下培优训练三平面直角坐标系综合问题压轴题

培优训练三：平面直角坐标系（压轴题）

一、坐标与面积：

【例1】如图，在平面直角坐标中，A (0，1)，B (2，0)，C （2，1.5）． （1）求△ABC 的面积；

（2）如果在第二象限内有一点P （a ，0.5），试用a 的式子表示四边形ABOP 的面积；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【例2】在平面直角坐标系中，已知A （-3，0），B （-2，-2），将线段AB 平移至线段CD . （1）如图1，直接写出图中相等的线段，平行的线段；

（2）如图2，若线段AB 移动到CD ，C 、D 两点恰好都在坐标轴上，求C 、D 的坐标； （3）若点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第一象限内，且S △ACD =5，求C 、D 的坐标；

（4）在y 轴上是否存在一点P ，使线段AB 平移至线段PQ 时，由A 、B 、P 、Q 构成的四边形是平行四边形面积为10，若存在，求出P 、Q 的坐标，若不存在，说明理由； 【例3】如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0），B （－2，3），C （－3，0）． （1）求△ABC 的面积；

（2）若把△ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A B C '''，

请你在图中画出△A B C '''；

（3）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上什么位置时，使

2ACP ABC

S S =V V ；

（4）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上什么位置时，使2BCQ ABC

S S =V V ．

【例4】如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足2

(2)20a b ++-=，过C 作

CB ⊥x 轴于B ．

（1）求三角形ABC 的面积；

（2）若过B 作BD ∥AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分∠CAB ，∠ODB ，如图2，求∠AED 的度数； （3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．

【例5】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别是A （0，0），B （7，0），C （9，

5），D （2，7）

（1）在坐标系中，画出此四边形； （2）求此四边形的面积；

（3）在坐标轴上，你能否找一个点P ，使S △PBC =50， 若能，求出P 点坐标，若不能，说明理由． 【例6】如图，A 点坐标为（－2， 0）， B 点坐标为（0， －3）.

(1)作图，将△ABO 沿x 轴正方向平移4个单位， 得到△DEF ， 延长ED 交y 轴于C 点， 过O 点作

OG ⊥CE ， 垂足为G ；

(2) 在(1)的条件下， 求证: ∠COG ＝∠EDF ； （3）求运动过程中线段AB 扫过的图形的面积． 【例7】在平面直角坐标系中，点B （0，4），C （-5，4），

点A 是x 轴负半

A(-2,0)

B(0,-3)

y x

轴上一点，S 四边形AOBC =24.

（1）线段BC 的长为 ，点A 的坐标为 ；

（2）如图1，EA 平分∠CAO ，DA 平分∠CAH ，CF ⊥AE 点F ，试给出∠ECF 与∠DAH 之间满足的数

量关系式，并说明理由；

（3）若点P 是在直线CB 与直线AO 之间的一点，连接BP 、OP ，BN 平分CBP ∠，ON 平分AOP ∠，

BN 交ON 于N ，请依题意画出图形，给出BPO ∠与BNO ∠之间满足的数量关系式，并说明理由. 【例8】在平面直角坐标系中，OA ＝4，OC ＝8，四边形ABCO 是平行四边形． （1）求点B 的坐标及的面积ABCO S 四边形；

（2）若点P 从点C 以2单位长度/秒的速度沿CO 方向移动，同时点Q 从点O 以1单位长度/秒的速度沿OA 方向移动，设移动的时间为t 秒，△AQB 与△BPC 的面积分别记为AQB S ∆，BPC S ∆，是否存在某个时间，使AQB S ∆＝

3

OQBP

S 四边形，若存在，求出t 的值，若不存在，试说明理由；

（3）在（2）的条件下，四边形QBPO 的面积是否发生变化，若不变，求出并证明你的结论，若变化，求出变化的范围．

【例9】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D 连结AC ，BD ． (1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ；

（2）在y 轴上是否存在一点P ，连结P A ，PB ，使S △P AB ＝S △

若不存在，试说明理由；

（3）若点Q 自O 点以0.5个单位/s 的速度在线段AB 秒，（1）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB （4）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积等于△

【例10】在直角坐标系中，△ABC 的顶点A （—2，0），B （2，4），C （5（1）求△ABC 的面积

（2）点D 为y 负半轴上一动点，连BD 交x 轴于E ，是否存在点D 使得S ∆出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点F （5，n ）是第一象限内一点，，连BF ，CF ，G 是x 轴上一点，若△的面积，则点G 的坐标为 （用含n 的式子表示）

二、坐标与几何：

【例1】如图，已知A(0，a)，B （0，b ），C （m ，b ）且（a －4）2＋|b ＋3|＝0，S △ABC ＝14. （1）求C 点坐标

（2）作DE ⊥DC ，交y 轴于E 点，EF 为∠AED 的平分线，且∠DFE ＝900.求证：FD 平分∠ADO ； （3）E 在y 轴负半轴上运动时，连EC ，点P 为AC 延长线上一点，EM 平分∠AEC ，且PM ⊥EM ，

PN ⊥x 轴于N 点，PQ 平分∠APN ，交x 轴于Q 点，则E 在运动过程中，∠MPQ

∠ECA

的大小是否

发生变化，若不变，求出其值.

【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A （-5,0），B （5.0），D （2，7）， （1）求C 点的坐标；

（2）动点P 从B 点出发以每秒1个单位的速度沿BA 方向运动，同时动点Q 从C 点出发也以每秒1位的速度沿y 轴正半轴方向运动（当P 点运动到A 点时，两点都停止运动）。设从出发起运动了x 秒。

①请用含x 的代数式分别表示P,Q 两点的坐标；

②当x=2时，y 轴上是否存在一点E ，使得△AQE 的面积与△APQ 的面积相等？ 若存在，求E 的坐标，若不存在，说明理由？

【例3】如图，在平面直角坐标系中，∠ABO=2∠BAO ，P 为x 轴正半轴上一动点，BC 平分∠ABP ，

PC 平分∠APF ，OD 平分∠POE 。

（1）求∠BAO 的度数； （2）求证：∠C=15°+12∠OAP

（3）P 在运动中，∠C+∠D 的值是否变化，若发生变化，说明理由，若不变求其值。 【例4】如图，A 为x 轴负半轴上一点，C （0,-2），D （-3，-2）。 （1）求△BCD 的面积；

（2）若AC ⊥BC ，作∠CBA 的平分线交CO 于P ，交CA 于Q ，判断∠CPQ 与∠CQP 的大小关系，

并说明你的结论。 （3）若∠ADC=∠DAC ，点B 在x 轴正半轴上任意运动，∠ACB 的平分线CE 交DA 的延长线于点E ，

在B 点的运动过程中，∠E

∠ABC 的值是否变化？若不变，求出

其值；若变化，说明理由。 【例5】如图，已知点A （-3,2），B （2,0），点C 在x 轴上，将△ABC 沿x 轴折叠，使点A 落在点D 处。 （1）写出D 点的坐标并求AD 的长；

（2）EF 平分∠AED ，若∠ACF-∠AEF=15o ，求∠EFB 的度数。

【例6】如图，在直角坐标系中，已知B （b ，0），C （0，a ），且 | 6 – 2b | +（2c-8）2 =0. B D ⊥x 轴于B.

（1）求B 、C 的坐标；

（2）如图，AB //CD ，Q 是CD 上一动点，CP 平分∠DCB ，BQ 与CP 交于点P ，求 ∠DQB+∠QBC+∠QPC 的值。

【例7】如图，A 、B 两点同时从原点O 出发，点A 以每秒m 个单位长度沿x 轴的负方向运动，点B 以每秒n 个单位长度沿y 轴的正方向运动。

（1）若|m+2n-5|+|2m-n|=0，试分别求出1秒钟后A 、B 两点的坐标。

（2）如图，设∠BAO 的邻补角和∠ABO 的邻补角平分线相交于点P

运动的过程中，∠P 的大小是否会发生变化？若不发生变化，