22微观粒子的波动性和状态描述习题解答

第二十二章 微观粒子的波动性与状态描述

一 选择题

1.如果两种不同质量的粒子,其德布罗意波长相同,则这两种粒子的( A )

A 、 动量相同

B 、 能量相同

C 、 速度相同

D 、 动能相同

2.关于不确定关系∆x ∆p x ≥2

有以下几种理解,其中正确的就是:( C ) （1） 粒子的动量不可能确定

（2） 粒子的坐标不可能确定

（3） 粒子的动量与坐标不可能同时确定

（4） 不确定关系不仅适用于电子与光子,也适用于其它粒子

A 、 (1),(2)

B 、 (2),(4)

C 、 (3),(4)

D 、 (4),(1)

3、 将波函数在空间各点的振幅同时增大 2 倍,则粒子在空间的分布概率密度将( D )

A 、 增大2 倍

B 、 增大2 倍

C 、 增大4倍

D 、 不变

二 填空题

1.运动速率等于在300K 时方均根速率的氢原子的德布罗意波长就是0、145nm 。质量为M =1g ,以速度v =1cm·s -1运动的小球的德布罗意波长就是6、63⨯10-20nm 。(氢原子质量m H =1、67×10-27 kg)

2.当电子受到1、0MV 的加速电压作用后,其德布罗意波长为8、7×10-13 m 。 (提示:须考虑相对论效应)

3.如果电子被限制在边界x 与x +∆x 之间,∆x =0、05nm,,则电子动量x 分量的不确定量近似为__ 1、3×10-23 _kg·m/s 。

4、 如果系统的激发态能级宽度为1、1eV ,此态的寿命就是

5、99×10-16 s 。

5.设描述微观粒子运动的波函数为ψ (r , t ),则ψψ*表示粒子在t 时刻在(x , y , z)处出现的概率密度;ψ (r , t )须满足的条件就是单值、有限、连续 ;其归一化条件就是

⎰⎰⎰ 1=d d d 2z y x Ψ。

三 计算题

1.若不考虑相对论效应,则波长为550nm 的电子的动能就是多少e V ？

解:非相对论动能2k 2

1v m E =,而p = m v ,所以m p E 22k =。又根据德布罗意关系有p = h /λ代入上式,则

622

k 1098.42 -==×λ

m h E eV 2.假如电子运动速度与光速可以比拟,则当电子的动能等于它静止能量的2倍时,其德布罗意波长为多少？

解:若电子的动量就是它的静止能量的两倍,则:

m c 2 - m e c 2 = 2 m e c 2

故: m = 3 m e

由相对论公式 22e

1c m m v -= 有 22e

e 13 c m m v -= 解得 38 c =v 德布罗意波长为 ()13e 1058.8 8-===×c m h m h v λm

3、 同时确定能量为1KeV 的电子的位置与动量时,若位置的不确定值在0、1nm 以内,则动量不确定值的相对比值∆p / p 至少为多少 ？

解:1KeV 的电子的动量(按非相对论计算)为 ()12321k s m kg 1071.12--⋅⋅==×mE p

根据不确定关系式 ≈∆⋅∆p x ,得到

124s m kg 1006.1--⋅⋅=∆≈∆×x p

故062.0/≈∆p p 。

(若按2/ ≥p x ∆⋅∆估计,031.0/=∆p p )

4.如果原子某激发态的平均寿命为10-8s,该激发态的能级宽度约就是多少？ 解:根据关系式 ≈∆⋅∆t E ,激发态的能级宽度

268

341005.1101005.1---⨯=⨯=∆≈=∆t E J 5、 如果一个质量为m 的粒子被限制在x =0到x =L 的直线段上作自由运动,试计算系统处于最低能态时的能量。

(提示:粒子的德布罗意波满足驻波条件)

解:依题意,粒子德布罗意波的定态波函数不为零的区域为0≤x ≤ L ,x =0与x =L 处相当于固定反射端,因此德布罗意波必满足驻波条件。粒子在0≤x ≤ L 区域形成稳定的驻波,其波长满足

,3,2,1 2

==n n L λ

粒子的动量 L

nh h

p 2==λ

自由粒子的能量就就是它的动能,因此

2

2

2282mL h n m p E n == 当n =1时,系统处于最低能态,其能量为2

2

18mL h E =。 6、 一个粒子沿x 方向运动,其波函数为

)( 11)(∞<<-∞-=x ix

c x ψ 试求:(1)归一化常数c ;(2)发现粒子概率密度最大的位置;(3)在x =0到x =1之间粒子出现的概率。

解:(1)由波函数的归一化条件

1d )(2=⎰

V x ψ

运动为一维粒子时,有 1π2π2d 12222===+⎰

∞

∞-c c x x c π1=c (2)概率密度 π)1(111π1)(22

2x ix x w +=-==ψ 而

2

)1(2π1d d x x x w +-= 令上式为零,得到x =0。因此发现粒子概率密度最大的位置就是在x =0处。

(3)在x =0到x =1之间粒子出现的概率为

%2541)0arctan 1(arctan π1d )1(π1d 10210==-=+==⎰⎰x x x w P