补偿作用。 一个通道是干扰信号N(s)直接到达相加点，另一个通道是干扰信 号N(s)经过Gc(s)G1(s)后到达同一个相加点。如果满足上述选择 Gc(s)G1(s)=-1，则从两个通道过来的干扰信号在此相加点处， 大小相等，方向相反，从而实现了干扰信号的全补偿。
《控制工程基础》 控制工程基础》
第6章 控制系统的误差分析和计算 6.4 减小系统误差的途径
为了减小系统误差，可以考虑以下途径： （1）反馈通道的精度对于减小系统误差至关 重要。反馈通道元部件的精度要高，避免在反馈通 道引入干扰。 （2）在系统稳定的前提下： 对于输入引起的误差，增大系统开环放大倍数 或提高系统型次，可以使之减小。 对于干扰引起的误差，在前向通道干扰点前加 积分器或增大放大倍数，可以使之减小。 （3）既要求稳态误差小，又要求良好的动态 性能，只靠加大开环放大倍数或串入积分环节不能 同时满足要求时，可以采用复合控制（顺馈）方法 对误差进行补偿。补偿的方式可分为按干扰补偿和 按输入补偿。
6.4.2 按输入补偿（顺馈补偿闭环控制） 按输入补偿（顺馈补偿闭环控制）
顺馈补偿闭环控制系统的典型结构如图所示，其中R(s) 是输入信号，C(s)是输出信号，E(s)是偏差，Gc(s)是顺馈补偿 通道传递函数。该系统由两个通道组成，属于复合控制系统。 一个通道是由G1(s)G2(s)组成的主控制通道，为闭环控制。另 一个通道是由Gc(s)G2(s)组成的顺馈补偿控制通道，为开环控 制。系统的输出不仅与系统的误差有关，而且还与补偿信号有 关。补偿信号所产生的作用，可以用来补偿原来的误差信号。
自动控制原理第6章控制系统的校正
将上式对w求导，并令其为零，得最大超前角频率 ：
m
1 Ta
自动控制原理 孟华
12
由于 ：
lg m
1 2
(lg
1 T
lg
1 aT
)
故最大超前角频率wm是两个转折频率1/aT和1/T的几何中点。
得最大超前角 ：
m
arctan a 1 2a
或：
m
arcsin
a a
1 1
由此得：
Lc(m) 20lg aGc j 10lg a
实际位置随a和T的数值而改变。a＞1，零点位 于极点的右边，它们间的距ห้องสมุดไป่ตู้取决于a的值。显然， a越大，间距越大，超前作用越显著；但是a值过大，
元件在物理实现上较困难，同时噪声的影响也被微
分作用放大。所以为了避免上述问题，实际选用的a
值一般不超过20。对于超前相角要求较大的场合， 可用两个超前网络串接。
T 1 0.114
m a
自动控制原理 孟华
29
因此超前网络传递函数可确定为
1 0.456s 4Gc (s) 1 0.114s
为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需要提高4倍，否则 不能保证稳态误差要求。
超前网络参数确定后，已校正系统的开环传递函数可写为
Gc (s)G0 (s)
10(1 0.456s) s(1 0.114s)(1
自动控制原理 孟华
5
6.2 校正装置及其特性
本节介绍它们的电路形式、传递函数、对 数频率特性以及零极点分布图。由于工程实践 中普遍采用PID调节技术，因此本节还对PID 调节器的原理进行简要介绍。
自动控制原理 孟华
6
6.2.1 无源校正装置
自控原理课件第6章-自动控制系统的性能分析
54
55
56
小 结 自动控制系统性能的分析主要包括稳态性能 分析和动态性能分析。系统的稳态无误差 ess标 志着系统最终可能达到的控制精度，它包括跟 随稳态误差essr和扰动稳态误差essd。跟随误差与 系统的前向通路的积分环节个数 v 、开环增益 K 有关。 v 愈多； K 愈大，则系统的稳态精度愈高 。扰动稳态误差与扰动量作用点前的前向道路 的积分环节个数vl和增益Kl有关，vl 愈多，Kl愈 大，则系统的稳态精度愈高。对于随动控制系 统，主要考虑跟随稳态误差；而对于恒值控制 系统，主要考虑扰动稳态误差。
31
此时，系统的稳定性和快速性都比较好。在工程上常 称取ξ=0.707的系统为“二阶最佳系统”。 以上的分析虽然是对二阶系统的，但对高阶系统，如 果能以系统的主导极点 ( 共扼极点 ) 来估算系统的性能，即 只要能将它近似成一个二阶系统，就可以用二阶系统的分 析方法和有关结论对三阶及三阶以上的高阶系统进行性能 分析。
20
21
22
23
24
25
调整时间是从给定量作用于系统开始，到输 出量进入并保持在允许的误差带 ( 误差带是指离稳 态值c(∞)偏离 δ c (∞) 的区域)内所经历的时间。 δ 通常分为5％(要求较低)和2％ (要求较高)两种。 由于输出量c(t)通常为阻尼振荡曲线，c(t)进入 误差带的情况比较复杂，所以通常以输 出量的包络线b(t) 进入误差带来近似求取调整时间 ts。
17
6.1.4 系统稳态性能综述 (1) 系统的稳态误差由跟随稳态误差和扰动稳态 误差两部分组成，它们不仅和系统的结 构、参数 有关，而且还和作用量(输入量和扰动量)的大小、 变化规律和作用点有关。 跟随稳态误差essr：系统开环传递函数中所含积 分环节个数(v)愈多，开环增益K愈大， 则系统的稳态性能愈好。 扰动稳态误差 essd ：扰动作用点前，前向通路所 含的积分环节个数 vl 愈多，作用点前的增益 Kl 愈 大．则系统抗扰稳态性能愈好。 (2) 作用量随时间变化得愈快，作用量产生的误 差也愈大。
55
56
小 结 自动控制系统性能的分析主要包括稳态性能 分析和动态性能分析。系统的稳态无误差 ess标 志着系统最终可能达到的控制精度，它包括跟 随稳态误差essr和扰动稳态误差essd。跟随误差与 系统的前向通路的积分环节个数 v 、开环增益 K 有关。 v 愈多； K 愈大，则系统的稳态精度愈高 。扰动稳态误差与扰动量作用点前的前向道路 的积分环节个数vl和增益Kl有关，vl 愈多，Kl愈 大，则系统的稳态精度愈高。对于随动控制系 统，主要考虑跟随稳态误差；而对于恒值控制 系统，主要考虑扰动稳态误差。
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此时，系统的稳定性和快速性都比较好。在工程上常 称取ξ=0.707的系统为“二阶最佳系统”。 以上的分析虽然是对二阶系统的，但对高阶系统，如 果能以系统的主导极点 ( 共扼极点 ) 来估算系统的性能，即 只要能将它近似成一个二阶系统，就可以用二阶系统的分 析方法和有关结论对三阶及三阶以上的高阶系统进行性能 分析。
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调整时间是从给定量作用于系统开始，到输 出量进入并保持在允许的误差带 ( 误差带是指离稳 态值c(∞)偏离 δ c (∞) 的区域)内所经历的时间。 δ 通常分为5％(要求较低)和2％ (要求较高)两种。 由于输出量c(t)通常为阻尼振荡曲线，c(t)进入 误差带的情况比较复杂，所以通常以输 出量的包络线b(t) 进入误差带来近似求取调整时间 ts。
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6.1.4 系统稳态性能综述 (1) 系统的稳态误差由跟随稳态误差和扰动稳态 误差两部分组成，它们不仅和系统的结 构、参数 有关，而且还和作用量(输入量和扰动量)的大小、 变化规律和作用点有关。 跟随稳态误差essr：系统开环传递函数中所含积 分环节个数(v)愈多，开环增益K愈大， 则系统的稳态性能愈好。 扰动稳态误差 essd ：扰动作用点前，前向通路所 含的积分环节个数 vl 愈多，作用点前的增益 Kl 愈 大．则系统抗扰稳态性能愈好。 (2) 作用量随时间变化得愈快，作用量产生的误 差也愈大。
第六章 控制系统的误差分析和计算
设G1(s)=1,系统是一阶的,因此稳定.图6-9中,R是电动机电枢电阻,CM为力矩系 数,N是扰动力矩,干扰作用为一个常值阶跃干扰,故稳态偏差为
- K2Kc
ssls i0m s1TKM 1sK2K 1c
NR K2Kc NR CMs 1K1K2Kc CM
TMs1
则稳态误差为 essKscs1KK 1K 22Kc C NMR
差
es
s1
lims 1 s0 1K1
K2 s
10 s
- K2
再求干扰引起的稳态误差
ess2
lims s
s0
1K1
K2 s
1 1 s K1
所以,总误差为
11 esses1ses2 s0-K1K1
例6-4 某直流伺服电动机调速系统如图6-9所示,试求扰动力矩N(s)引起的稳态误 差.
解:首先应选择合适的G1(s)使系统稳定.Kc是测速负反馈系数,这是一个非单位反 馈的控制系统,先求扰动作用下的稳态偏差,再求稳态误差ess.
控制系统的方块图如图6-1所示.实线部分与实际系统有对应关系, 而虚线部分则是为了说明概念额外画出的.
控制系统的误差信号的象函数是 E ( s ) s X is X o s (6-1)
而
偏差信号的象函数是 (s) X is Y s (6-2)
考虑Xi(s)与Y(s)近似相等,且Y(s)=H(s)Xo(s),得
对于一个实际的控制系统,由于系统的结构、输入作用的类型 (给定量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或抛物线)不同, 控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当, 也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置. 这类由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差称为 原理性稳态误差.
- K2Kc
ssls i0m s1TKM 1sK2K 1c
NR K2Kc NR CMs 1K1K2Kc CM
TMs1
则稳态误差为 essKscs1KK 1K 22Kc C NMR
差
es
s1
lims 1 s0 1K1
K2 s
10 s
- K2
再求干扰引起的稳态误差
ess2
lims s
s0
1K1
K2 s
1 1 s K1
所以,总误差为
11 esses1ses2 s0-K1K1
例6-4 某直流伺服电动机调速系统如图6-9所示,试求扰动力矩N(s)引起的稳态误 差.
解:首先应选择合适的G1(s)使系统稳定.Kc是测速负反馈系数,这是一个非单位反 馈的控制系统,先求扰动作用下的稳态偏差,再求稳态误差ess.
控制系统的方块图如图6-1所示.实线部分与实际系统有对应关系, 而虚线部分则是为了说明概念额外画出的.
控制系统的误差信号的象函数是 E ( s ) s X is X o s (6-1)
而
偏差信号的象函数是 (s) X is Y s (6-2)
考虑Xi(s)与Y(s)近似相等,且Y(s)=H(s)Xo(s),得
对于一个实际的控制系统,由于系统的结构、输入作用的类型 (给定量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或抛物线)不同, 控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当, 也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置. 这类由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差称为 原理性稳态误差.
第六章 系统的稳态误差(第十五讲)
j 1 m i 1 n −ν
ν
, n≥m
(6(6-11)
06-7-20
控制工程基础
13
K：系统开环增益
ν = 0 0型系统 Ι型系统 ν : 为系统中含有的积分环节数ν = 1 ν = ΙΙ型系统 2 ν > 2时，ΙΙ型以上的系统，实际上很难使之稳定，所以这种类型的 系统在控制工程中一般不会碰到。
06720控制工程基础23静态位置误差系数静态加速度误差系数误差系数类型静态速度误差系数不同类型系统误差系数表06720控制工程基础24输入类型有关开环传递函数有就越小与系统稳态误差静态误差系数不同类型系统稳态误差表06720控制工程基础254多种典型函数组合信号作用下的稳态误差对于线性系统在多种典型函数组合信号的作用如
1 s +1.6 E(s) = Xi (s) = 2 1+ G(s) s +1.6s + 4
0.2
0
-0.2
ess = lims • E(s) = 0
s−0
-0.4
-0.6
Xi (s)
_
ωn2 S(S+2ξωn)
Xo (s)
-0.8
-1
0
100
200
300
400
500
600
图6-4 标准形式的二阶系统方块图
lim
lim
lim
误差为零，即系统能够很好地跟踪阶跃输入，稳态精度很高。 误差为零，即系统能够很好地跟踪阶跃输入，稳态精度很高。
06-7-20 控制工程基础 10
例2 二阶系统在单位阶跃输入作用下的响应的误差曲线
Φ(s) = 4 s2 +1.6s + 4
G(s) = 4 s(s +1.6)
ν
, n≥m
(6(6-11)
06-7-20
控制工程基础
13
K：系统开环增益
ν = 0 0型系统 Ι型系统 ν : 为系统中含有的积分环节数ν = 1 ν = ΙΙ型系统 2 ν > 2时，ΙΙ型以上的系统，实际上很难使之稳定，所以这种类型的 系统在控制工程中一般不会碰到。
06720控制工程基础23静态位置误差系数静态加速度误差系数误差系数类型静态速度误差系数不同类型系统误差系数表06720控制工程基础24输入类型有关开环传递函数有就越小与系统稳态误差静态误差系数不同类型系统稳态误差表06720控制工程基础254多种典型函数组合信号作用下的稳态误差对于线性系统在多种典型函数组合信号的作用如
1 s +1.6 E(s) = Xi (s) = 2 1+ G(s) s +1.6s + 4
0.2
0
-0.2
ess = lims • E(s) = 0
s−0
-0.4
-0.6
Xi (s)
_
ωn2 S(S+2ξωn)
Xo (s)
-0.8
-1
0
100
200
300
400
500
600
图6-4 标准形式的二阶系统方块图
lim
lim
lim
误差为零，即系统能够很好地跟踪阶跃输入，稳态精度很高。 误差为零，即系统能够很好地跟踪阶跃输入，稳态精度很高。
06-7-20 控制工程基础 10
例2 二阶系统在单位阶跃输入作用下的响应的误差曲线
Φ(s) = 4 s2 +1.6s + 4
G(s) = 4 s(s +1.6)
《自动控制基础》第6章 控制系统稳态误差和计算
六、单位反馈系统的动态误差分析 单位反馈系统的误差传递函数：
E s 1 1 e (s) e 0 0s 0s 2 X i s 1 Gs 2!
误差象函数：
1 E s e 0X i s 0sX i s 0s 2 X i s 2!
单位反馈控制系 统的稳态误差
1 ess lim et lim sE s lim sX i s t s 0 s 0 1 G s
二、静态误差系数 单位反馈控制系统的开环传递函数记为：
K (b0 s m b1s m 1 bm 1s 1) G s m m 1 s a0 s a1s an 1s 1
（2）按输入进行补偿
用顺馈对输入信号引起的误差进行补偿
Gs E s Rs C s Rs Rs 1 Gr s 1 Gs 1 Gr s G s E s Rs 1 Gs
1 令E s 0 Gr s G s
不能跟踪单位斜坡信号 能跟踪单位斜坡信号，但 有一定的稳态位置误差 能准确跟踪单位斜坡信号
K (b0 s m b1s m 1 bm 1s 1) G s s a0 s m a1s m 1 an 1s 1 单位加速度信号输入下的稳态误差为：
第六章 控制系统稳态误差和计算
一、误差传递函数和稳态误差 1. 单位反馈控制系统的误差传递函数
Gs 1 E s X i s X o s X i s X i s X i s 1 Gs 1 Gs E s 1 —— 单位反馈控制系统的误差传递函数 X i s 1 Gs
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K p lim G ( s ) H ( s )
s 0
essp
1 0 1 K p
s 0
K v lim sG ( s ) H ( s ) K
essv
1 1 Kv K
s 0
K a lim s 2G ( s ) H ( s ) 0
essa
1 Ka
自控控制理论
6.1 稳态误差的基本概念
本课程与误差有关的概念都是建立在反馈控制系统基础 之上的。
稳态的定义：时间趋于无穷大（足够长）时的固定响应称
为控制系统的稳定状态，简称稳态。
稳态误差：当系统在特定类型输入信号作用下，达到稳态 时系统精度的度量。 说明：误差产生的原因是多样的，课程中只研究由于系统 结构、参量、以及输入信号的形式不同所引起的误差。
1 单位阶跃输入 定义： s 1 1 1 1 ess lim s s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 1 lim G( s) H ( s) 1 K p R(s)
s 0
稳态位置 误差系数
单位斜坡输入
R( s)
1 1 1 1 ess lim s s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 2 lim sG( s) H ( s) K v
自控控制理论
例 求如图所示系统在单位阶跃、斜坡、加速度输入
时的稳态误差。
解 系统为单位反馈系统， 偏差即为误差，且系统为I 型系统。 单位阶跃输入时
ess 0
ess 1 2 Kv n
单位斜坡输入时
单位斜坡输入时
ess
自控控制理论
关于稳态误差几个问题的说明 用稳态误差系数Kp、Kv 和 Ka 表示的稳态误差分别被称为 位置误差、速度误差和加速度误差，都表示系统的过渡过程 结束后，虽然输出能够跟踪输入，但是却存在着位置误差。 速度误差和加速度误差并不是指速度上或加速度上的误差， 而是指系统在速度输入或加速度输入时所产生的在位置上的 误差。位置误差、速度误差和加速度误差的量纲是一样的。 在工程分析中，习惯地称输出量是“位置”， 输出量的 变化率是“速度”，但是，对于误差分析所得到的结论同样 适用于输出量为其它物理量的系统。例如在温度控制中，上 述的“位置”就表示温度，“速度”就表示温度的变化率， 等等。因此，对于“位置”、“速度”等名词应当作广义的 理解。
1 s(0.1s 1) e ( s) 1 G ( s) 0.1s 2 s 100
根据频率响应的定义，系统在 r (t ) A sin(t ) 信号作
用下的稳态误差为：
ess (t ) e ( j) Asin(t e ( j))
t s 0
偏差 (t ) ：系统的输入 xi (t ) 和主反馈信号 y(t ) 之差。即
(t ) xi (t ) y(t ) (s) X i (s) Y (s)
稳态偏差 ss ：当t→∞时的系统偏差。即
ss lim (t ) lim s ( s)
s 0
K ( i s 1)
essa
1 Ka
(T s 1)
i 1 i
i 1 n
0
自控控制理论
I型系统的稳态误差
V=1
G (s) H (s) K ( i s 1) s v (Ti s 1)
i 1 i 1 n v m
essv 1 0 Kv
s 0
s 0
K a lim s 2G ( s ) H ( s ) K
essa
1 1 Ka K
自控控制理论
6.2.5 稳态误差系数和稳态误差的总结
（系统在控制信号作用下）
此表概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型反馈控制系统在不同输入信号作用下的稳态误 差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，稳态误差为无 穷大；在对角线以下部分，稳态误差为零。由此表可以得如下结论： (1) 同一个系统，如果输入的控制信号不同，其稳态误差也不同。 (2) 同一个控制信号作用于不同的控制系统，其稳态误差也不同。 (3) 系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，系统的稳态误差 越小；反之，开环增益越小，系统的稳态误差越大。
1 1 1 K p 1 K
s 0
K v lim sG ( s ) H ( s ) lim s
s 0
K ( i s 1)
m
essv
1 Kv
s 0
(T s 1)
i 1 i
m
i 1 n
0
K a lim s 2G ( s ) H ( s ) lim s 2
t s 0
自控控制理论
误差与偏差的关系
1 由于 ( s) H (s)
所以 E ( s) ( s) ( s)
( s)
H ( s)
对单位反馈系统，由于H(s)=1,给定值（输入量）即为输出 量的希望值，因此等于偏差与误差相等。即 E (s) (s)
自控控制理论
II型系统的稳态误差
V=2
G (s) H (s) K ( i s 1) s
v m
K p lim G ( s ) H ( s )
s 0
(T s 1)
i 1 i
i 1 n v
essp
1 0 1 K p
K v lim sG ( s ) H ( s )
自控控制理论
输入为正弦(余弦)函数时的稳态误差 计算正弦类输入信号作用下系统的稳态误差时，应用频 率特性的基本概念是最简捷的方法之一。 例：设单位反馈系统的开环传递函数为：
100 G( s) s (0.1s 1)
试求系统响应控制信号为 r (t ) sin 5t 时的稳态误差。 解：由于系统为单位反馈系统，所以系统的误差传递函数为：
ν =2时，称为II型系统，有2个积分环节； 依次类推。
0型系统: I型系统:
Gs H s
Gs H s
K 0 1 s 1 2 s 1 m s 1 T1 s 1T2 s 1Tn s 1
K1 1 s 1 2 s 1 m s 1 sT1 s 1T2 s 1Tn1 s 1
II型系统:
Gs H s
K 2 1 s 1 2 s 1 m s 1 s 2 T1 s 1T2 s 1Tn2 s 1
自控控制理论
6.2.3 静态误差系数(稳态误差系数)
1 ess lim e(t ) lim s E (s) lim s X I (s) t s 0 s 0 1 G( s) H ( s)
自控控制理论
6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 误差传递函数及稳态误差
在求稳态误差时一般是先计算稳态偏差。
偏差传递函数： பைடு நூலகம் ( s)
（ s)= X I ( s) 则 ( s)
1 1 G( s) H ( s)
1 X I ( s) 1 G( s) H ( s)
E ( s) ( s) 1 （ （ E s)= s) X I ( s) X I ( s) 1 G( s) H ( s)
自控控制理论
1 例 : 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s) , 试求当输入 Ts 1 信号为r (t ) t 2时, 控制系统的稳态误差值。 2
解:
e ( s) 1G1( S )
S S 1/ T 1 S3
2 当 r (t ) 1 t 2 时 R( s)
(1) E ( s) ( s) R( s)
t 2 -T
1 2 S ( S 1/ T )
T S2
T - TS S 1/T
2 2
e(t ) T e T (t - T ) t 时 ess (2) 由终值定理 ess lim sE ( s) lim s ( s 11/T )
自控控制理论
线性系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差），等
于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。
当系统的输入信号由位置、速度和加速度等分量组成时，即
C 2 当 r (t ) A Bt t 时， 2 A B C 有 ssr 1 K p Kv Ka essr 1 A B C ( ) H (0) 1 K p Kv Ka
自控控制理论
误差 e(t ) ：系统的希望输出 xoi (t ) 和实际输出 xo (t ) 之差。即
e(t ) xoi (t ) xo (t )
E(s) X oI (s) X o (s)
稳态误差 ess ：当t→∞时的系统误差。即
ess lim e(t ) lim s E ( s )
稳态偏差
1 ss lim (t ) lim s X I ( s) t s 0 1 G ( s) H ( s)
ss ss ess 若H ( s)=H，则ess H (0) H
自控控制理论
单位反馈系统
对于单位反馈系统由于误差及等于偏差，所以误差传递函 数和偏差传递函数相同，即
s 0 s 0
自控控制理论
6.2.2 系统的“型”的概念
闭环系统的开环传递函数一般可以表示为:
K G (s) H (s) s
( is 1) (Ti s 1)
i 1 i 1 n
m
定义： ν =0时，称为0型系统，没有积分环节；
ν =1时，称为I型系统，有1个积分环节；