2.2 对数函数 第二课时-人教版高一数学第二章

动手做一做
考点四 求最值
例题.已知f(x)=2+log3x,x∈［1,9］,求y=［f(x)］2+f(x2)的最大值及当
y取最大值时x的值.
【分析】要求函数y=［f(x)］2+f(x2)的最大值，首先要求函数的解析式， 然后求出函数的定义域，最后用换元法求出函数的值域.
【解析】∵f(x)=2+log3x,
动手做一做
考点二
（ 1） y
求定义域
求下列函数的定义域：
log0.5 (4x - 3);
x y log (16 4 ). （ 2） x 1

【分析】注意考虑问题要全面，切忌丢三落四. 【解析】（1）由log0.5(4x-3)≥0 ∴ <x≤1. 4x-3>域是 ,1 4 3
2
∴0<-x2-4x+12≤16. ∴函数的值域为［-4,+∞).
∵y=log x在(0,16］上是减函数,
（2）∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4, 又∵x2-2x-3>0,且y=log 1 x在(0,+∞)上是减函数, ∴y∈ R, ∴函数的值域为实数集R.
2
答案解析
（3）令u=a-ax,
y
前面提到的放射性物质 , 经过的时间x 年 与物质剩 留量 y 的关系为 y 0.84 x , 写成 对数式为x log 0.84 y. 类似地, y是自变量, x是y的函数.
习惯上, 仍用x表示自变量 , 用y表示它的函数 .这样, 上 面两个函数就分别写成y log 2 x和y log .84 x .
（2）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定.
动手做一做
考点七 对数的综合应用
x 1 . x -1
例、已知函数f(x)= log1
2
（1）判断f(x)的奇偶性； （2）证明：f(x)在(1,+∞)上是增函数.
答案解析
【分析】由函数的奇偶性、单调性的证明方法作出证明.
【解析】（1）由
x1 x -1
2
y log 1 (x2 - 2x - 3);
2
（3）y=log a(a-ax)(a>1).
【分析】复合函数的值域问题，要先求函数的定义域， 再由单调性求解.
答案解析
【解析】（1）∵-x2-4x+12=-(x2+4x)+12 =-(x+2)2+16≤16, 又∵-x2-4x+12>0, ∴y≥ log 1 16=-4.
第二章 基本初等函数
2.2 对数函数
第二课时 2.2.2
对数函数及其性质
学习有目标
• • • • • • 理解对数函数的概念； 掌握对数函数的图象、性质； 培养学生数形结合的意识． 掌握对数函数的单调性； 掌握同底数对数比较大小的方法； 掌握对数形式的复合函数的定义域、值域；
知识回顾
复习:
一般地,函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做 指数函 数,其中x是自变量.
∵u>0,a>1,∴ax<a,x<1, ∴y=loga(a-ax)的定义域为{x|x<1}, ∵ax<a,且ax>0,u=a-ax<a, ∴y=loga(a-ax)<logaa=1,
∴函数的值域为{y|y<1}.
【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函 数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值 .
a > 1
0 < a < 1
图 象
y y=1
y=ax
y=ax y=1
y
(0,1)
0
定义域: 值 域:
(0,1) R
x
0
x
性 质
（0 , +∞） 过 点 ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
在 R 上是减函数
在 R 上是增函数
新知引入
我 们知道某细胞分裂过程中 ,细
x
y 2x
对数函数的图象和性质
y=logax（0<a<1）
的图象
一般地，对数函数y=logax在a>1及0<a<1这两种情 况下的图象和性质如下表所示： a ＞1 0＜a＜1
图 象
当0＜x＜1时，y＜0 当x=1时，y=0 当0＜x＜1时，y＞0
当x=1时，y=0
当x＞1时，y＜0
当x＞1时，y＞0
性 ⑵值域：R ⑶过特殊点： 过点（1，0），即x=1时y=0 质 ⑷单调性 ： ⑷单调性：在（0，+∞）上是减函数 在（0，+∞）上是增函数
答案解析
【分析】若f(x)的定义域为R，则对一切x∈R,f(x)有意义；若f(x)值域为 R，则f(x)能取到一切实数值. 【解析】（1）要使f(x)的定义域为R，只要使μ(x)=ax2+2x+1的值恒 为正值，

a>0 Δ=4-4a<0，
a 1.
（2）若f(x)的值域为R，则要求μ(x)=ax2+2x+1的值域包含(0,+∞).
>0 解得f(x)的定义域是
(-∞,-1)∪(1,+∞),
- x 1 - log x 1 1 ∵f(-x)= log1 = = -f(x), ∴是奇函数. x 1 2 2 - x -1
2 （2）证明:设x1,x2∈(1,+∞)，且x1<x2,u(x)= 1 x -1 x 1 = ,则 log x 1 1 x -1 2 x 1
答案解析
（2）要使函数有意义，必须且满足 2x+3>0 x-1>0 3x-1>0 解得 x>
3 2

3x-1 0

因此，函数的定义域为 (1,+∞) .
1 x> 3 x 2 3
x>1
动手做一做
考点三 求值域
求下列函数的值域： （1）y log （ 2）
1 2
(-x - 4x 12);
思考 函数y log a x与函数 y a x (a 0, a 1) 的定义域值域之间有 什么关系?
对数函数的图象和性质
对数函数y=log2x的图象
y
y log2 x
x
对数函数的图象和性质 对数函数y=log x的图象
y
x
y=log x
对数函数的图象和性质 y=logax（a>1）的图象
1 ( , ) ∴原函数的单调增区间为 2 ,单调减区间为(3,+∞).
【评析】复合函数单调区间的求法应注意三点：一是抓住变化状态； 二是掌握复合函数的单调性规律；三是注意复合函数的定义域.
1 (- ,- ) 上为减函 2
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考点六 求变量范围
例.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). （1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.
3 <x<2, 2
3 1 ∴当x∈ - 2 , 4 时，随x的增大t的值增大，从而log t的值减 1
小；
2
1 1 当x∈ ,2 时，随x的增大t的值减小，从而log 1 t的值增大. 4 2 2 1 ∴函数y=log (-2x2+x+6)的单调增区间是 ，单调减区 ,2 4
⑴定义域： （0，+∞）
动手做一做
考点一 比较大小
比较大小：
（1）
6 4 log1 log1 与 2 7 2 5
（2）
log1 3
2
与
log 1 3
5
（3）
log1 0.3 与 . log 0.8 2
3
【分析】从对数函数单调性及图象变化规律入手.
动手做一做
比较下列各组数中两个值的大小：
（1） log2 3.4,log2 8.5
（2） log0.31.8,log0.3 2.7
（3） loga 5.1,loga 5.9 (a>0，且a≠1).
答案解析
（1）考查对数函数y=log2x，因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)
上是增函数，于是log23.4<log28.5.
（2）考查对数函数y=log0.3x，因为它的底数满足0<0.3<1,所以它 在(0,+∞)上是减函数，于是log0.31.8>log0.32.7.
（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于 1还是小于1， 而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此，要对底数a 进行讨论： 当a>1时，函数y=logax在(0,+∞)上是增函数，于是loga5.1<loga5.9; 当0<a<1时，函数y=logax在(0,+∞)上是减函数，于是 loga5.1>loga5.9.
动手做一做
求下列函数的定义域： （1） y=
log0.8x - 1 ; 2x - 1
y log3x -1 （2）
2x 3 . x 1
(1)要使函数有意义，必须且只需 x>0 log0.8x-1≥0 2x-1≠0, 即 x>0 x≤0.8 1 x≠ , 2


4 1 1 1 4 ∴0<x≤5 且x≠ .函数的定义域是 0, , . 2 2 2 5
胞个数 y 是分裂次数 x 的指数函 数 y 2 x .因此, 知 道 x 的值 ( 输入 值是分裂次数) , 就能求出y 的值 ( 输出值 是细胞个数) .现 在我们 来研究相反的问题 :
y
知道了细胞个数y , 如何确定分裂次数x ?
新知引入
x
x log 2 y
为了求 y 2 x中的 x , 我们将 y 2 x 改 写成对数式为x log 2 y.对于每一个 给定的 y 值, 都有一个惟一的x 值与 之对应 .将y 看做自变量, x就是y的函 数.这样就得到一个新的函 数.
3 1 间是 - , 2 4
.
答案解析
（2）先求此函数的定义域，由μ=2x2-5x-3>0得(2x+1)(x-3)>0， 得x< 1 2
或x>3.
易知y=log0.1
μ是减函数，μ=2x2-5x-3在
数，即x越大，μ越小，∴y=log0.1u越大；在(3,+∞)上函数μ为 增函数，即x越大，μ越大，∴y=log0.1μ 越小.
答案解析
2 2 (1 ) 2( 2 2 ) 2(x2 x 1 ) u(x1)-u(x2)= 1 x1 - 1 x2 - 1 x 1 - 1 x 2 - 1 (x1 1)(x2 1)
∵x2>x1>1, ∴x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,
∴u(x1)-u(x2)>0,即u(x1)>u(x2)>0, ∵y=log 1u在(0,+∞)上是减函数,
答案解析
当a<0时，这不可能；当a=0时，μ(x)=2x+1∈R成立；当a>0时，
μ(x)=ax2+2x+1要包含(0,+∞)，需

a>0 Δ=4-4a≥0
综上所述，0 ≤a≤1.
0 a 1.
【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.
（1）中函数的定义域为R,由判别式小于零确定；
答案解析
(2)由

16-4x>0
x+1>0 x+1≠1 得

x<2
x>-1 x≠0.
∴-1<x<0或0<x<2. ∴函数的定义域是(-1,0)∪(0,2).
【评析】求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等式（组）并 解之，对于含有对数式的函数定义域的求解，必须同时考虑底数和真数的 取值条件，在本例（2）（4）中还用到指数、对数的单调性.
又∵函数y=(u+3)2-3在［-3,+∞)上是增函数, ∴当u=1时，函数y=(u+3)2-3有最大值13. 即当log3x=1,即x=3时，函数y=［f(x)］2+f(x2)有最大值为13.
【评析】求函数的值域和最值，必须考虑函数的定义域，同时应 注意求值域或最值的常用方法.
动手做一做
考点五 求单调区间
新知引入
观察下面两个表格，你能得到什么关系？ x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 2x 1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
x
y log2 x
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
16 4
新知引入
对数函数
一般地,函数 y log a x a 0, a 1叫 做对数函数，它的定义域是 0, .
∴y=［f(x)］2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2) =log32x+6log3x+6
=(log3x+3)2-3.
答案解析
∵函数f(x)的定义域为［1,9］,

∴要使函数y=［f(x)］2+f(x2)有定义，必须 1≤x2≤9 1≤x≤9. ∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1. 令u=log3x，则0≤u≤1.
求下列函数的单调区间： （1）f(x)=
log 1 (-2x2 x 6) ；
2
（2）f(x)=log0.1(2x2-5x-3).
【分析】复合函数的单调性，宜分解为两个基本函数后解决.
答案解析
【解析】（1）令t=-2x2+x+6=-2
1 2 49 (x ) + . 8 4
∵由-2x2+x+6>0知-