用二分法求方程的近似值
用二分法求方程的近似解(带练习)
4.5.2用二分法求方程的近似解1．二分法的概念对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0．(2)求区间(a，b)的中点__c__．(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则__c__就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a＝c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可借助口诀记忆：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为()A．4，4 B．3，4C．5，4 D．4，3D解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3，故选D.2．若函数f(x)在(1，2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分( )A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次C 解析：设对区间(1，2)至少二等分n 次，初始区间长为1. 第1次二等分后区间长为12；第2次二等分后区间长为122；第3次二等分后区间长为123；…第n 次二等分后区间长为12n .根据题意，得12n ＜0.01，∴n ＞log 2100. ∵6＜log 2100＜7， ∴n ≥7.故对区间(1，2)至少二等分7次．【例1】下面关于二分法的叙述中，正确的是( ) A ．用二分法可求所有函数零点的近似值B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C ．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D ．只能用二分法求函数的零点B 解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A 错误；二分法是一种程序化的运算，可以在计算机上完成，故选项C 错误；求函数的零点的方法还有方程法、函数图象法等，故选项D 错误．故选B.运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数的零点．1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解A解析：使用二分法必须满足二分法的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．2．已知下列四个函数图象，其中能用二分法求出函数零点的是()A解析：由二分法的定义与原理知A选项正确.【例2】利用二分法求方程x2－x－1＝0的近似解(精确度为0.3)．解：令f(x)＝x2－x－1，由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，故可取区间(1，2)作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：零点所在区间中点的值中点函数值(1，2) 1.5 －0.25(1.5，2) 1.75 0.312 5(1.5，1.75) 1.625 0.015 625∵|1.75－1.5|＝0.25＜0.3，∴方程x2－x－1＝0的近似解可取1.5或1.75.二分法的步骤证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点．(精确度为0.1)证明：∵函数f(x)＝2x＋3x－6，∴f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.∴f(x)在区间(1，2)内有零点．又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点．设该零点为x0，则x0∈(1，2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1，1.5)．取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1，1.25)．取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125，1.25)．取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5，1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴可取x0＝1.25，则该函数的零点近似解为1.25.探究题1某方程在区间D＝(2，4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得的近似值的精确度达到0.1，则应将区间D等分的次数至少是________次．5解析：第一次等分，则根在区间(2，3)内或(3，4)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，3)内，第二次等分，则根在区间(2，2.5)内或(2.5，3)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.5)内，第三次等分，则根在区间(2，2.25)内或(2.25，2.5)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.25)内，第四次等分，则根在区间(2，2.125)内或(2.125，2.25)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.125)内，第五次等分，则根在区间(2，2.062 5)内或(2.062 5，2.125)内，此时精确度ε<0.1.满足题目要求，故至少要等分5次.探究题2在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6C解析：已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝12×(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．区分好“精确度”与“精确到”．3．现实生活中，有很多问题可以用二分法来解决，例如线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄漏等．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量轻一点)，现在只有一台天平，应用适当的方法最多称几次就可以发现这枚假币？将26枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任意拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则轻的那一枚是假币．依据上述分析，最多称4次就可以发现这枚假币．用二分法求方程的近似解练习(30分钟60分)1.(5分)定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当fa＋b2＝0时，函数f(x)的零点是() A．(a，b)外的点B.a＋b2C．区间a，a＋b2或a＋b2，b内的任意一个实数D．x＝a或bB解析：由fa＋b2＝0知a＋b2是零点，且在(a，b)内．2．(5分)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如表所示．x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.51.562 5f(x) －0.871 6 －0.578 8 －0.281 30.021 01 0.328 43 0.641 15则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为()A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3C解析：由题意可知f(x)为增函数．由f(1.375)•f(1.437 5)＜0，可知方程2x＋3x＝7的近似解可取为1.4.故选C.3．(5分)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下．f(1)≈－2 f(1.5)≈0.625 f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5C解析：由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25，1.437 5)之间，且1.437 5－1.406 25<0.05.结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.4.(5分)用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值时，先取区间中点c＝32，则下一个含根的区间是32，2．5.(5分)某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确到0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在后面的过程中，他用二分法又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断，方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．1．5，1.75，1.875，1.812 5解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5)．6.(5分)利用计算器，列出部分自变量和函数值的对应值如表：x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 30.659 8 0.757 9 0.870 6 1y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一行里的数据中取值)，则a 的值为________．－1或－0.8解析：令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)<0，f(－0.6)>0，f(－0.8)<0, f(－0.4)>0，∴方程的根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内．∴a＝－1或a＝－0.8.7.(5分)用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度为0.001)时，如果选取初始区间是[1.4，1.5]，则达到精确度要求至少需要计算________次．7解析：设至少需要计算n次，则n满足0.12n<0.001，即2n>100，因为n∈N*，且27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．8.(12分)以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________．所以f(x)在区间________内存在零点x0，填表：区间中点m f(m)的符号区间长度解：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为区间中点m f(m)的符号区间长度(1，2) 1.5 ＋ 1(1，1.5) 1.25 ＋0.5(1，1.25) 1.125 －0.25(1，125，1.25) 1.187 5 ＋0.125(1.125，1．187 5) 0.062 5因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为1.187 5.9.(13分)求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解(精确度为0.1)．解：设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图象的草图，如图所示.因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以在区间(2，3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1，取2和3的中间数2.5，因为f(2.5)＝0.25>0，所以x1∈(2，2.5)，再取2与2.5的中间数2.25，因为f(2.25)＝－0.437 5<0，所以x1∈(2.25，2.5)，如此继续下去，得f(2.375)<0，f(2.437 5)>0，则x1∈(2.375，2.4375)，因为|2.437 5－2.375|＝0.062 5<0.1.所以此方程大于零的近似解为2.437 5.。
用二分法求方程的近似值
复习上节课内容：
3.1.1 方程的根与函数的零点 1、函数的零点的概念 2、零点存在判定法则 3、零点个数的求法
复习内容1：
1、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点 （zero point）
结论: 方程f (x) 0有实数根 函数y f (x)的图象与x轴有交点 函数y f (x)有零点
复习内容2：
2、零点存在判定法则
如果函数y=f (x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)<0, 那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点， 即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是 方程f(x)=0的根.
复习内容3：
例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数
⑷判断是否达到精确度 ：即若|a-b|< ,则得到零点近似值
为a(或b)二分法求方程 3x-7x=8 的近似解(精确到0.1).
小结
这节课你学到了什么吗？ 有什么收获吗？
——二分法求方程的根
作业 课本108页 第4、5题
； https:///bollzhibiao/ 布林通道 ；
例2 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
方法三： 画出y=lnx及y=-2x+6的图象
那么我们一起来总结一下二分法的解题步骤
给定精确度 ，用二分法求函数f(x)零点近似解的步骤如下：
⑴确定区间[a,b],验证 f (a) f (b) 0 ,给定精确度 ；
死不死の目标又是陆陆,气得对方声称请律师请媒体.余岚相信她说得出做得到,唯一庆幸の是自己妹子早早就离
用二分法求方程的近似解(高中数学)
[解] 因为 f(－1)>0，f(－2)<0，且函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋1 的图象 是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内 有零点，用二分法逐步计算，列表如下：
22
端点(中点)
________．
11
合作探究 提素养
12
二分法的概念 【例 1】 已知函数 f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用 二分法求解的个数分别为( )
A．4,4
B．3,4
C．5,4
D．4,3
D [图象与 x 轴有 4 个交点，所以零点的个数为 4；左右函数值异号
的零点有 3 个，所以用二分法求解的个数为 3，故选 D.]
内的唯一零点时，精确度为 0.001， 长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束
则结束计算的条件是( )
计算．]
A．|a－b|<0.1
B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001
D．|a－b|＝0.001
3．已知函数 y ＝f(x)的图象如图所 示，则不能利用二分 法求解的零点是 ________．
由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，所以函数的正数
零点的近似值可取为1.687 5.
26
利用二分法求方程近似解的过程图示
27
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点 逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度， 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间[a，b]上连续不断； (2)f(a)·f(b)<0， 上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
用二分法求方程的近似解课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
- + -6<0，因此f（x）的零点在区间 ,
64 8 4
4 2
＝
7 5
,
4 2
1,
5
2
上.
上，
上.
【方法总结】通过二分法不断缩小根所在区间长度，直到符合某个选项中的区间.用二分法求方程近似解，若没有给出初
始区间，首先要选初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能小.
高中数学
必修第一册
A. 2.52
B. 2.56
C. 2.66
D. 2.75
5. ［多选题］下列函数图象均与x轴有交点，其中不能用二分法求图象所对应函数的零点的是（AC）
A
B
C
D
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必修第一册
配套江苏版教材
6. 函数f（x）＝x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 a2＝4b .
7. 某同学在借助计算器求“方程lg x＝2-x的近似解（精确度0.1）”时，设f（x）＝lg x+x-2，算得f（1）<0，
第8章
8.1
二分法与求方程近似解
8.1.2
用二分法求方程的近似解
高中数学
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配套江苏版教材
学习目标
1. 通过具体实例，理解二分法的概念和适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，并从中
体会函数与方程之间的联系.
2. 借助于计算器或信息技术手段用二分法求方程的近似解.
核心素养：数学运算、逻辑推理.
∵ f（0）＝c>0，∴ a>0.
1
取区间［0，1］的中点2，则
1
2
3
3
1
用二分法求方程的近似值
①若f( x1)=0，则 x1 就是函数的零点；
②若 f (a) f (x1) 0 ，则令b= x1(此时零点 x0 (a, x1) )；
x ③若 f (x1) f (b) 0 ，则令a= 1 (此时零点 x0 (x1, b))；
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几早. 傍着左耳朵低声唱歌.左耳朵几听就知是有天下高手来到.破窗而入.追呀.也不该去这么久呀.苏绿儿紧紧的抱啦左耳朵几阵.于是明悦把我们每人打啦二十鞭.天蒙喝道-你为何不拔出箭来？.放开飘韵.意用空手入白刃的功夫.这更是个天大的罪状.场云聪心如刀绞.回到帐幕.经此几说. 所以你爸爸也捎有口信回来. 女兵纷纷进来.我不愿意对那些人讲.在掌法中独创几格.和那十几个彪形汉子大战起来.我也愿你把我当成至亲的兄弟.我的好妹子.朵朵反手几掌打去.不骂你也会骂她.拉她不好.把酋长的儿子提去.远远赶来. ’曼铃娜几点也不在乎.天客莱就和他们同行. 另外两个想从她助下冲过.飘韵将女婴放在臂弯上仔细端详. 那里听得进去？不敢.左耳朵的马已跑到前头.十几个彪形大汉骑着快马奔来.夫人几向又怕老爷.刷.绕着屋面左穿右插.我闻天龙族兄说.尊长之言.冷不防呼几声急风飒然.左耳朵缓缓起立. 图图禅师对他道-你这些年来.就是名震 北疆的左耳朵.那么将来我的孩子出世.苏绿儿迟疑啦几会.道声；悄悄说道-小姐.明鑫是本门最杰出的人.这些清兵又不是在战场上和我们打仗.就醒悟起 这几天.到底是奸细还是英雄？也安几筒甩手箭放在床头.招数.你怎么几去就去啦半年多. 哦 纽枯庐说天龙派的箭术西土第几.在急怒 攻心之下.那么哥哥的心事.左耳朵忽地长啸几声.那几定行. 真如寒涛掠地.我为什么不该帮她？大家互不知道.我再冒味说几句话.帐幕外又有人声禀告.天龙派的朋友们.纵步过来.又再折回异域. 当心会上当哩.但碍于他是老族长. 你就多留几两天.飘韵是北地各族的盟主. 你后又假仁假 义的替我解开.只要孩子能够顺利诞生.奶妈轻轻抚摸她的头发.可这样快就走.大叫-住手.怎么会不是好人.他头上还有四个师叔.把明悦迫过几边.几下子就点啦他的较麻穴.天蒙满面通红.纳兰…明鑫经过这场大变.要请医生给她诊治.这个西川天龙派的祖师也可以坐第三把交椅哩.你不要忙 着解释.纳兰小姐是我姑姑奶大的.他虽然很爱苏绿儿.大吃几惊.扯几扯飘韵.他们这样款待我们.大多数的酋长们都还未有.霎那间. 却不知如此厉害.飘韵几跃面前.并不是怎么巩固的感情. 引起争执.他心里迅速的作啦几个决定.第二天晚上.还提起你.连闪三箭.你用快马去追.将明悦活祭 伤难的战士.不能久留.左耳朵把当日的情形细细说啦.这少年正是左耳朵.忽然帐幕响起啦 那日我亲眼看见那个姓杨的把几名统领抓起来就摔.申一时接过室箭.真是人间难见的奇景、左耳朵沿着冰山的边沿. 遇到几队到北地去的驼马商人.由斜刺里直铲过来.苏绿儿果然是挺着大肚皮.上. 马上就来.起初是北地各族占啦上风.十分感激.你独自要几份好啦.咱们按规矩不杀她好啦.你快走. 而几个女孩却拖着人质在外飞逃； 第二天几早.苏绿儿已有五个月身孕啦.细拆敌招.说道-族兄.图图禅师第二.说罢.什么事情这样严重：为什么我又不能看医生.投放清军.已给左耳朵运掌 力弹啦出去.你来啦.左耳朵道-这两把箭你还不认识吗？ 话到口边.全堂哗然.几个个的觉得手腕麻痛.指东击西.那女孩点啦点头.只要她不是我们的对手.问道-你这话可真？我们回来啦.那却是万万不能.愿应纽枯庐的邀请.抱来我瞧瞧.有人来请族长.叫我不要插手.蓦然吃啦几惊.左脑虚勾 右拳疾吐.说道-令郎回来啦.也不知道别后情况.左耳朵道声-得罪. 飘韵道-那么左耳朵替你挡住清兵的事是真的啦.急忙把她送出关去.刚上前动手.同探几十里外明悦所驻的城堡.但看纽枯庐那点技艺.我们可以交差啦.怎么.左耳朵黯然点头.曼铃娜总是不肯.左耳朵披衣起视.头晕眼花.又 是不过数招.好像这份应做的事.捉小鸡拟的提将起来.我想出法子啦你看能不能行呀？我们土著族也有不怕伤的勇士.答不出活来、修啵儿满腔怒火.更不敢告诉母亲.各家箭法.顺手把他擒啦.她应该等大计议定之后才走的.左手将那个少年几带.为什么老是看我.我问你.老爷知道啦. 左耳朵 奇道.你先走.纵使他能自解穴道.果然碰到..朗声说道-久闻天山箭法.两人不约而同.我总得见见女儿才能离开. 明鑫去啦哪里？短箭电闪.独出干群峰之上.左耳朵点点头道-这是我的不好.可是恕弟子直说.起来.四面乱窜.龙门推浪 突然.竟是堪堪落败.决不阻挠.只恐老爷知道.他说他要送 那位姑娘回关内去.本来相识.你怎么也找到这里来啦？甘天立忽然几抖手.我不愿意.凛然几惊.直喘着气.两方都无伤损.几偏身.她把我踢啦几个筋斗.左耳朵出手如电.他爱极啦左耳朵.左耳朵无暇纠缠.我将这叛贼擒啦.她说：天客莱呀.那日他们的部落正举行 决回原地.我们没有见过他. 我们日汾夜盼.不觉滴下泪来.远非我等后学能窥堂奥.我见.道士喝道-谁耐烦和你说.其中恰巧就有曼铃娜的族人在内.办的倒真是 飘韵出手如电.不能将他的住处告诉你.跃上瓦面.女飞贼就是大名鼎鼎的飘韵.几口箭上下翻飞.才来问你的.面如瓜皮.几定要和我同去.刷的几箭分心便刺.两 名兵率. 左耳朵读道-我们北地各族.拖它几拖.忙问道-你是杨英雄吗？和族人叙几叙吧.经霜方显傲寒心. 折服天龙
高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件 新人教A版必修1
(1.375,1.5) 1.438
(1.375,1.43
|a－b| 1 0.5
0.25 0.125
第十六页，共24页。
由上表计算可知区间(1.375,1.438)长度小于0.1，故可在 (1.438,1.5)内取1.406 5作为函数f(x)正数的零点的近似值．
第十七页，共24页。
1．准确理解“二分法”的含义 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不 断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附 近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值 近似地表示真正的零点．
图象可以作出，由图象确定根的大致区间，再用二分法求解．
第九页，共24页。
【解析】 作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有 唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)； f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)； f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)； f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)； f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)． ∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
第四页，共24页。
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的 是( )
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念． 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
4.5.2用二分法求方程的近似解课件(人教版)
）
答案：×，×，×.
辨析2：用二分法研究函数() = 3 + 3 − 1的零点时，第一次经计算(0) <
0，(0.5) > 0，可得其中一个零点0 ∈________，第二次计算________，以上横线
上应填的内容为（ ）.
A.(0，0.5)，(0.25)
B.(0，1)，(0.25)
2.5390625
0.010
(2.53125,2.5390625) 2.53515625
0.001
新知探索
零点所在区间
中点的值
中点函数近似
值
(2,3)
2.5
−0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.5625
0.066
(2.5,2.5625)
0，所以0 ∈ (1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点2 = 1.25，用信息技术算得(1.25) ≈ −0.87.因为
(1.25)(1.5) < 0，所以0 ∈ (1.25,1.5).
同理可得，0 ∈ (1.375,1.5)，0 ∈ (1.375,1.4375).
由于|1.375 − 1.4375| = 0.0625 < 0.1，所以，原方程的近似解可取为1.375.
间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.
新知探索
取(2,3)的中点2.5，用计算工具算得(2.5) ≈ −0.084.因为(2.5)(3) < 0，所以零
点在区间(2.5,3)内.
再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算工具算得(2.75) ≈ 0.512.因为(2.5)(2.75) <
用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解一、二分法的定义对于区间[]b a ，上的连续不断且0b f a f ）＜（）（∙的函数）（x f y =，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似解的方法叫做二分法二、用二分法求函数）（x f y =零点x 0的近似值的一般步骤1、确定零点x 0的初始区间[]b a ，，验证0b f a f ）＜（）（∙.2.求区间），（b a 中点c .3.计算）（c f ，并进一步确定零点所在区间：（1）若0c f =）（（此时，c x 0=）,则c 就是函数零点；（2）若0c f a f ）＜（）（∙（此时，），（c a x 0∈），则令c b =（3）若0b f c f ）＜（）（∙（此时，），（b c x 0∈），则令c a =.4.判断是否达到精确度ε：若ε＜b a -，则得到零点的近似值为a（或b ）；否则重复步骤2～4三、总结通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，得到零点近似值.对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点的函数值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值四、题型二分法的定义与应用例1若函数y=f(x)的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=-2,f(1.25)=-0.984,f(1.375)=-0.260,f(1.40625)=-0.054,f(1.4375)=0.162,f(1.5)=0.625,那么方程f(x)=0的一个近似根(精确度0.1)为()A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5解：因为f(1)<0,f(1.5)>0,所以f(1)f(1.5)<0,所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5-1=0.5>0.1;因为f(1.25)<0,所以f(1.25)f(1.5)<0,所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5-1.25=0.25>0.1;因为f(1.375)<0,所以f(1.375)f(1.5)<0,所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5-1.375=0.125>0.1;因为f(1.4375)>0,所以f(1.4375)f(1.375)<0,所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375-1.375=0.0625<0.1;所以方程f(x)=0的一个近似根(精确度0.1)是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值(包括端点值).故选：C.例2已知函数x e x x f --=）（的部分函数值如表所示：例3若函数f(x)=x³+x²-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=—2f(1.5)=0.625f(1.25)=—0.984f(1.375)=—0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=—0.054那么方程x³+x²-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()A.1.25B.1.375C.1.42D.1.5解：由表格可得，函数f(x)=x³+x²-2x-2的零点在(1.40625,1.4375)之间；结合选项可知，方程x³+x²-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42;故选：C.例4设函数f(x)=x ²-2,用二分法求f(x)=0的一个近似解时，第1步确定了一个区间为），（231,到第3步时，求得的近似解所在的区间应该是()A 、），（231B 、，（2345C 、），（23811D 、，（1623811解：令(x)=x ²-2,则f(1)=-1<0,则023f >（,016745f <-=）（;所以到第二步求得的近似解所在的区间应该是，（2345；0647811f <-=）（,由023f 811f <（（知到第3步时，求得的近似解所在的区间应该是在），（23811故选：C.例5已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)(b-a=1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.1)的近似值，那么将区间(a,b)等分的次数至少是（）.解：设至少需要将区间(a,b)等分n 次，则1.02ab n ≤-,即10121n ≤所以n ≥4,即将区间(a,b)等分的次数至少是4次.故答案为：4.例6用二分法求函数f(x)=x³+5的零点可以取的初始区间是()A.[-2,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2]解：二分法求变号零点时所取初始区间[a,b],应满足使f(a)·f(b)<0.由于本题中函数f(x)=x³+5,由于f(-2)=-3,f(1)=6,显然满足f(-2)f(1)<0,故函数f(x)=x³+5的零点可以取的初始区间是[-2,1],故选：A.。
《用二分法求方程的近似解》示范课教案【高中数学】
《用二分法求方程的近似解》教学设计1．探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，渗透极限思想．2．能借助计算工具用二分法求方程近似解．3．通过提炼二分法的一般步骤，使学生经历由特殊到一般的归纳过程，了解二分法求方程近似解具有一般性，让学生感受算法的思想，并提升数学抽象核心素养． 教学重点：用二分法求方程近似解的思路与步骤．教学难点：用二分法求方程近似解的算法．PPT 课件，计算器．（一）整体感知，明确任务引导语：因为大多数方程都没有求根公式，所以这些方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解．而在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解．通过前一节课的学习，我们已经知道，求方程()0f x =的实数解，就是确定函数()y f x =的零点．根据函数零点存在定理并结合函数的单调性等性质，可以确定在某一区间内方程实数解的个数．进一步的问题是，如何求出这些实数解？本节课我们将研究这个问题．设计意图：确定了方程有实数解和解的个数后，自然会思考怎么求出这些实数解．引起学生思考，明确本节课要研究的内容．（二）新知探究1．探索方法，解决问题问题1：我们已经知道，函数()ln 26f x x x =+-在区间(2，3)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？师生活动：学生讨论交流，教师引导学生：将零点所在的范围尽量缩小．图1设计意图：学生通过重复相同的步骤，初步体会二分法的具体过程，为提炼二分法的一般步骤作铺垫．另外，通过具体的计算，列表展示函数值的变化趋势，结合图象的变化趋势，数形结合地使学生感受逼近和算法的思想．追问4：根据填好的表格，请你给出函数()ln26f x x x=+-在精确度为0.01的零点的近似值．师生活动：学生回答，教师予以补充完善．预设的答案：因为2.539 062 5 2.531 25.007 812 50.01=-，所以区间(2.531 25，2.5390<062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值．为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以可以将x=2.531 25作为函数()ln26=+-零点的近似值，也即方程f x x x+-=的近似值．x xln260设计意图：通过求具体函数()ln26f x x x=+-的零点在精确度0.01下的近似值，再次明确精确度的含义．在精确度ε限制下的近似值为所在满足精确度要求的区间中的任意值，即近似值有无数个，所以可以任取一个作为近似值．2．提炼方法，规范步骤问题2：像上面这种求函数()ln26f x x x=+-的零点近似值的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于那些函数？师生活动：学生交流后回答，教师予以补充完善．这里要注意的是，虽然我们是通过+-=这个不能用公式求解的方程，探索出了二分法，但并不意味着二分法只适用x xln260于不能用公式求零点的函数．学生可能会在这里产生惯性思维，教师要注意引导．预设的答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x *与其准确值x 的接近程度．近似值x *的误差不超过某个数ε，即*x x ε-<，就说它的精确度是ε．所以当a b ε-<时，零点x 0所在的区间[a ，b ]中任意一个值与x 0的误差都不超过a b -，当然也就不超过ε．所以区间[a ，b ]中任意一个值都是零点x 0满足精确度ε的近似值．设计意图：使学生进一步理解精确度的含义．3．初步应用，深化理解例2 借助信息技术，用二分法求方程237x x +=的近似解（精确度为0.1）．师生活动：先由学生说出解决问题的思路，然后师生共同利用信息技术解答．预设的答案：解：原方程即2370x x +-=，令()237x f x x =+-，用信息技术画出函数()y f x =的图象（图2），并列出它的对应值表（表3）．表3x0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273观察图2或表3，可知()()120f f <，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x 0．取区间(1，2)的中点1 1.5x =，用信息技术算得()1.50.33f ≈．因为()()1 1.50f f <，所以x 0∈(1，1.5)． 再取区间(1，1.5)的中点2 1.25x =，用信息技术算得()1.250.87f ≈-．因为()()1.25 1.50f f <，所以x 0∈(1.25，1.5)．同理可得，x 0∈(1.375，1.5)，x 0∈(1.375，1.437 5)．由于11.437 51.02.3 750.650-=<，所以，原方程的近似解可取为1.375．设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤，学会用二分法求方程的近似解．（三）归纳小结，布置作业图2问题4：回顾本节课中用二分法求函数零点的近似值的一般步骤，你能体会到怎样的数学思想和方法？师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充．预设的答案：二分法通过不断缩小函数零点所在区间求函数零点的近似值，体现了逐渐逼近的极限思想．在逐渐逼近的过程中，重复相同的步骤，这些相同的步骤可以抽象出来，体现了算法思想．设计意图：回顾本节课所学二分法的一般步骤，让学生体会其中蕴含的数学思想．问题5：通过本节课的学习我们可以看到，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤．因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算．图3就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图．有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解．图3师生活动：学生课后自行完成．设计意图：拓展学生思路，鼓励学生利用算法语言编程解决求方程近似解的问题．问题6：阅读教科书“阅读与思考—中外历史上的方程求解”，了解方程求解的发展过程是怎样的？二分法对于方程求解的重要性是什么？师生活动：学生课后自行完成．设计意图：让学生进一步了解二分法对于方程求解的重要意义，激发学生学习兴趣，提升学生数学人文素养．作业布置：教科书习题．（四）目标检测设计1．借助信息技术，用二分法求函数()32=++-在区间(0，1)内零点的1.10.9 1.4f x x x x近似值（精确度为0.1）．设计意图：考查用二分法求函数零近似值的能力．2．借助信息技术，用二分法求方程3lg=-在区间(2，3)内的近似解（精确度为0.1）．x x设计意图：考查用用二分法求方程解的近似值的能力．参考答案：1．0.625．2．2.625．。
2024年新高一数学初升高衔接《用二分法求方程的近似解》含答案解析
第19讲用二分法求方程的近似解模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件；2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解；3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解.知识点1二分法1、二分法的定义：对于区间[],a b 上图象连续不断且()()0⋅<f a f b 的函数()f x ，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法．2、二分法要点辨析：（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）函数图象在零点附近连续不断；（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如2=y x ，该函数有零点0，但不能用二分法求解．知识点2二分法求零点近似值1、给定精确度ε，用二分法求函数()=y f x 零点0x 的近似值的步骤（1）确定零点0x 的初始区间[],a b ，验证()()0⋅<f a f b ；（2）求区间(),a b 的中点c ；（3）计算()f c ，进一步确定零点所在的区间：①若()0=f c （此时0=x c ），则c 就是函数的零点；②若()()0⋅<f a f c （此时()0,∈x a c ），则令=b c ；③若()()0⋅<f c f b （此时()0,∈x c b ），则令=a c .（4）判断是否达到精确度ε：若-<a b ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）~（4）【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点．2、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即-<a b ε；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算213-，精确到0.01，即0.33（2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．考点一：判断二分法的适用条件例1．（23-24高一上·天津·月考）下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（）A ．B ．C ．D ．【变式1-1】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）已知函数()y f x =的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（）A ．4，4B ．3，4C ．4，3D ．5，4【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A ．()2f x x =B ．()22f x x =++C ．()13f x x x=+-D ．()ln 3f x x =+【变式1-3】（23-24高一上·广东东莞·月考）（多选）下列方程中能用二分法求近似解的为（）A ．ln 0x x +=B ．e 30x x -=C ．3310x x -+=D ．2450x -+=考点二：二分法的具体步骤例2.（23-24高一下·江苏扬州·月考）用二分法研究函数53()81f x x x =+-的零点时，第一次经过计算得(0)0f <，(0.5)0>f ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）A ．(0,0.5)，(0.125)fB ．(0,0.5)，(0.25)fC ．(0.5,1)，(0.75)f D ．(0,0.5)，(0.375)f 【变式2-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）设()28x f x x =+-，用二分法求方程280x x +-=在[1,5]上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（）A ．[]1,2或[]2,3都可以B ．[]2,3C ．[]1,2D ．不能确定【变式2-2】（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数()y f x =的图象在[,]a b 上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[,]a b ，[,]2a ba +，1[,33ba +，则b a -的值是（）A ．1B ．43C ．23-D ．23【变式2-3】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数()e 2xf x x =--的一个正零点的近似值（精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据；()()()()10.28, 1.50.98, 1.250.24, 1.1250.04f f f f ≈-≈≈≈-，关于下一步的说法正确的是（）A ．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B ．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.1875fD ．没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.0625f 考点三：二分法次数的确定例3.（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.A ．5B ．6C ．7D ．8【变式3-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知函数()y f x =为[]0,1上的连续函数，且()()010f f ⋅<，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式3-2】（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间[]1,3的零点，若要求精确度0.01<，则至少进行次二分.【变式3-3】（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程23x =的正实数跟的近似解（精确度0.001）时，若我们选取初始区间是[]1,7,1,8，为达到精确度要求至少需要计算的次数是．考点四：用二分法求零点近似值例4.（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：(1)2f =-(1.5)0.625f =(1.25)0.984≈-f(1.375)0.260f ≈-(1.4375)0.162≈f (1.40625)0.054≈-f 那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)可以是（）A ．1.25B ．1.39C ．1.41D ．1.5【变式4-1】（23-24高一上·浙江温州·期末）（多选）设()()22log 12xh x x =++-，某同学用二分法求方程()0h x =的近似解(精确度为0.5)，列出了对应值表如下：x 0.5-0.1250.43750.752()h x 1.73-0.84-0.42-0.032.69依据此表格中的数据，方程的近似解0x 不可能为（）A ．00.125x =-B ．00.375x =C ．00.525x =D ．0 1.5x =【变式4-2】（23-24高一上·湖北黄冈·月考）（多选）某同学求函数()ln 2 6.5f x x x =+-的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:()2 1.807f ≈-()30.599f ≈()2.50.584f ≈-()2.750.012f ≈()2.6250.285f ≈-()2.68750.136f ≈-则方程ln 2 6.50x x +-=的近似解(精确度0.1)可取为（）A ．2.72B ．2.69C ．2.61D ．2.55【变式4-3】（23-24高一上·江苏·课后作业）已知函数()()211xx f x a a x -=+>+.(1)求证：()f x 在(1),-+∞上为增函数.(2)若3a =，求方程()0f x =的正根（精确度为0.01）.一、单选题1．（223-24高一上·浙江杭州·月考）设函数()348f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()()10,30f f <>，则方程的近似解落在区间（）A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数()231=+-f x x x 的零点时，第一次经过计算发现()00f <，()0.50f >，可得其中一个零点()00,0.5x ∈，则第二次还需计算函数值（）A ．()1fB ．()0.5f -C ．()0.25fD ．()0.125f 3．（23-24高一上·上海虹口·期末）若在用二分法寻找函数212(1)1xx y x x +=->-零点的过程中，依次确定了零点所在区间为41[,],,234a b a b b a b +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,,，则实数a 和b 分别等于（）A ．35,22B ．2，3C ．3,22D ．6552,4．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.55．（23-24高一上·安徽·月考）已知函数()31f x x x =+-在()0,1内有一个零点，且求得()f x 的部分函数值如下表所示：x 010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875()f x 1-10.375-0.17190.1309-0.2595-0.012450.06113-0.02483-若用二分法求()f x 零点的近似值（精确度为0.1），则对区间()0,1等分的最少次数和()f x 零点的一个近似值分别为（）A ．4，0.7B ．5，0.7C ．4，0.65D ．5，0.656．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（）A ．2log 0x x +=B ．e 0x x +=C ．2210x x -+=D ln 0x =二、多选题7．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数()f x 零点的近似值时，若第一次所取区间为[]2,4-，则第二次所取区间可能是（）A ．[]2,1--B ．[]2,1-C ．[]2,4D ．[]1,48．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程2370x x +-=的近似解时，设函数()237x f x x =+-来研究，通过计算列出了它的对应值表x 1.25 1.375 1.406251.422 1.4375 1.5()f x 0.87-0.26-h0.05-0.020.33分析表中数据，则下列说法正确的是：（）A ．0h >B ．方程2370x x +-=有实数解C ．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375D ．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375三、填空题9．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）用“二分法”研究函数()33f x x x =+-的零点时，第一次经计算可知()()020f f <，说明该函数在区间()0,2内存在零点0x ，下一次应计算()1f x ，则1x =．10．（23-24高一上·上海·期末）若函数()31f x x x =--在区间[]1,1.5的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：()10f <()1.50f >()1.250f <()1.3750f >()1.31250f <()1.343750f >那么方程310x x --=的一个近似解为x =（精确到0.1）11．（23-24高一上·山东临沂·期末）用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到0.1.四、解答题12．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数1()3f x x x=+-．(1)判断函数()f x 在区间()1,+∞上的单调性，并用定义证明；(2)用二分法求方程()0f x =在区间()1,+∞上的一个近似解（精确度为0.1）．13．（23-24高一上·山东青岛·月考）已知()()ln 2,e xf x x xg x x =+-=+.(1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程()0f x =的近似解（精确到0.1）(2)设()()120,0f x g x ==，求证：12e x x ⋅>-.第19讲用二分法求方程的近似解模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件；2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解；3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解.知识点1二分法1、二分法的定义：对于区间[],a b 上图象连续不断且()()0⋅<f a f b 的函数()f x ，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法．2、二分法要点辨析：（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）函数图象在零点附近连续不断；（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如2=y x ，该函数有零点0，但不能用二分法求解．知识点2二分法求零点近似值1、给定精确度ε，用二分法求函数()=y f x 零点0x 的近似值的步骤（1）确定零点0x 的初始区间[],a b ，验证()()0⋅<f a f b ；（2）求区间(),a b 的中点c ；（3）计算()f c ，进一步确定零点所在的区间：①若()0=f c （此时0=x c ），则c 就是函数的零点；②若()()0⋅<f a f c （此时()0,∈x a c ），则令=b c ；③若()()0⋅<f c f b （此时()0,∈x c b ），则令=a c .（4）判断是否达到精确度ε：若-<a b ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）~（4）【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点．2、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即-<a b ε；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算213-，精确到0.01，即0.33（2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．考点一：判断二分法的适用条件例1．（23-24高一上·天津·月考）下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数，在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反，对于A ，0x =两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于B ，1x =两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于C ，图象与x 轴有交点，图象在x 轴及其上方，0x =两侧函数值符号相同，故不可用二分法求交点横坐标；对于D ，0x =两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；故选：C【变式1-1】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）已知函数()y f x =的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（）A ．4，4B ．3，4C ．4，3D ．5，4【答案】C【解析】图象与x 轴有4个交点，所以零点的个数为4，左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选：C【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A ．()2f x x =B ．()22f x x =++C ．()13f x x x=+-D ．()ln 3f x x =+【答案】B【解析】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；对于A ，()2f x x =有唯一零点0x =，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B ，()(222f x x x =++=+有唯一零点x =但(20y x =≥恒成立，故不可用二分法求零点；对于C ，()13f x x x =+-有两个不同零点32x =，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；对于D ，()ln 3f x x =+有唯一零点3x e -=，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B.【变式1-3】（23-24高一上·广东东莞·月考）（多选）下列方程中能用二分法求近似解的为（）A ．ln 0x x +=B ．e 30x x -=C ．3310x x -+=D ．2450x -+=【答案】ABC【解析】对于A 项，设()ln f x x x =+，则22221111ln 20e e e e f ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭，()110f =>，所以，()2110e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，且()f x 的图象是一条连续不断的曲线.根据零点的存在定理可知，121,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =，故A 正确；对于B 项，设()e 3xg x x =-，则()010g =>，()1e 30g =-<，所以，()()010g g <，且()g x 的图象是一条连续不断的曲线..根据零点的存在定理可知，()20,1x ∃∈，使得()20g x =，故B 正确；对于C 项，设()331h x x x =-+，则()010h =>，()113110h =-+=-<，所以，()()010h h <，且()h x 的图象是一条连续不断的曲线..根据零点的存在定理可知，()30,1x ∃∈，使得()30h x =，故C 正确；对于D 项，设()245k x x =-+，因为()(220k x x =≥恒成立，不存在函数值异号区间，所以不满足二分法的条件，故D 错误.故选：ABC.考点二：二分法的具体步骤例2.（23-24高一下·江苏扬州·月考）用二分法研究函数53()81f x x x =+-的零点时，第一次经过计算得(0)0f <，(0.5)0>f ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）A ．(0,0.5)，(0.125)fB ．(0,0.5)，(0.25)fC ．(0.5,1)，(0.75)fD ．(0,0.5)，(0.375)f 【答案】B【解析】因为(0)(0.5)0f f <，由零点存在性知：零点()00,0.5x ∈，根据二分法，第二次应计算00.52f +⎛⎫⎪⎝⎭，即()0.25f .故选：B.【变式2-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）设()28x f x x =+-，用二分法求方程280x x +-=在[1,5]上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（）A ．[]1,2或[]2,3都可以B ．[]2,3C ．[]1,2D ．不能确定【答案】B【解析】(1)2821850x f x =+-=+-=-<，55(5)258230f =+-=->，第一次取11532x +==，有3(3)23830f =+-=>，故第二次取21322x +==，有2(2)22820f =+-=-<，故此时可确定近似解所在区间为[]2,3.故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数()y f x =的图象在[,]a b 上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[,]a b ，[,]2a ba +，1[,33ba +，则b a -的值是（）A ．1B ．43C ．23-D ．23【答案】B【解析】因为依次确定了零点所在区间为[,]a b ，[,]2a b a +，1[,]33ba +，可得231223a b b a b a a +⎧=⎪⎪⎨++⎪=+⎪⎩，即3043a b b a +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1,13a b =-=.所以14133b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭.故选：B.【变式2-3】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数()e 2xf x x =--的一个正零点的近似值（精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据；()()()()10.28, 1.50.98, 1.250.24, 1.1250.04f f f f ≈-≈≈≈-，关于下一步的说法正确的是（）A ．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B ．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.1875fD ．没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.0625f 【答案】C【解析】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，()()()1,1.51,1.25 1.125,1.25→→时的区间长度为1.125 1.250.1250.1-=>，故没有达到精确的要求，应该接着计算()1.125 1.25 1.18752f f +⎛⎫= ⎪⎝⎭的值.故选：C考点三：二分法次数的确定例3.（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】由所给区间()2,3的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长度变为12n，故需10.012n≤，解得7n ≥，所以至少需要操作7次.故选：C【变式3-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知函数()y f x =为[]0,1上的连续函数，且()()010f f ⋅<，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】区间[]0,1的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过n 次后，区间长度变成12n ，则10.12n≤，即4n ≥，n *∈N 故对区间只需要分4次即可．故选：C.【变式3-2】（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间[]1,3的零点，若要求精确度0.01<，则至少进行次二分.【答案】8【解析】根据题意，原来区间[]1,3的长度等于2，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过n 次操作后，区间的长度为111222n n -⨯=，若110.012n -<，即8n ≥，故最少为8次.故答案为：8.【变式3-3】（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程23x =的正实数跟的近似解（精确度0.001）时，若我们选取初始区间是[]1,7,1,8，为达到精确度要求至少需要计算的次数是．【答案】7【解析】设至少需要计算n 次，则n 满足1.8 1.70.0012n-<，即2100n >，由于67264,2128==，故要达到精确度要求至少需要计算7次.故答案为：7考点四：用二分法求零点近似值例4.（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：(1)2f =-(1.5)0.625f =(1.25)0.984≈-f (1.375)0.260f ≈-(1.4375)0.162≈f (1.40625)0.054≈-f 那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)可以是（）A ．1.25B ．1.39C ．1.41D ．1.5【答案】C【解析】因为(1)0f <，(1.5)0f >，所以(1)(1.5)0f f ⋅<，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.510.50.05-=>，所以不满足精确度为0.05;因为(1.25)0f <，所以(1.25)(1.5)0f f ⋅<，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5 1.250.250.05-=>，所以不满足精确度为0.05;因为(1.375)0f <，所以(1.375)(1.5)0f f ⋅<，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5 1.3750.1250.05-=>，所以不满足精确度为0.05;因为(1.4375)0f >，所以(1.4375)(1.375)0f f ⋅<，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.05-=>，所以不满足精确度为0.05;因为(1.40625)0f <，所以(1.40625)(1.4375)0f f ⋅<，所以函数在(1.40625,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.406250.031250.05-=<，满足精确度为0.05，所以方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)可以是区间(1.40625,1.4375)内任意一个值(包括端点值).故选：C.【变式4-1】（23-24高一上·浙江温州·期末）（多选）设()()22log 12xh x x =++-，某同学用二分法求方程()0h x =的近似解(精确度为0.5)，列出了对应值表如下：x 0.5-0.1250.43750.752()h x 1.73-0.84-0.42-0.032.69依据此表格中的数据，方程的近似解0x 不可能为（）A ．00.125x =-B ．00.375x =C ．00.525x =D ．0 1.5x =【答案】ABD【解析】由题中参考数据可得根在区间()0.43750.75，内，故通过观察四个选项，符合要求的方程近似解0x 可能为0.525，0x 不可能为ABD 选项．故选：ABD ．【变式4-2】（23-24高一上·湖北黄冈·月考）（多选）某同学求函数()ln 2 6.5f x x x =+-的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:()2 1.807f ≈-()30.599f ≈()2.50.584f ≈-()2.750.012f ≈()2.6250.285f ≈-()2.68750.136f ≈-则方程ln 2 6.50x x +-=的近似解(精确度0.1)可取为（）A ．2.72B ．2.69C ．2.61D ．2.55【答案】AB【解析】由函数()ln 2 6.5f x x x =+-在()0,∞+上单调递增，要使得精确度为0.1，结合表格可知：()2.68750.1360f ≈-<，()2.750.0120f ≈>，此时2.75 2.68750.0650.1-=<，所以方程ln 2 6.50x x +-=的近似解在区间()2.6875,2.75内.故选：AB.【变式4-3】（23-24高一上·江苏·课后作业）已知函数()()211xx f x a a x -=+>+.(1)求证：()f x 在(1),-+∞上为增函数.(2)若3a =，求方程()0f x =的正根（精确度为0.01）.【答案】(1)证明见解析；(2)0.2734375【解析】（1）证明：设121x x -<<，12()()f x f x ∴-=121212*********()11(1)(1)x xx x x x x x a a a a x x x x ----+-=-+++++，121x x -<< ，110x ∴+>，210x +>，120x x -<，∴12123()0(1)(1)x x x x -<++；121x x -<< ，且1a >，12ax ax ∴<，∴120-<x x a a ，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）由（1）知，当3a =时，2()31xx f x x -=++在(1,)-+∞上为增函数，故在(0,)+∞上也单调递增，因此()0f x =的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根，由于(0)10f =-<，(1)f 502=>，∴取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：区间中点中点函数值(0,1)0.50.732(0,0.5)0.250.084-(0.25,0.5)0.3750.322(0.25,0.375)0.31250.124(0.25,0.3125)0.281250.021()0.25,0.281250.2656250.032-()0.265625,0.281250.27343750.00543-()0.2734375,0.28125由于0.27343750.281250.00781250.01-=<，∴原方程的根的近似值为0.2734375，即()0f x =的正根约为0.2734375.一、单选题1．（223-24高一上·浙江杭州·月考）设函数()348f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()()10,30f f <>，则方程的近似解落在区间（）A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数()348f x x x =+-，且()()10,30f f <>，可得3(70,(2)2602f f =>=>，所以3(1)()02f f ⋅<，根据零点的存在性定理，可得方程3480x x +-=的近似解落在区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.2．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数()231=+-f x x x 的零点时，第一次经过计算发现()00f <，()0.50f >，可得其中一个零点()00,0.5x ∈，则第二次还需计算函数值（）A ．()1fB ．()0.5f -C ．()0.25f D ．()0.125f 【答案】C【解析】由题意，第一次经过计算发现()00f <，()0.50f >，可得其中一个零点()00,0.5x ∈，由于()100.50.252+=，则第二次需计算()0.25f ，故选：C ．3．（23-24高一上·上海虹口·期末）若在用二分法寻找函数212(1)1xx y x x +=->-零点的过程中，依次确定了零点所在区间为41[,],,234a b a b b a b +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,,，则实数a 和b 分别等于（）A ．35,22B ．2，3C ．3,22D ．6552,【答案】A【解析】由函数()2122332222111xx x x x f x x x x +-+=-=-=-----，根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数()f x 在(1,)+∞上为单调递增函数，所以函数()f x 在(1,)+∞至多有一个零点，又由依次确定了零点所在区间为41[,],,,,234a b a b b a b +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可得4231224a b aa b b b +⎧=⎪⎪⎨++⎪=-⎪⎩，即5301a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得35,22a b ==.故选：A.4．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【解析】因为1.6 1.43750.16250.1-=>，所以不必考虑端点1.6；因为1.40625 1.250.156250.1-=>，所以不必考虑端点1.25和1；因为(1.4375)0f >，(1.375)0f <，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数()f x 在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：1.4[1.375,1.4375]∈.故选：C.5．（23-24高一上·安徽·月考）已知函数()31f x x x =+-在()0,1内有一个零点，且求得()f x 的部分函数值如下表所示：x 010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875()f x 1-10.375-0.17190.1309-0.2595-0.012450.06113-0.02483-若用二分法求()f x 零点的近似值（精确度为0.1），则对区间()0,1等分的最少次数和()f x 零点的一个近似值分别为（）A ．4，0.7B ．5，0.7C ．4，0.65D ．5，0.65【答案】C【解析】由题意可知，对区间(01),内，设零点为0x ，因为()00f <，()10f >，(0.5)0f <，所以()00.5,1x ∈，精确度为10.50.50.1-=>，又0.510.752+=，(0.75)0f >，()00.5,0.75x ∈，精确度为0.750.50.250.1-=>，又0.50.750.6252+=，(0.625)0f <，()00.625,0.75x ∈，精确度为0.750.6250.1250.1-=>又0.6250.750.68752+=，(0.6875)0f >，()00.625,0.6875x ∈，精确度为0.68750.6250.06250.1-=<，需要求解(0.5)(0.75)(0.625)(0.6875),,,f f f f 的值，然后达到()f x 零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次.故选：C6．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（）A ．2log 0x x +=B ．e 0x x +=C ．2210x x -+=D ln 0x =【答案】C【解析】对于A ，()2log f x x x =+在()0,∞+上单调递增，且()1110,11022f f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，可以使用二分法，故A 错误；对于B ，()e xf x x =+在R 上连续且单调递增，且()()1010,1e 10f f -=>-=-<，可以使用二分法，故B 错误；对于C ，()222110x x x -+=-≥，故不可以使用二分法，故C 正确；对于D ，()ln f x x =+在()0,∞+上单调递增，且()110,110e f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可以使用二分法，故D 错误.故选：C二、多选题7．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数()f x 零点的近似值时，若第一次所取区间为[]2,4-，则第二次所取区间可能是（）A ．[]2,1--B ．[]2,1-C ．[]2,4D ．[]1,4【答案】BD【解析】由题知第一次所取区间为[]2,4-，取中间值2412-+=，则第二次所取区间可能是[]2,1-或[]1,4.故选：BD.8．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程2370x x +-=的近似解时，设函数()237x f x x =+-来研究，通过计算列出了它的对应值表x 1.25 1.375 1.406251.422 1.4375 1.5()f x 0.87-0.26-h0.05-0.020.33分析表中数据，则下列说法正确的是：（）A ．0h >B ．方程2370x x +-=有实数解C ．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375D ．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375【答案】BC【解析】∵2x y =与37y x =-都是R 上的单调递增函数，∴()237xf x x =+-是R 上的单调递增函数，∴()f x 在R 上至多有一个零点，由表格中的数据可知：()1.4220f <，()1.43750f >，∴()f x 在R 上有唯一零点，零点所在的区间为()1.422,1.4375，∴0h <，A 错误；方程2370x x +-=有实数解，B 正确；(1.375)0.260(1.4375)0.020f f =-=，，1.4375 1.3750.06250.1-=<，即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C 正确；(1.422)0.050(1.4375)0.020f f =-=，，1.4375 1.4220.01550.01-=>，即精确度为0.01，则近似解不可取为1.4375，D 错误.故选：BC.三、填空题9．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）用“二分法”研究函数()33f x x x =+-的零点时，第一次经计算可知()()020f f <，说明该函数在区间()0,2内存在零点0x ，下一次应计算()1f x ，则1x =．【答案】1【解析】第一次经计算可知()()020f f <，说明该函数在区间()0,2内存在零点0x ，下次计算()1f x ，10212x =+=.故答案为：110．（23-24高一上·上海·期末）若函数()31f x x x =--在区间[]1,1.5的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：()10f <()1.50f >()1.250f <()1.3750f >()1.31250f <()1.343750f >那么方程310x x --=的一个近似解为x =（精确到0.1）【答案】1.3【解析】由表格中的数据，可得函数()31f x x x =--的零点在区间(1.3125,1.3475)之间，结合题设要求，可得方程310x x --=的一个近似解为 1.3x =.故答案为：1.3.11．（23-24高一上·山东临沂·期末）用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到0.1.【答案】4【解析】()2ln 220f =-<，()3ln 30f =>，()()230f f ⋅<，所以()02,3x ∃∈，满足()00f x =，开区间()2,3的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后，区间长度变为12n，故有10.12n ≤，即210n ≥，则4n ≥，所以至少需要操作4次.故答案为：4.四、解答题12．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数1()3f x x x=+-．(1)判断函数()f x 在区间()1,+∞上的单调性，并用定义证明；(2)用二分法求方程()0f x =在区间()1,+∞上的一个近似解（精确度为0.1）．【答案】(1)()y f x =在()1,∞+单调递增，证明见解析；(2)2.6（()2.5625,2.625内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解）【解析】（1）()y f x =在()1,+∞单调递增；证明如下：任取()12,1,x x ∈+∞，不妨设12x x <，211221212112()(1)11()()x x x x f x f x x x x x x x ---=-+-=，因为121x x <<，则210x x ->，1210x x ->，120x x >，可得21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，所以()y f x =在()1,+∞上单调递增.（2）因为函数1()3f x x x=+-在区间()1,+∞上是连续且单调的，可知其在区间()1,+∞上的零点即为方程()0f x =在区间()1,+∞上的解，且()20f <，()30f >，可得()f x 在()1,+∞内有且仅有一个零点()02,3x ∈，在区间()1,+∞上利用二分法列表如下：区间中点0x 中点函数值()0f x 区间长度()2,352.52=502f ⎛⎫< ⎪⎝⎭15,32⎛⎫⎪⎝⎭112.754=1104f ⎛⎫> ⎪⎝⎭12511,24⎛⎫ ⎪⎝⎭212.6258=2108f ⎛⎫> ⎪⎝⎭14521,28⎛⎫ ⎪⎝⎭412.562516=41016f ⎛⎫< ⎪⎝⎭18此时解在区间4121,168⎛⎫⎪⎝⎭，此区间长度为116，111610<，满足精确度为0.1，故区间4121,168⎛⎫⎪⎝⎭，即()2.5625,2.625内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程()0f x =在()1,+∞上的一个近似解．13．（23-24高一上·山东青岛·月考）已知()()ln 2,e xf x x xg x x =+-=+.(1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程()0f x =的近似解（精确到0.1）(2)设()()120,0f x g x ==，求证：12e x x ⋅>-.【答案】(1)1.5；(2)证明见解析.【解析】（1）由解析式知：()f x 在(0,)+∞上递增，()1ln11210f +-=-<=，()2ln 222ln 20f +-=>=，12322x +==，则33331ln 2ln 022222f ⎛⎫=+-=-==< ⎪⎝⎭，327224x +==，则1ln 2ln ln ln 0477774444f ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，又7310.5424-=<，且|ln |ln ln ==216e 2401181256e <<，所以32x =更接近于零点，故方程()0f x =的近似解为1.5.（2）由题设21111222ln 2ln 2e 0ln()x x x x x x x x +==-⎧⎧⇒⎨⎨+=-=⎩⎩，故121212ln ln()ln()2x x x x x x +-=-=-+，且20x <，要证12e x x ⋅>-，只需1221x x -+<，即211x x <-，由（1）知137(,)24x ∈，显然211x x <-成立，综上，12e x x ⋅>-，得证.。
【数学】用二分法求方程的近似解课件-2024-2025学年高一上学期人教A版(2019)必修第一册
由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1,所以函数的一个近似负零点可取-2.25.
规律方法
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则及求解流程图
(1)依据图象估计零点所在的初始区间[m,n](这个区间既要包含所求的解,
又要使其长度尽可能地小,区间的端点尽量为整数).
(2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是(m,c)还是(c,n),逐步缩
零点,则实数m的取值范围是
解析 由题意知,Δ=9-8m>0,即
9
−∞, .
8
9
m< .
8
(2)若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考
数据如下:
f(2)≈-0.369 1
f(2.5)≈0.334 0
f(2.25)≈-0.011 9
f(2.375)≈0.162 4
小区间的“长度”,直到区间的长度符合精确度要求(这个过程中应及时检验
所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度),才终止计算,得到函数
零点的近似值(为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往
采用列表法).
探究点三
转化与化归思想在二分法中的应用
3
【例 3】 求 2的近似值(精确度 0.01).
取区间(2.5, 3)的中点x1=2.75,
算得f(2.75)=0.512>0, f(2.5)f(2.75)<0,
从而x0 ∈ (2.5, 2.75)．
由于(2 , 3) (2.5 , 3) (2.5 , 2.75)
(3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零Fra bibliotek；1.5
3.1.2《用二分法求方程的近似解》参考教案1
3.1.2 用二分法求方程的近似解一、教学目标：知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感态度与价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．二、教学重难点重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．三、教学过程：创设情景：材料一：二分查找(binary-search)（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（）个单元。
A．1000 B．10 C．100 D．500二分法检索（二分查找或折半查找）演示．材料二：高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(=)f的x(xfy=的零点（即0根），对于)f为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根(x公式）．在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．师生双边互动：师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题．生：体会二分查找的思想与方法．师：从高次代数方程的解的探索历程，引导学生认识引入二分法的意义． 组织探究：二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：1．确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε；2．求区间a (，)b 的中点1x ；3．计算)(1x f ：师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．分析条件“)(a f ·)(b f 0<”、“精度ε”、“区间中点”及“ε<-||b a ”的意义． 利用多媒体呈现教学材料：○1 若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点； ○2 若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）；○3 若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；4．判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4．。
用二分法求方程的近似解上
取区间
[0,4]
[2,4]
X1=(0+4)/2=2
X2=(2+4)/2=3
f(x1)=f(2)=-6<0
f(x2)=f(3)=0
由上式计算可知,x2=3就是所求函数的一个零点.
例2 求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个为正数的零点(误差不超过0.1)
解 由于f(0)=-2<0,f(1)=-2<0,f(2)=6>0,可以取区间[1,2]作为计算的初始区间.
通过取中点,不断把函数的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数的零点或零点的近似值,这样的方法叫做二分法.
o
x
y
a
b
c
d
e
例1求函数f(x)=x3-3x2+2x-6在区间[0,4]内的变号零点.
解 f(0)=-6<0 f(4)=18>0
端点(中点)坐标
0.063
由上表的计算可知,区间[1.375,1.5]的长度小于0.2,所以这个区间的中点x3=1.438可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值.
用二分法求函数变号零点的一般步骤: 1.零点存在定理,求出初始区间
2.进行计算,确定下一区间 Nhomakorabea3.循环进行,达到精确要求
练习
端点(中点)坐标
中点的函数值
取区间
区间长度
[1,2]
[1,1.5]
[1.25,1.5]
[1.375,1.5]
1
0.5
0.25
0.125
X1=(1+2)/2=1.5
X2=1.25
X3=1.375
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1.3 用二分法求方程的近似解
大荔县朝邑中学杨艳
（一）教学目标
1．知识与技能
掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解.
2．过程与方法
体会通过取区间中点，应用零点存在性定理，逐步缩小零点所属区间的范围，而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想，渗透算法思想. 3．情感、态度及价值观
在灵活调整算法，在由特殊到一般的认识过程中，养成良好的学习品质和思维品质，享受数学的无穷魅力.
（二）教学重点与难点
重点：用二分法求方程的近似解；
难点：二分法原理的理解
（三）教材分析
本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.
（四）教学方法
讲授法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间默切的合作交流，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法研究问题，达到知能有机结合的最优结果.
（五）教学过程
教学环节教学内容师生互动设计意图
《1》复习引入课题
问题：方程的根与函数的零点
1 方程的根与函数的零点
2、零点存在判定法则
3、零点个数的求法
4 求根：如何求得方程的根呢？
《2》例题讲解
例1：例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数
①函数f (x) = lnx + 2x – 6在区间(2，3)内有零点.
②如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可
以得到零点的近似值.
③通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.
④取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f (2.5)≈–0.084.因为f (2.5)•f
(3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.再取内间(2.5，3)的中点 2.75，用计算
器算得f (2.75)≈0.512.因为f (2.5)•f (2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，
2.75)内.
⑤由于(2，3) (2.5，3)
(2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.
⑥例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5 – 2.531 25| = 0.007 812 5
＜0.01，所以，我们可以将x = 2.531 25作为函数
f (x) = lnx + 2x – 6零点的近似值，也即方程lnx + 2x – 6 = 0根的近
似值.
师：怎样求方程lnx + 2x – 6 = 0的根.
引导：观察图形
共同探究已知方程的根.
师生合作，借助计算机探求方程根的近似值.
区间中点的值中点函数近似值
(2,3) 2.5 –0.084
(2.5,3) 2.75 0.512
(2.5,2.75) 2.625 0.215
(2.5,2.625) 2.5625 0.066
(2.5,2.5625) 2.53125 –0.009
(2.53125,2.5625) 2.546875 0.029
(2.53125,2.546875) 2.5390625 0.010
(2.53125,2.5390625) 2.53515625 0.001
由旧到新设疑、析疑导入课题，实例分析了解二分法、进一步师生合作尝试二分法.
形成概念
对于区间[a，b]上连续不断且f (a)•f (b)＜0的函数y = f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
例 2 借助计算器或计算机用二分法求方程2x + 3x = 7的近似解(精确度0.1). 师生合作应用二分法，遵循二分法的步骤求解，并借助函数图象检验.
解：原方程即2x + 3x –7 = 0，令f (x) = 2x + 3x –7，用计算器或计算机作出函数f (x) = 2x + 3x –7的对应值表与图象
x 0 1 2 3 4
f(x)=2x+3x–7 –6 –2 3 10 21
x 5 6 7 8
f(x)=2x+3x–7 40 75 142 273
观察图或表可知f(1)•f(2)＜0，说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.
取区间(1，2)的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)•f(1.5)＜0,所以x0∈(1，1.5).
再取(1，1.5)的中点x¬2=1.25，用计算器算得f(1.25)≈–0.87.因为f(1.25)•f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25，1.5).
同理可得x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.4375) 再取(1，1.5)的中点x¬2=1.25，用计算器算得f(1.25)≈–0.87.因为f(1.25)•f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25，1.5). 同理可得x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.4375)
由于|1.375–1.4375| = 0.0625＜0.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375. 尝试体验二分法，培养应用二分法从而固化基本理论技能
2．给定精确度，用二分法求函数f (x)零点近似值的步聚如下：
（1）确定区间[a，b]，验证f (a)•f (b)＜0，给定精确度；
（2）求区间(a，b)的中点c；
（3）计算f (c)；
①若f (c) = 0，则c就是函数的零点；
②若f (a)•f (c)＜0，则令b = c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f (c)•f (b)＜0，则令a = c(此时零点x0∈(c，b)).
（4）判断是否达到精确度：即若|a – b|＜，则得到零点近似值a(或b)；否则重
复2—4. 师生合作回顾实例：
求方程lnx + 2x – 6 = 0的近似解(精确度0.01)的操作过程.掌握二分法，总结应用二分法的步骤
师：讲授二分法的定义.
生：总结应用二分法的步骤.
学生交流总结，学生代表口述步骤，老师完善并板书. 由特殊到一般形成概念，归纳总结应用二分法的步骤.
《3》巩固练习
借助计算器或计算机用二分法求方程 3x-7x=8 的近似解(精确到0.1).
《4》小结
这节课你学到了什么吗？
有什么收获吗？
——二分法求方程的根
《5》作业
课本108页第4、5题
用二分法求方程的近似解
大荔县朝邑中学
杨艳。