一次函数的概念 优秀教学设计

一次函数的概念

【教学目标】

1．理解一次函数、常值函数的概念；

2．理解一次函数与正比例函数的关系；

3．会利用待定系数法求一次函数的解析式。

【教学重难点】

1．一次函数与正比例函数概念的关系；

2．用待定系数法求一次函数的解析式；

3．一次函数与正比例函数概念的关系；

4．用待定系数法求一次函数的解析式。

【教学过程】

一、创设情境，复习导入

问题1：汽车油箱里原有汽油120升，已知每行驶10千米耗油2升，如果汽车油箱的剩余是y（升）汽车行驶的路程为x（千米），试用解析式表示y与x的关系。

分析：每行驶10千米耗油2升，那么每行驶1千米耗油0.2升，因此y与x的函数关系式为：

y=120－0.2x（0≤x≤600）。

当然，这个函数也可表示为：

y=－0.2x+120（0≤x≤600）。

说明：当一个函数以解析式表示时，如果对函数的定义域未加说明，那么定义域由这个函数的解析式确定；否则，应指明函数的定义域。

这个函数是不是我们所学的正比例函数？它与正比例函数有何不同？它的图像又具备什么特征？从今天开始我们将讨论这些问题。

二、学习新课

1．概念辨析

问题2：某人驾车从甲地出发前往乙地，汽车行驶到离甲地80千米的A处发生故障，修好后以60千米／小时的速度继续行驶。以汽车从A处驶出的时刻开始计时，设行驶的时间为t（小时），某人离开甲地所走的路程为s（千米），那么s与t的函数解析式是什么？

类似问题1：这个函数解析式是：

S=60t+80。

思考：这个解析式和y=-0.2x+120有什么共同特点？

说明：通过讨论使学生能够从它们的函数表达式得出表示函数的式子都是自变量的一次整式。

如果我们用k 表示自变量的系数，b 表示常数。这些函数就可以写成：y=kx+b （k ≠0）的形式。

一般地，形如y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的函数，叫做一次函数（linear function ）。一次函数的定义域是一切实数。

当b=0时，y=kx+b 即y=kx （k 是常数，且k ≠0）。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

当k=0时，y 等于一个常数，这个常数用c 来表示，一般地，我们把函数y=c （c 是常数）叫做常值函数（constantfunction ）它的定义域由所讨论的问题确定。

2．例题分析。

例题1：根据变量x 、y 的关系式，判断y 是否是x 的一次函数。

（1）2y x =；（2）112y x =-；（3）123x y -=；（4）23y x

=+。例题2：已知变量x 、y 之间的关系式是y=（a+1）x+a （其中a 是常数），那么y 是x 的一次函数吗？

例题3：已知一个一次函数，当自变量x=2时，函数值y=-1；当x=5时，y=8。求这个函数的解析式。

分析：求一次函数解析式，关键是求出k 、b 值。由此可列出关于k 、b 的二元一次方程组，解之可得。

解：设所求一次函数的解析式为y=kx+b ；

由x=2时y=-1，得-1=2k+b ；

由x=5时y=8，得8=5k+B 。

解二元一次方程组1285k b k b -=+⎧⎨=+⎩

。k=3，b=-7。

所以，这个一次函数的解析式是37y x =-。

说明：这里求一次函数解析式的方法是待定系数法。解析式中k ，b 是待定系数，利用两

个已知条件列出关于k 、b 的方程组再求解，可确定它们的值。

3．巩固练习。

（1）下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？

①8y x =-。②3y x

=。③256y x =+。

（2）一个小球从斜坡由静止开始向下滚动，其速度每秒增加2米。这个小球的速度v 随时间t 变化的函数关系是一次函数吗？

（3）汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y （升）随行驶时间x （小时）变化的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。y 是x 的一次函数吗？

（4）已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式。

4．自我评价，谈谈感想。

（1）这节课你学会了什么？

（2）你认为有哪些要注意的地方？

（3）你还有什么问题吗？