第三节单位冲激函数(2)解析

t
1 得 U ( ) ( 2
[ sgn t ]
1 [ 1] ) π δ(ω) . jω
注 称 u( t ) 为单位阶跃函数，也称为 Heaviside 函数， 它是工程技术中最常用的函数之一。 16
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
解 (1) F1 ( )
[ f1 ( t ) ]
d (t ) f (t ) d t


f ( 0) . f (t0 ) .
d (t t0 ) f (t ) d t
证：
f(t)d (t ) f (0)d (t ) 若f (t )在t t0连续，则有： f(t)d (t t0 ) f (t0 )d (t t0 )

故



f (t )d t dt f (t )d t dt


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第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
(4) 微分性质
若对任意紧支集函数f (t)，有



f (t )d t dt f (t )d t dt


称d t 为导数 也称 d t 为单位冲激偶 微分性质
换.
1
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为
t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上
的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数,
则
0, t 0; q(t ) 1, t 0.
d q(t ) q(t t ) q(t ) i (t ) lim t 0 dt t



1
d (t )

t
d (t ) (t ) d t (0) ,
其中， ( t ) C 称为检验函数。
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第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换 二. 单位冲激函数的性质
性质 (1) 筛选性质
设函数 f (t ) 是定义在 ( , ) 上的连续函数， 则
解 (1) F1 ( )
[ f1 ( t ) ]


1 e j t d t
2 π d ( ) 2 π d ( ) .
(2) 将等式
j t e d t 2 π d ( ) 的两边对 求导，有



( j t ) e j t d t 2 π d ( ) , t e j t d t 2 π j d ( ) ,
5
第三节单位冲激函数 第 附：单位冲激函数的其它定义方式 七 1 / , 0 t , 章 方式一 令 d ( t ) 其它 , 0, 傅 里 则 d ( t ) lim d ( t ) . 叶 0 变 换 方式二 (20 世纪 50 年代，Schwarz) 单位冲激函数 d ( t ) 满足
i t0
1 1 i0 t i0 t F [sin 0 t ] F e F e 2i 2i
i d ( 0 ) d ( 0 ) .
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第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
2 F 2sin 3t 例7.7 计算 .
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第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
设F()和G()分别是输入信号f (t)和输出信号
(5) 时移性质 可得 设 F ( g(t)的Fourier变换. 由Fourier变换的
f ( t) F()
证：



f (t )d at dt 1

at x
a f ( 0) a

x 0 f (0) 1 f ( )d x dx f( ) a a a a
1
a
f (t )d t dt
故对任意f (t)



f (t )d atdt 1
a

f (t )d t dt

e

j 0 t
e j t d t

j ( 0 ) t e d t 2 π d ( 0 ) 2 π d ( 0 ) .
1 j 0 t j 0 t (2) 由 cos 0 t (e e )， 2
F2 ( ) π
0
[ f 2 ( t )] 2 π j d ( ) . 15


即得 F2 ( )
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换 解 已知
2 [ sgn t ] , jω
[ 1 ] 2 π d ( ) ,
1
u( t )
1 又 u( t ) (sgn t 1) , 2




f (t )d t dt f 0
n


f (t )d n t dt 1 f n 0
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第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
(5) 积分性质

d d u(t )
t
t
1 t 0 其中 u (t ) 0 t 0

t 0
1.
即 d ( t ) 与 1 构成Fourier变换对 d (t ) 1 .
d (t )
1 t [d ( t )]
1

由此可见，单位冲激函数包含所有频率成份，且它们具有 相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱。 13
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
按照 Fourier 逆变换公式有
F [cos 0t ] 和 F [sin 0 t ]. 解： 利用 例7.6 ,计算 可得
2 F 2sin 3t(1) [1 dFourier cos6 t] F [1]变换的 F [cos6 t] 函数 Fourier d根据 函数 变换的时移和 频移性质 解： F
1 d 源自文库t d t a
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第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
(3) 奇偶性质
d 函数为偶函数，即 d (t ) d (t ) .
证：
对任意f (t)
f (t )d t dt f (0)





f (t )d t dt f ( x)d x dx f (0)
有 F2 ( )
[ f 2 ( t )] [ e j 0 t ] [ e j 0 t ] )
0
1 ( 2
π d ( 0 ) π d ( 0 ) .
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第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
例7.6 计算 F [cos 0t ] 和 F [sin 0 t ].
当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通 导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
2
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
如果我们形式地计算这个导数, 则得
q(0 t ) q(0) 1 i (0) lim lim t 0 t 0 t t
dFourier 函数Fourier 变换的 , 可得 解： (1) d根据 函数 变换的时移和频移性质
F [d (1 t t0 )] e F 1 [d ( t )], i0 t i0 t F [cos 0 t ] F e F e 2 i0t 2 F [1 e ] 2d ( 0 ). d ( 0 ) d ( 0 ) ,
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足 傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件



| f (t ) | d t
例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函
数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单
位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变
证：
显然
1 t 0 d d 0 t 0
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第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换 性质6
f (t ) d (t ) f (t )
证：
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第三节单位冲激函数 第 三、单位冲激函数的 Fourier 变换 七 利用筛选性质，可得出 d 函数的 Fourier 变换： 章 傅 里 叶 变 换 [ d ( t ) ] d ( t ) e j t d t e j t
若函数f(t)连续，由于d (t )只在t 0存在，故有



f (t )d (t )dt f (0) f (t )d (t t0 )dt f (t0 )

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第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换 性质(2)
1 设常数a≠0， d (at) d (t ) a
重要公式
j t e d 2 π d (t ) .

注 在 d 函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据 d 函数的 性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，
称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换。
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第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
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第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换
设输入信号为f (t), 输出信号为g(t), 信号不失 真的条件就是
g( t ) Kf ( t t0 ),
其中K为常数，t0是滞后时间. 从频率响应来看, 为 了使信号不失真. 应该对电路的传输函数H()提出 一定的条件. f ( t) 传输函数 H() g ( t)
i t0 F [ d ( t t )] e [d(.t )], 2d ( ) d ( 06) i d ( F 6) 1 1 0 t i0 t F [cos 0 t ] F e F e 2 2 i0t F [1 e ] 2d ( 0 ). d ( 0 ) d ( 0 )
1 1 i0 t i0 t F [sin 0 t ] F e F e 2i 2i
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第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换 四 Fourier变换的应用
前面已经通过一些例子介绍了Fourier 变换在 频谱分析中的应用. 下面再给出一个讨论在信息传 输中不失真问题的例子. 例7.8 任何信息的传输, 不论电话、电视或无 线电通信, 一个基本问题是要求不失真地传输信号, 所谓信号不失真是指输出信号与输入信号相比, 只 是大小和出现时间不同，而没有波形上的变化.
第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换 一. 单位冲激函数的概念 定义 单位冲激函数 d ( t ) 满足： (1) 当 t 0 时，d (t ) 0 ; (2)

d (t ) d t 1 .
单位冲激函数 d ( t )又称为 Dirac 函数或者 d 函数。
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第三节单位冲激函数 第 七 章 傅 里 叶 变 换 注 (1) 单位冲激函数 d ( t ) 并不是经典意义下的函数，而是一 个广义函数(或者奇异函数)，它不能用通常意义下的 “值的对应关系”来理解和使用，而总是通过它的性质 来使用它。 (2) 单位冲激函数有多种定义方式，前面给出的定义方式 是由 Dirac(狄拉克)给出的。
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数 能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度,
引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数:
0 t 0 d t t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技 术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的 量那样, 以统一的方式加以解决. 3