导数的几何意义的应用
导数的几何意义及运用解密
导数的几何意义及运用解密导数作为高等数学中的一个重要概念，在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
它既是一个数学工具，也是一种具有丰富几何意义的概念。
本文将从导数的几何意义和运用两个方面对导数进行深入解析，以便更好地理解这一重要概念。
一、导数的几何意义导数在几何学中有着直观的几何意义，可以反映出函数曲线在某一点的切线斜率。
以二次函数y=x^2为例，在任意一点(x0,y0)处的切线斜率为y'=2x0。
因此，当x0=1时，切线斜率为2，当x0=-2时，切线斜率为-4。
从几何意义上来说，导数就是函数曲线在某一点的切线斜率。
通过导数这个工具，我们可以更好地理解各种函数曲线的特征。
例如，曲线函数y=x^3呈现上升趋势，斜率也在不断增长，因此导数y'=3x^2也在不断增长，说明曲线的增长速度在逐渐加快。
而曲线函数y=sin(x)的导数y'=cos(x)呈现周期性变化，反映出曲线函数的特殊周期性。
此外，导数还可以告诉我们函数曲线的局部凸凹性质。
在导数为正的区域里，函数曲线呈现向上凸的形态；反之在导数为负的区域里，函数曲线呈现向下凸的形态；而切线斜率为0时，则表示函数曲线处于转折点上。
由此可见，导数的几何意义在分析函数曲线的形态和特点方面有着重要的作用。
二、导数的运用解密导数在实际应用中被广泛运用，尤其在物理、工程等领域中有着广泛应用。
例如，通过导数我们可以求出物理系统中的速度和加速度，以及电路中的电流和电压。
以下将介绍导数在实际应用中的几个典型案例。
1. 物理中的速度和加速度物理中的运动，通常需要用速度和加速度来描述。
而这些运动的变化可以通过计算导数的方式来进行描述。
例如，当对于绕圆心旋转的物体而言，它的速度在变化的同时也在改变方向。
此时，我们可以通过计算该物体的速度矢量在时间上的导数来求取该物体的加速度。
2. 经济中的边际效用经济学中，经济学家会关注某一特定产量水平下的增益变化。
由于边际效用是一种导数，因此可以通过计算导数的方式来描述增益变化的相关性质。
一元函数的导数的几何意义及应用(学生版)
一元函数的导数及其应用(一) ---一元函数的导数的几何意义及应用一、知识要点：（一）一元函数的导数的几何意义:函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．（二）切线方程的计算： 1.在某点处的切线方程的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩． 2.过某点的切线方程的计算：设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-， 又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-，然后解出0x 的值（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． （三）利用导数的几何意义求参数的基本方法：利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．（四）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：1.函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．2.切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．3.曲线()y f x ＝“在”点00(,)P x y 处的切线与“过”点00(,)P x y 的切线的区别：曲线()y f x ＝在点00(,)P x y 处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为()0k f x '＝，是唯一的一条切线；曲线()y f x ＝过点00(,)P x y 的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．（五）求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点1.注意曲线上横坐标的取值范围；2.谨记切点既在切线上又在曲线上。
导数的几何意义
导数的几何意义导数是微积分中的一个重要概念，它表示了函数的变化率。
导数的几何意义可以从两个方面来理解：一是导数代表的是函数曲线在其中一点的切线斜率，二是导数代表的是函数曲线在其中一点的局部线性逼近。
首先，我们来看导数代表的是函数曲线在其中一点的切线斜率。
对于一条曲线上的任意一点P(x,y)，求该点处的导数，即可得到曲线在该点的切线斜率。
具体来说，如果一个函数f(x)在特定点x0处可导，那么它在该点的导数f'(x0)就是该点处曲线的切线斜率。
换言之，导数给出了函数在任意一点的变化速率。
对于单调递增的函数而言，导数始终为正；而对于单调递减的函数而言，导数始终为负。
当导数为零时，函数在该点处可能存在极值。
其次，导数代表的是函数曲线在其中一点的局部线性逼近。
这可以通过导数定义中的极限来理解。
如果在其中一点x0处，函数f(x)的导数存在，那么可以用一个线性函数y=kx+b来近似描述原函数在该点的附近情况。
其中k为导数f'(x0)，b为函数曲线在该点处的切线与y轴的交点（截距）。
这个线性函数就称为原函数在x0附近的局部线性逼近。
这种线性逼近的好处是使得函数在其中一点的局部性质更加直观可见。
通过这两个几何意义的理解，我们可以得出导数在几何上的重要性。
首先，导数可以帮助我们了解函数在特定点的斜率，从而判断函数局部的增减变化规律，甚至找到函数的极值点，这对于解决很多实际问题具有重要意义。
其次，导数能够提供函数在其中一点附近的线性逼近，使得我们能够直观地了解函数的局部情况，进而推断函数在整个定义域上的特性。
这对于研究函数的全局性质也是至关重要的。
除了以上的几何意义，导数还有一些重要的应用。
例如，在物理学中，速度的导数就是加速度，加速度的导数就是速度的变化率。
在经济学中，导数可以表示商品的边际效用，即单位商品消费增加所带来的满足感的变化。
在工程学中，导数可以用来优化控制系统设计，通过最小化出错率来提高系统的性能。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它具有丰富的几何意义和广泛的应用。
本文将详细阐述导数的几何意义以及在实际问题中的应用。
一、导数的几何意义导数的几何意义是切线的斜率。
考虑函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，这个导数值代表函数曲线在该点处的斜率。
换言之，导数告诉我们曲线在特定点的变化速率。
如果导数为正，表示曲线在该点处是上升的；如果导数为负，表示曲线在该点处是下降的；如果导数为零，表示曲线在该点处有极值（最大值或最小值）。
基于这个几何意义，我们可以通过导数来研究曲线的特性。
例如，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性，也可以通过导数的零点来确定函数的极值点。
此外，导数还可以帮助我们理解曲线的弯曲程度。
曲线的弯曲程度与导数的变化率有关，较大的导数变化率表示曲线弯曲较陡峭，较小的导数变化率表示曲线弯曲相对平缓。
二、导数的应用1. 线性逼近导数的几何意义使得它在线性逼近问题中非常有用。
我们可以利用导数来构造一个称为切线的线性函数，用来近似曲线在该点的行为。
这种线性逼近方法在很多实际问题中被广泛应用。
例如，当我们需要确定一条曲线在某点的近似切线时，可以使用导数来计算该点处的切线斜率，并进一步确定切线方程。
2. 最优化问题导数在最优化问题中有重要的应用。
最优化问题涉及如何找到一个函数的最大值或最小值。
通过对函数求导，我们可以找到导数为零的点，即函数的极值点。
进一步分析导数的符号，可以确定函数的最大值或最小值。
这一方法在经济学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
3. 运动学问题导数在运动学中也有广泛的应用。
例如，我们可以通过对位移函数求导来得到速度函数，通过对速度函数再次求导得到加速度函数。
这种将导数应用于运动学问题的方法使得我们能够研究物体的速度和加速度变化。
这在物理学和工程学中对于研究物体的运动非常有用。
4. 统计学在统计学中，导数被用于估计和分析数据。
例如，在回归分析中，我们可以通过对观测数据进行拟合来得到一个最佳的函数。
导数的几何意义及应用
1
2
3
4
5
6
变式2：若曲线上一点P处的 切线恰好平行于直
线y=11x－1，则P点坐标为 ____________,
切线方程为 _____________________．
y=11x－14或 y=11x+18
变式4:若曲线C： y=x3－ax+2求在点 x=3处的切线方程为 y=11x－b ，求切点 坐标及a、b。
解：f/(x)=3x2－1， ∴所求的切线方程为： 即 y=2x 处的切线方程？
∴k= f/(1)=2
y－2=2(x－1),
同样题：已知曲线C：y=x3 －x+2，求在点x=1
变式1：求过 点A的切线方
程？
例1．曲线y=x3－x+2，求在点A(1,2) 处的切线方程？
解：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1，
一．求切线方程的步骤： 1. 设切点P（x0,y0） 2. 求k=f/(x0) 3. 写出切线方程 y－y0= f/(x0)(x－x0)
求曲线上点到－1，2）且与y=x2+ 2在点M（1，3）
处的切线垂直的直线方程是__________．
在曲线y=x3+x2+x－1的切线斜率中斜率最小的
例2：已知曲线C:y=x2－x+3,直线L:x－ y－4=0,在曲线C上求一点P,使P到直线L 的距离最短，并求出最短距离。
|134| 3 2 2
解：设P（x0，y0）,
∵f/(x)=2x－1, ∴2 x0－1=1, 解得x0= 1, ∴ y0=3,得 P（1，3）
∴P到直线的最短距离 d=
小结
切线方程是 __________ .
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它有着广泛的几何意义和应用。
在本文中，我们将探讨导数的几何意义，并介绍一些导数在几何中和实际应用中的具体应用。
导数的几何意义可以通过对函数图像的观察得到。
对于一个函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，代表了函数曲线在某一点处的斜率。
具体来说，导数可以解释为函数图像在某一点上的瞬时变化率。
这意味着我们可以通过导数来描述函数图像的“陡峭程度”。
如果导数的值比较大，表示函数图像在该点的变化比较快，曲线比较陡峭；相反，如果导数的值比较小，表示函数图像在该点的变化比较慢，曲线比较平缓。
举个例子来说明导数的几何意义。
考虑一个简单的函数f(x) = x^2，它的导数可以表示为f'(x) = 2x。
我们可以观察到，在函数图像上，导数f'(x)的值代表了曲线在不同点上的斜率。
当x的值较小时，导数f'(x)的值也较小，表示函数图像变化较慢，曲线较平缓；而当x的值较大时，导数f'(x)的值也较大，表示函数图像变化较快，曲线较陡峭。
导数不仅在几何中有着重要意义，而且在实际生活中也有广泛的应用。
其中一个常见的应用是在物理学中的位置-时间关系中。
根据经典物理学的定义，速度可以看作是位置关于时间的导数。
具体来说，如果我们有一个物体在某一时刻的位置函数x(t)，那么它的导数dx/dt就表示了该物体在该时刻的瞬时速度。
同样地，加速度可以看作是速度关于时间的导数，即dv/dt。
这种通过导数来描述位置、速度和加速度之间的关系，能够帮助我们更好地理解物体在空间中的运动规律。
在经济学和金融学领域中，导数也有着广泛的应用。
例如，利润函数关于产量的导数可以告诉我们，当产量变化时，利润的瞬时变化率是多少。
这有助于公司和企业在制定生产策略和销售计划时进行决策。
此外，在金融学中，导数可以帮助我们理解和分析股票和债券价格的波动趋势，以及利率和汇率的变化对经济的影响。
导数的几何意义及导数公式
导数的几何意义及导数公式导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在特定点的变化率。
导数的几何意义是描述函数曲线在其中一点的切线的斜率。
本文将详细介绍导数的几何意义以及导数的计算公式。
一、导数的几何意义在几何中，我们知道曲线上每一点的切线可以用斜率来描述。
而导数就是函数在其中一点的切线的斜率，它告诉我们函数在该点的变化情况。
导数的几何意义可以通过以下两个方面来理解：1.切线的斜率导数是切线的斜率，它表示函数在特定点上的变化速率。
如果导数是正数，那么函数在该点上是递增的；如果导数是负数，那么函数在该点上是递减的。
导数的绝对值越大，曲线在该点附近的变化速率越大；导数的绝对值越小，曲线在该点附近的变化速率越小。
2.切线的方向导数不仅告诉我们切线的斜率，还告诉我们切线的方向。
如果导数是正数，那么切线是向上倾斜的；如果导数是负数，那么切线是向下倾斜的。
导数等于零表示切线是水平的，也就是曲线上的极值点。
通过以上两个方面，我们可以通过导数来近似描述函数在任意点的行为，从而更好地理解函数的性质。
二、导数的计算公式导数的计算公式是一系列可以计算导数的规则。
下面是一些常见的导数计算公式：1.常数规则如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。
这是因为常数的导数为零，表示该常数没有变化。
2.幂规则如果f(x) = x^n，其中n是整数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
这是指数函数的导数公式。
3.常见函数的导数公式- 如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。
- 如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。
- 如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) = sec^2(x)。
-如果f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x。
- 如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。
4.和、差的导数规则如果f(x)和g(x)是可导函数，那么(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
导数的应用与极值例题和知识点总结
导数的应用与极值例题和知识点总结在数学的广袤领域中，导数无疑是一个极为重要的工具。
它不仅能够帮助我们描绘函数的变化趋势，还能在解决各种实际问题中发挥关键作用。
接下来，让我们一起深入探讨导数的应用与极值，通过具体的例题来加深对相关知识点的理解。
一、导数的定义与几何意义导数的定义为函数在某一点的瞬时变化率。
如果函数＄y ＝ f(x)＄在点＄x_0$ 处可导，那么其导数记为＄f'（x_0)＄，表示函数在＄x_0$ 处的切线斜率。
从几何意义上看，导数就是函数图像在某一点处切线的斜率。
当导数大于零，函数单调递增；当导数小于零，函数单调递减；当导数等于零，可能是函数的极值点。
二、导数的计算对于常见的基本函数，如幂函数、指数函数、对数函数等，都有相应的求导公式。
例如，对于幂函数＄y ＝ x^n$ ，其导数为＄y' ＝ nx^｛n 1}＄；对于指数函数＄y ＝ e^x$ ，其导数仍为＄y' ＝ e^x$ ；对于对数函数＄y ＝＼ln x$ ，其导数为＄y' ＝＼frac{1}｛x}＄。
三、利用导数求函数的单调性例 1：求函数＄f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$ 的单调区间。
首先，对函数求导：＄f'（x) ＝ 3x^2 6x$令＄f'（x) ＝ 0$ ，即＄3x^2 6x ＝ 0$ ，解得＄x ＝ 0$ 或＄x ＝2$ 。
当＄x ＜ 0$ 时，＄f'（x) ＞ 0$ ，函数单调递增；当＄0 ＜ x ＜ 2$ 时，＄f'（x) ＜ 0$ ，函数单调递减；当＄x ＞ 2$ 时，＄f'（x) ＞ 0$ ，函数单调递增。
所以，函数的单调递增区间为＄（＼infty, 0)＄和＄（2, ＋＼infty)＄，单调递减区间为＄（0, 2)＄。
四、利用导数求函数的极值例 2：求函数＄g(x) ＝ 2x^3 9x^2 ＋ 12x 3$ 的极值。
对函数求导：＄g'（x) ＝ 6x^2 18x ＋ 12$令＄g'（x) ＝ 0$ ，即＄6x^2 18x ＋ 12 ＝ 0$ ，化简得＄x^2 3x＋ 2 ＝ 0$ ，解得＄x ＝ 1$ 或＄x ＝ 2$ 。
导数的几何意义和物理意义
导数的几何意义和物理意义导数是微积分中一项重要的概念。
它可以描述函数在某一点上的变化率，以及函数在该点上的切线斜率。
导数不仅在数学领域中有着广泛的应用，同时也在几何学和物理学中具有重要的意义。
本文将探讨导数的几何意义和物理意义，并解释它们在现实世界中的具体应用。
一、导数的几何意义在几何学中，导数可以解释为函数图像在某一点的切线斜率。
当我们研究函数图像的形状和特征时，导数可以帮助我们理解函数在不同点上的变化趋势和曲线的曲率。
1. 切线斜率：对于函数f(x)，它在某一点x=a处的导数f'(a)代表了函数图像在该点上的切线斜率。
切线斜率可以告诉我们函数在该点上是递增还是递减，并且可以用来寻找曲线上的最高点或最低点。
通过计算导数，我们可以获得函数在某一点上的局部变化率信息。
2. 切线和曲率：导数还可以描述函数在某一点上的曲线特征，如弯曲和曲率半径。
具体而言，导数的正负性可以告诉我们函数图像在该点上是凸还是凹，以及变化的速度和方向。
这有助于我们更好地理解函数的形状和变化趋势。
二、导数的物理意义导数在物理学中也有着广泛的应用。
它可以描述物理量之间的关系及其变化率，从而帮助我们理解和解释各种物理现象。
1. 速度和加速度：导数可以解释物体在运动过程中的速度和加速度。
对于物体的位移函数，它的导函数就是速度函数，而速度函数的导函数则是加速度函数。
通过计算导数，我们可以获得物体运动的速度和加速度的具体数值。
这在运动学中有着广泛的应用。
2. 斜率和变化率：导数还可以解释函数关系中的斜率和变化率。
在物理学中，我们经常遇到各种变化率的概念，如功率、流量和速率等。
通过计算导数，我们可以获得这些物理量的具体数值，并了解它们的变化规律。
3. 最优化问题：导数在物理学中还可以用来解决最优化问题。
例如，在力学中，我们希望找到一条曲线，使得物体的作用量或路径在满足一定条件下达到最小值或最大值。
通过计算导数，我们可以找到该曲线上的极值点，从而解决这类问题。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念之一，它不仅有着深刻的几何意义，还在数学和实际问题的求解中有着广泛的应用。
本文将深入探讨导数的几何意义以及其在实际问题中的应用。
导数的几何意义导数的几何意义可以从两个方面来理解，即斜率和切线。
首先，导数可以被解释为函数图像上某一点的切线斜率。
具体而言，对于函数y=f（x），如果在某一点x=a处的导数存在，则导数f’(a)即为函数图像在该点的切线的斜率。
这意味着，通过求导，我们能够得到函数图像上每一点处的切线斜率，从而更加准确地描述函数的变化趋势。
其次，导数还可以被解释为函数的变化率。
导数可以帮助我们理解函数在不同点上的变化速率，进而揭示函数的增减性和凸凹性质。
具体而言，如果导数f’(a)在某一点x=a处为正，那么函数在该点上是递增的；如果导数f’(a)在某一点x=a处为负，那么函数在该点上是递减的；如果导数f’(a)在某一点x=a处等于零，那么函数在该点上可能存在极值点。
导数的应用导数作为微积分的基本工具，在数学和实际问题的求解中有着广泛的应用。
以下将介绍导数在不同领域的具体应用。
1. 极值问题导数在求解函数的极值问题中起着重要作用。
对于一个可导函数，可以通过求导将极值问题转化为寻找导数为零的点或者导数不存在的点。
通过求解导数为零或导数不存在的方程，可以找到函数的可能极值点，进而得到函数的最大值或最小值。
2. 凸凹性分析凸凹性分析是导数在物理学、经济学等领域中的重要应用之一。
通过函数的二阶导数信息，可以判断函数的凸凹性质。
具体而言，如果函数的二阶导数大于零，那么函数是凸函数；如果函数的二阶导数小于零，那么函数是凹函数。
3. 曲线绘制与图像分析导数在曲线绘制与图像分析中也扮演着关键的角色。
通过求导，可以得到函数图像上每一点处的切线斜率，从而帮助我们绘制更加准确的曲线。
同时，导数还可以帮助我们分析函数的拐点、极值点和最值点，进而对函数的整体形态进行深入理解。
导数的几何意义及其应用
切线问题
4.课后作业
切线方程
切点的横坐标
完成例3,解答题转项训练1-3,2-3
课后思考：已知函数 f x x 3 x ，曲线 y f x 上是否存 在点 P ，使得在点 P 处的切线在切点 P 处穿过曲线？若 存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。
y
l
y f (x)
例2.已知函数 f x x 3 x ，若过点 P1, m 可作曲线 y f x 的三条切线，求实数 m 的取值范围。 问题1:一条切线是否只有一个切点? 问题2:不同的切线对应的切点能否相同? 三条切线至少有三个切点
y
函数f(x)
y=sinx 函数g(x)
设切点 x0 , f ( x0 ) 列出切线方程 y f x0 f x0 x x0 得到 x0 的方程
P
0 x
1.导数的几何意义
函数 y f (x)在区间 x0 , x1 上的平均变化率: 点 Ax0 , f x0 处的切线的斜率. f x x f x f x f x y
B
y
x 在 x 0 处的导数 f x0 ,是曲线 x f x 在 y f(1)导数的定义(函数 y f (x)在 y 0点的导数) 函数f x y
l1
l3
A
C
0
l2
B
. P1, m
x
利用函数图像讨论 方程根的个数 求出m的取值范围
注意：切点个数不等于切线条数.但n条切线至少有n个切点
3.课堂小结 切线方程 （1）切线问题的核心： 利用导数的几何意义得到切线斜率 f x0 ,再利用点斜式 表示切线方程 y f x0 f x0 x x0 ； （2）切线方程的核心：切点的横坐标
导数的意义及应用
-1
0
-2
1
3
x
y
f(x)=x3-3x
2
3
-1
0
1
2
3
x
-2
变题三：区间为0, a (a 0)上的最小值呢？
最大值呢？
y
f(x)=x3-3x
2
3
-1
0
1
2
3
x
-2
（4)：求曲线y=f(x)在点A（2，2）处的切线 方程。 （若改为过A(2,2)作曲线切线呢？）
若改为过点B（0,16）呢？
y
x1
0
x2
x
y
x1
0
x2
x
二．导数的应用。 例题：已知函数 f ( x) x3 3x
（1）求函数 f ( x) 的单调区间； (2）求函数 f ( x) 的极值；
分析:(f′(x)=3x2-3，令f′(x)=0，得x=±1 f(x)随x变化如下表：
X f′(x) (-∞,-1) + -1 0 极大值： 2 (-1,1) _ 1 0 极小值： -2 (1,+∞) +
导数的意义及应用导数的几何意义二阶导数的意义偏导数的几何意义一阶导数的几何意义二阶导数的几何意义导数的几何意义ppt导数的意义导数的物理意义三阶导数的几何意义
导数的意义及应用
一．导数的几何意义
问题 : 直线y kx 1与曲线y x ax
3
b相切于点A(1,3), 求b的值.
函数在某点处的导数几何意义是： 函数在该点处的切线的斜率．
f(x)
上的最值； （3）求 f ( x)在区间０，２
f(x)min=-2,f(x)max=2
导数的几何意义是什么
导数的几何意义是什么导数是微积分中的一个重要概念，它不仅在数学中有着重要的作用，同时也具有丰富的几何意义。
本文将探讨导数的几何意义，并从几何的角度解释导数的概念及其应用。
一、导数的定义及其几何意义导数可以用极限的方法定义为函数在某一点处的斜率。
具体来说，对于函数f(x)，如果在点x处的导数存在，则导数可以表示为：f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h从几何的角度来解释，导数代表了函数在该点处的切线斜率。
函数的图像在任意一点处的斜率可以用导数来计算。
二、导数与函数图像之间的关系1. 导数与函数的增减性给定一个函数f(x)，如果在某一区间内导数为正，说明函数在该区间内是递增的；若导数为负，则函数在该区间内是递减的。
当导数为零时，函数存在极值点。
2. 导数与函数的凸凹性函数的图像在某一点处凸起（开口向上）时，该点的导数为正；反之，函数在某一点处凹陷（开口向下），该点的导数为负。
3. 导数与函数的位置和曲线的切线通过导数的值和符号，可以确定函数图像在某一点的位置和该点处的切线的斜率。
当导数为零时，函数图像相对于x轴达到极值，切线斜率为零；当导数不存在时，函数图像在该点处出现尖点或间断，不存在切线。
三、导数的应用场景1. 切线方程导数可以帮助我们确定函数图像上任意一点处的切线方程。
通过求解导数，可以得到切线的斜率，再结合给定点的坐标，可以得到切线的方程。
2. 曲线的拐点导数的零点可以帮助我们找到函数图像上的拐点。
当导数在某一点处从正变为负或者从负变为正时，说明函数图像在该点存在拐点。
3. 函数的极值问题通过求导数，我们可以得到函数的极值点。
导数为零的点可能是函数的极大值点或者极小值点，通过二阶导数的符号可以帮助我们判断。
四、总结导数在几何中的意义非常重要，它不仅可以帮助我们理解函数图像的性质，还可以应用于求解切线方程、拐点和极值等问题。
通过几何的角度理解导数，我们可以更深入地掌握微积分知识，并将其应用于实际问题解决中。
导数的概念几何意义与运算
导数的概念几何意义与运算一、导数的概念导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化速度的衡量工具。
对于一条曲线上的任意一点，其导数值表示了该点处的切线斜率。
导数的定义为：若函数f(x)在点x0处有定义，那么函数在该点的导数为：f'(x0) = lim(h→0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中 lim 表示极限，h 表示的是 x 的增加量。
导数的概念可以推广到函数的各种高阶导数，分别表示函数变化的速率、加速度、变化的变化率等。
二、导数的几何意义1.切线斜率：导数可以看作是函数曲线在其中一点处切线的斜率。
特定点处的切线斜率表示了函数在该点的变化速度。
2.函数的增减性：若函数在其中一区间内的导数恒大于0，则函数在该区间上是递增的；若导数恒小于0，则函数在该区间上是递减的。
导数的正负性能够直观地反映函数的增减趋势。
3.极值点：若函数在其中一点的导数为0，那么这个点称为函数的极值点。
导数为0相当于切线水平，函数在这一点上由增转为减或由减转为增。
三、导数的运算法则1.常数乘法：对于常数k，(k*f(x))'=k*f'(x)。
2.求和与差：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
3.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
4.商法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/[g(x)]^25.复合函数求导：对于复合函数y=f(g(x))，若g(x)在点x处可导，而f在g(x)处可导，则y也在点x处可导，且y'=f'(g(x))*g'(x)。
四、应用举例1.速度和加速度：对于一个物体的位移函数s(t)，其导数s'(t)表示在时间t的瞬时速度。
二次导数s''(t)则表示在时间t的瞬时加速度。
专题07导数的几何意义及其应用2
一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即.2．函数f (x )的导函数 称函数为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1. 基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x2．导数的运算法则（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； （2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； （3）(g (x )≠0)． (4) 复合函数的导数0000()()limlim x x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦专题07 导数的几何意义及其应用复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 三、导数的几何意义1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2.特别提醒：区分在点处的切线与过点处的切线（1）曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． （2）曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，点P 不一定是切点，切线至少有一条，切线可能有多条． 3．几类重要的切线方程(1)y ＝x －1是曲线y ＝l n x 的切线，y ＝x 是曲线y ＝l n (x ＋1)的切线，…，y ＝x ＋n 是曲线y ＝l n (x ＋n ＋1)的切线，如图1.(2)y ＝x ＋1与y ＝e x 是曲线y ＝e x 的切线，如图2. (3)y ＝x 是曲线y ＝si n x 与y ＝t an x 的切线，如图3.(4)y ＝x －1是曲线y ＝x 2－x ，y ＝x l n x 及y ＝1－1x 的切线，如图4.由以上切线方程可得重要不等式，如l n x ≤x －1，x ＋1≤e x 等．四、常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2.可导函数y ＝f (x)的导数为f ′(x)，若f ′(x)为增函数，则f (x)的图象是下凹的；反之，若f ′(x)为减函数，则f (x)的图象是上凸的． 3．熟记以下结论： (1) 211()'x x=-； (2) 21'()[]'()[()]f x f x f x =- (f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． 题型一 导数的概念【典例2】（2023下·高二课时练习）已知物体运动的速度与时间之间的关系是：()222v t t t =++，则在时间1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：①求函数的增量；②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限.2.函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．3.瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数．题型二：导数的运算【总结提升】1.求函数导数的一般原则如下：（1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；（2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导；（3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导；（4）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．2.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的 复合过程.3.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.题型三 曲线切线的斜率、倾斜角问题【典例5】（2023下·安徽滁州·高二校考阶段练习）函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列大小关系正确的是（ ）3π,π4⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎭⎣⎭3π,π4⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎭⎣⎭题型四 求在曲线上一点的切线方程（斜率）在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（【典例8】 【规律方法】以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简． 题型五 求过一点的切线方程（斜率）(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线1l 的方程； (2)求过原点O 与曲线()y f x =相切的直线2l 的方程. 【规律方法】如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f (x 0)，y 1－y 0x 1－x 0＝f ′(x 0)，得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个． 题型六 与切线的平行直线问题ln x 的图象在且12l l ⊥，则（ ）A ．121=x xB ．12x x +的最小值为2C ．12,l l 在y 轴上的截距之差为2D ．12,l l 在y 轴上的截距之积可能为1-【规律总结】1.解决此类问题通常有两种方法一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝1212()()f xg x x x --.2.处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． 题型九 求切点坐标【典例17】（2023·高二课时练习）曲线33y x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则点P 的坐标为 ．【典例18】（2023上·江苏徐州·高二统考阶段练习）已知曲线24y x =-的一条切线的斜率是4-，则切点的坐标为 ． 【总结提升】已知斜率求切点：已知斜率k ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k . 题型十 切点坐标相关问题【典例19】（2023下·高二课时练习）若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线方程为210x y -+=，则（ ）A ．()00f x '>B ．()00f x '<C ．()00f x '=D ．()0f x '不存在题型十一 切线条数与参数关系【典例21】（2021·全国·统考高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ）A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e a b <<已知曲线的切线条数求参数范围问题时，需要明确的是，曲线存在几条切线，就会相应的有几个切点，因此就可以将切线条数问题转化为切点个数问题；也就是说抓住“切点”这个“牛鼻子”，将问题进一步转化为关于相应函数零点个数问题． 题型十二 切线条数与参数范围【典例23】（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．【典例24】（2023上·陕西西安·高三长安一中校考期中）若过点(),0P t 可以作曲线()1e x y x =-的两条切线，切点分别为()()1122,,,A x y B x y ，则t 的取值范围是 . 题型十三 根据导数的几何意义求参数的值【典例25】（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数()()1e x f x x =+，过点(),0P m 作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),A a f a 和()(),B b f b ，若0a b +=，则实数m =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【典例28】（2022上·贵州遵义·高二校联考期末）已知函数()2ln 1f x x x =+-，则()f x 在1x =处的切线与坐求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 （1）注意曲线上横坐标的取值范围． （2）谨记切点既在切线上又在曲线上．一、选择题：为（ ）A ．e 10x y ++=B ．e 10x y -+=C ．e 10x y +-=D ．e 10x y --=3．（2023下·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考期末）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，求出了精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求ln1.01，我们先求得ln y x =在1x =处的切线方程为1y x =-，A ．1.0005B ．1.0001C ．1.005D ．1.0014．（2023上·安徽合肥·高三合肥市第十中学校联考期中）点,P Q 分别是函数()()234,2ln f x x g x x x =-=-图6．（2022下·湖南邵阳·高三湖南省隆回县第二中学校考阶段练习）P 为抛物线C ：24x y =准线上的一点，P A ，PB 为C 的两条切线， ()11,A x y ，()22,B x y 为切点，Q 为线段AB 的中点，则下列说法正确的是（ ）四、解答题：10．（2022上·山东临沂·高二统考期末）已知函数()()2e x x x f a =+，且()01f '=.(1)求a 的值；(2)求与x 轴平行的()f x 的图象的切线方程.11．（2023下·高二课时练习）已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，求a 的值．12．（2022上·山西忻州·高一校考期末）已知曲线()3f x x x =－，求(1)曲线在点()1,0-处的切线方程； (2)曲线过点()1,0-的切线方程；(3)曲线平行于直线1110x y -+=的切线方程.。
导数的几何意义及应用
目
CONTENCT
录
• 导数的定义与几何意义 • 导数在几何中的应用 • 导数在物理中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步性质与定理
01
导数的定义与几何意义
导数的定义
瞬时速度
导数可以理解为函数在某一点的切线斜率，也可以 理解为物体在某一瞬间的速度。
切线斜率
对于可微函数，其在某一点的导数即为该点处的切 线斜率。
垂直位移是物体在垂直方向上的位移，也可以通过积分计算 。
电路中的电流与电压
电流
电流是电荷在导体中流动的速率，表 示单位时间内通过导体的电荷量。导 数可以用来计算电流。
电压
电压是电场中两点之间的电势差，表 示电场力做功的能力。导数可以用来 计算电压。
04
导数在实际问题中的应用
经济中的最优化问题
利润最大化
详细描述
在导数大于0的区间内，曲线是凹的； 在导数小于0的区间内，曲线是凸的。
曲线的极值
01
02
03
04
总结词
导数的符号变化可以确定曲线 的极值点。
详细描述
当一阶导数由正变负或由负变 正时，对应的点就是曲线的极
值点。
总结词
导数的符号变化可以确定曲线 的极值点。
详细描述
当一阶导数由正变负或由负变 正时，对应的点就是曲线的极
导数与积分的关系
微积分基本定理
设函数$f(x)$在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则对于任意实数$a < c < d < b$，有$int_{c}^{d}f'(x)dx = f(d) - f(c)$。
导数的积分
若函数$f(x)$在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则对于任意实数$a < c < d < b$，有$int_{c}^{d}f'(x)dx = int_{a}^{b}f'(t)mathbf{1}_{[c, d]}(t)dt$。
导数的应用
导数的应用导数是新课程下一门新的数学工具，它的应用主要表现在：导数的几何意义；利用导数研究函数的性质，求极值和最值；导数在不等式以及实际问题中的应用。
一．下面就导数的应用举几个例子：（一）灵活应用导数，为数学解题引进新的思路和方法。
1.导数的几何意义。
函数在点处的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率。
也就是说，曲线在点处的切线的斜率是，于是相对应的切线方程是，巧借导数的几何意义的各类综合试题在近几年高考试卷中频频出现。
例1.曲线在点处的切线的方程为（）应选例２.已知曲线与直线相交于两点。
曲线在两点处的切线分别是，若，求实数的值。
分析：此题若用解析几何的方法来研究比较麻烦。
若使用导数分析则比较简洁。
解：设点，则利用能够得到两直线的斜率，因为，则有，能够得到，将两个方程联立可得到，此方程的两个根为。
根据韦达定理有：即所以点评：此题利用导数求曲线的切线斜率，充分表达了导数运算的简洁优势。
（二）利用导数研究函数的性质。
导数在解决函数的单调性，函数的极值和最值；以及对高次函数图像的特征分析等方面有着广泛的应用。
例３.设为实数，函数（１）求函数的单调区间；（２）若任意，求证：（３）若得图像与轴仅有一个交点，求实数的取值范围。
解：（１）所以递增区间为所以递减区间为（２）由（１）可知函数在区间上递减。
任意所以结论成立。
（３）根据（１）的分析可知函数在处取得极值。
要使得的图像与轴仅有一个交点，则需要函数的极大值小于，或函数的极小值大于。
所以有或得到或例４.用总长为的钢条制作一个长方体容器框架，假设所制容器的底面的一边比另一边长。
那么高为多少时容器容积最大？并求出最大容积。
解：设底面短边长为。
则另一边长为则高为即令容积为则所以高为时容器容积最大，此时最大容积为点评：使用导数的相关知识，研究函数的性质（单调性）极值和最值和实际问题中的应用是高考的热点问题。
解决此类问题有时也要注意联系相对应的函数图像。
（三）导数在证明不等式中的应用。
导数的几何意义及应用
导数的几何意义及应用导数的几何意义是学生学习了平均变化率，瞬时变化率即导数定义之后的内容，通过这一部分的学习可以帮助学生更好的理解导数的含义与价值。
为后面利用导数研究函数的单调性，极值等内容奠定了基础．因此，导数的几何意义在本章中有承前启后的重要作用．【要点梳理】要点一、导数几何意义1.平均变化率的几何意义——曲线的割线函数()y f x=的平均变化率2121()()f x f xyx x x-∆=∆-的几何意义是表示连接函数()y f x=图像上两点割线的斜率。
如图所示，函数()f x的平均变化率2121()()f x f xyx x x-∆=∆-的几何意义是：直线AB的斜率。
事实上，2121()()A BABA By y f x f x ykx x x x x--∆===--∆。
换一种表述：曲线上一点00(,)P x y及其附近一点00(,)Q x x y y+∆+∆，经过点P、Q作曲线的割线PQ，则有0000()()PQy y y ykx x x x+∆-∆==+∆-∆。
2.导数的几何意义——曲线的切线如图1，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.定义：如图，当点00(,)Q x x y y +∆+∆沿曲线无限接近于点00(,)P x y，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。
T也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率。
即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆。
要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关。
导数的应用知识点总结
导数的应用知识点总结一、导数的定义与几何意义。
1. 导数的定义。
- 函数y = f(x)在x = x_0处的导数f^′(x_0)定义为f^′(x_0)=limlimits_Δ x→0(Δ y)/(Δ x)=limlimits_Δ x→0frac{f(x_0+Δ x)-f(x_0)}{Δ x}。
- 如果函数y = f(x)在开区间(a,b)内的每一点都可导，就说f(x)在区间(a,b)内可导。
这时对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数f^′(x)，这样就构成了一个新的函数f^′(x)，称它为函数y = f(x)的导函数，简称导数，记作y^′或f^′(x)或(dy)/(dx)等。
2. 导数的几何意义。
- 函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)的几何意义是曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线斜率。
- 曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线方程为y - f(x_0)=f^′(x_0)(x - x_0)。
二、导数的基本公式与运算法则。
1. 基本公式。
- (C)^′ = 0（C为常数）- (x^n)^′ = nx^n - 1（n∈ Q）- (sin x)^′=cos x- (cos x)^′ =-sin x- (a^x)^′ = a^xln a（a>0,a≠1）- (e^x)^′ = e^x- (log_ax)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0）- (ln x)^′=(1)/(x)2. 运算法则。
- (u± v)^′ = u^′± v^′- (uv)^′ = u^′ v + uv^′- ((u)/(v))^′=(u^′ v - uv^′)/(v^2)(v≠0)三、导数在函数单调性中的应用。
1. 函数单调性与导数的关系。
- 设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果f^′(x)>0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递增；如果f^′(x)<0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用在微积分中，导数是一个重要的概念，它不仅有着深刻的几何意义，还在各个科学领域中有着广泛的应用。
导数可以帮助我们理解函数的变化率，进而揭示函数的本质特征，为实际问题的求解提供强有力的工具。
本文将从导数的几何意义和应用两个方面进行论述。
一、导数的几何意义导数的几何意义表现在函数图像的切线和曲线斜率的计算上。
对于函数f(x)来说，它在x点的导数f'(x)代表了函数图像在x点处的切线斜率。
具体来说，可以通过将切线近似看作曲线在这一点的局部性质，通过求出曲线上两点间的斜率的极限来表示切线的斜率，即导数。
这样一来，导数的几何意义就被转化为切线的斜率。
导数的几何意义和切线紧密相关。
对于函数图像上每一个点，都存在唯一的切线与之对应。
切线具有两个重要的性质，一是切线与函数图像相切于给定点，二是切线与函数图像在给定点处具有相同的斜率。
因此，通过计算导数，我们可以得到函数图像上任意一点的切线斜率。
二、导数的应用导数的应用十分广泛，在自然科学、工程技术、社会经济等领域都有着重要的作用。
以下将介绍导数在几个典型应用中的具体运用。
1. 最优化问题：导数可以帮助我们求解最优问题，如最大最小值问题。
通过求取函数的导数，并令其等于零，我们可以找到函数取得最大或最小值的点。
这在经济学中的成本最小化、收益最大化问题中有重要的应用。
2. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，导数被广泛应用于描述物体的运动状态。
速度是位移对时间的导数，而加速度是速度对时间的导数。
通过求导，我们可以计算出物体的速度和加速度，进而揭示物体运动的规律。
3. 金融学中的利率和风险：在金融学中，导数被用来描述利率和风险。
例如，在借贷中，利率的变化可以通过利率的导数来表示。
而金融衍生品的风险可以通过导数来衡量，从而帮助投资者做出明智的决策。
4. 统计学中的回归分析：回归分析是统计学中常见的分析方法，它基于导数和线性关系的原理。
通过对数据进行回归分析，我们可以建立数据之间的数学模型，并通过导数计算模型参数的变化率，从而了解变量之间的关系。
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《导数的几何意义的应用》教学设计[教材分析]导数是高中数学学习的重要内容，复习中应重点关注导数的应用，纵观各地的高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容，内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。
而其中的切线方面的求法涉及到导数的几何意义的应用，学好了它对其数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在复习时，有必要再对其进行专题复习。
[学生分析]学生虽然已经学完了导数，也对导数的几何意义有了一定的认识，但由于学生容易忽略对点与曲线位置关系的判断，并对点在曲线外的求解方法还不能熟练掌握。
因此有必要对此内容进行专题训练使学生能更好地掌握。
[教学目标]1.知识与技能：会用导数的几何意义解决数学问题。
2..方法与过程：通过探究导数的几何意义的应用，培养学生自主探究和解决问题的能力，锻炼学生的思维品质。
3.情感与态度：由导数的几何意义引入问题，利用探究题、开放性题深化了对该知识的理解，借助于多媒体教学手段，给学生提供了思维的直观想象。
通过学生主动参与，体验导数的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，给学生创造成功的机会，使他们爱学、会学、学会。
[教学重点] 利用导数的几何意义解决数学问题。
[教学难点] 过曲线外一点求曲线的切线方程。
[教学准备] 多媒体辅助教学（利用实物投影进行教学）[教学方法] 启发探究式（教师设问引导，学生自主探究，合作解决）[教学过程] 一、复习导入，构建知识网络：导入：本节课重点复习——导数的几何意义的应用设计意图：由于学生回忆以往知识，用实物投影仪以框图的形式给出，让学生对导数有一个全面的了解，形成脑图。
引导学生从“整体”到“局部”再到“整体”的认知规律，是高三专题课“整体化”的教学思想的体现。
二、探索研究，引导归纳活动一：探究求曲线上一点的切线方程的方法尝试题： 课本P 123例3：已知曲线y=31x 3 上一点 p(2,38)，求点p 处的切线方程。
分析：关键求切线的斜率)2(f k '=。
解法：由导数的几何意义得y ＇=x 2， 则2|='x y =22=4。
所以，在点p 处的切线方程是y-38=4(x-2) ，即12 x-3y-16=0。
设计意图：通过课本中的例题创造导数几何意义的应用的环境 ，为探究题作铺垫。
活动二：探究过曲线外一点求曲线方程的方法。
探究题：求曲线 C:y=x 3-3x 过点 P(0,16)的切线方程。
分析：要注意到该点在曲线外，解此题的关键是将该问题转化为点在曲线上的问题。
解法一：点斜式（常规法）设过点A(0,16)且与曲线y=x 3-3x 相切的切点的坐标为（x 0,y 0）， 由导数的几何意义得：y '=3x 2-3得k=f '(x 0)=3x 02-3，由直线方程的点斜式得 y-16=(3x 02-3)（x-0）又（x 0,y 0）在其上y 0=x 03-3x 0 。
所以 x 03-3x 0=3x 03-3x 0=16，2x 03=-16 ， x 0=-2 ， 故所求切线方程为9x-y+16=0。
解法二：两点斜率（公式法）设切点坐标为（x 0,y 0）则016x y -=3x 02-3，又 y 0=x 03-3x 0 ， 所以 x 03-3x 0-16=3x 03-3x 0 ， 解得x 0=-2。
故所求切线的方程为9x-y+16=0。
设计意图 ：探究题旨在给不同层次的学生留有学习的空间，培养独立思考，善于思考的好习惯。
三．拓展探索，开放思维开放题：求曲线y=4x 2上的点到直线y=2x-1的距离的最小值。
分析:法一：将问题转化为求曲线上哪一点处的导数值为2。
法二：将问题转化为直线与圆锥曲线的位置关系的判断以及求解问题。
法三：将问题转化为求二次函数最值问题。
解法一（导数法）：设点（x 0,y 0）即（x 0,4y 0）到直线y=2x-1的距离最小，亦即该点处的导数值为2。
所以，y '|x=x 0=8x 0=2,所以x 0=41 ， y 0=4x 02=4×161=41。
又（41，41）到直线y=2x-1的距离d=5|141412|--⨯=5203。
解法二（判别式法）：设过曲线y=4x 2上的点且与直线y=2x-1平行的曲线的切线方程为y=2x+b(或设与直线y=2x-1平行的曲线的切线方程为y=2x+b)， 由{b x y x y +==224 得4x 2-2 x-b=0由该直线与曲线相切得△=0，即△=（-2）2-4×4×（-b ）=0， 4+16b=0，∴16b=-4， b=-41，故切线方程为2x-y-41=0 此直线与直线2x-y-1=0间的距离为d=5203。
解法三（公式法）：设曲线y=4x 2上点（x 0,y 0）到直线y=2x-1的距离为d ，则由到直线的距离公式有d=5|43414|5|124|5|12|20200+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=--x x x y x ， ∴当x 0=41时，d min =5203。
设计意图：此开放性题借助数形结合，提供思维想象载体，使问题更直观，利用转化思想通过不同的角度和途径解决一个共同的研究，旨在促进前后知识的融会贯通，发散学生的思维，培养学生良好的思维品质由师生共同完成。
四、总结转新先由学生概括总结本节课的主要内容，然后教师补充。
1.利用导数的几何意义，求过一点的曲线的切线方程时，首先要判断点与切线的位置关系，当点不在曲线上时，要注意转化为总在曲线上的求解。
2.在解灵活性较强的问题时，要注意选择适当、最优方法来解决以便于取得最佳效果。
3.导数时高考考查内容，同学们要引起足够的重视。
设计意图：使知识条理化、系统化。
五、布置作业1.求曲线C：y=x2+x过点p(1,1)点的切线方程。
2.（04 天津）已知函数f(x)=ax3+bx2-3x 在x= 1处取得极值。
（1）讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值。
（2）过点A(0,16)作曲线y=f(x)切线，求此切线方程。
设计意图：巩固和发展所学知识。
六、板书设计七、教学反思（略）《导数的应用》教学案例[摘要] 导数是高中数学学习的内容，复习中应重点关注导数的应用，纵观近年来各地的高考试题，大多数以一个大题的形式考察这部分内容，内容主要与单调性、最值、切线这三个方面有关。
本文通过一个“求过一点的曲线的切线方程”的问题，学生围绕这个问题，自主学习、合作探究、亲自尝试接受问题的挑战，充分展示自己的观点和见解，提高学生利用以学知识去主动获取知识的能力。
组织学生参与“提出问题——辨析问题——探索解决——总结归纳——拓展升华”的学习活动过程，利用多媒体演示、变式练习等激发学生的学习兴趣和求知欲望，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神，有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识和实践能力。
[关键句] 教学案例导数应用自学预习实践能力多媒体变式训练开放性题一、案例1.提出问题，诱发思考[师] 同学们好，今天我们接着学习《导数的应用》，首先尝试练习这道题：求曲线C：y=x2+x过P（1,1）点的切线方程。
哪位同学上台板演呢？（一个学生上台板演，学生动手求解，求解中允许与周围同学讨论，几分钟后）。
2.问题辨析，唤起回忆。
[师] 大家解出来了么？解出来的同学请看黑板，是否和这位同学意见一样。
[生] 我和他的想法不一样，我认为点p不在该曲线C上,所以不能用过曲线上一点的切线方程的求法来解。
[师] 很好，请同学们看大屏幕。
（用多媒体演示点与曲线的位置关系的情形）[师] 那你是怎么解的？[生] 我思考了半天，但没有解出来。
[师] 你刚才的思路很好，是否能把此问题转化为“求曲线上一点的切线方程的方法来求解呢？”请大家认真观察图像。
（用多媒体演示点从曲线上到曲线外的过程）3.探索解决，分组探究。
[师] 请同学们分组探究一下该问题（学生按小组开始交流讨论，共同探究，过几分钟后）[师] 哪位同学上台来修改（两个学生主动上台板演，教师在巡视中发现，教师的提示起到了重要的作用，台上这两位学生求解过程如下：）[生1] 设切点为(x 1,y 1),因为y '=2x+1,所以切线斜率为k=y '|x=x 1=2x 1+1 故切线方程为y-y 1=(2x 1=1)（x-x 1）.则1-（x 12+x 1）=(2x 1+1)(1-x 1) 解得， x 1=0或x 1=2 故所求方程为y=x 及y=5x-4[生2] 设切点为（x 0,y 0）,因为y '=2x+1，所以切线斜率为k=y '|x=x 0=2x 0+1 又因为过点（x 0,y 0），与（1，1）两点的斜率k=1100--x y ,所以2x 0+1=1100--x y 整理得2x 02-x 0=y 0,又由y 0=x 02+ x 0得2x 02-x 0= x 02+ x 0,解得 x 0=0或x 0=2 ，故所求切线方程为y=x 或y=5x-4 。
（教师让这两个同学把各自的求解思路作汇报后，作出点评 4.总结归纳，巩固加深[师] 在解此类题时，应先判断该点是否在曲线上，若点不在曲线上则转化为在曲线上的问题来解决，本题可用常规法解，也可用公式法求解。
下面请同学们试做这道变式训练题， 求曲线C: y=x 3-3x,过p(0,16)点的切线方程（学生动手解答，教师巡回指导，过几分钟后） [师] 哪位同学上台展示一下你的思路和过程？ （一个同学上台讲解）[生甲]由题可判断P 点不在曲线C 上，若设切点为（x 0,y 0）,由导数的几何意义得切线斜率k=3x 02-3,又由直线方程的点斜式得，切线方程为y-16=(3x 02-3)(x-0) 因为（x 0,y 0）在该曲线上，所以y 0=x 03-3x 0,于是得 x 03-3x 0= (3x 02-3)x 0=16,解得x 0=-2,进而求出所求切线方程为9x-y+16=0 [师] 非常好，同学们还有其它解法吗？ （另一个同学主动上台） [生乙] 因为点p 不在曲线C 上，可设切点为（x 0,y 0），由y '=3x 2-3,得斜率k=3x 02-3,又过两点的斜率公式得k=0160x y -所以0160x y -= 3x 02-3，所以x 03-3x 0-16=3x 03-3x 0. 解得x 0=-2, 故所求切线方程为9x-y+16=0[师] 真棒，大家掌声鼓励一下这两位同学 （教室里一片掌声） 5拓展延伸，升华提高[师] 下面请同学们再练习一道开放性题：求曲线y=4x 2 上的点到直线y=2x-1 的距离的最小值。
请同学们分组讨论，相互交流（教室中学生按小组交流讨论，共同探究，过几分钟后） [师] 每小组用你们自己的方法试一下[组1]（设点（x 0,y 0）即（x 0,4y 0）到直线y=2x-1的距离最小，亦即该点处的导数值为2。