人教版数学高二-人教A版选修4-5练习 第四讲 复 习 课

复习课

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[警示·易错提醒]

1．数学归纳法的两个关注点．

(1)关注用数学归纳法证题的步骤．第一步称“归纳奠基”，是递推链的起点；第二步称为“归纳递推”，是递推链具有传递性的保证．两步缺一不可，否则不能保证结论成立．

(2)关注适用范围，数学归纳法适用于某些与正整数n有关的问题，这里n是任意的正整数，它可取无限多个值，但是，并不能说所有与正整数n有关的问题都可以用数学归纳法．

2．数学归纳法的两个易错点．

(1)在数学归纳法中，没有应用归纳假设．

(2)归纳推理不到位．

专题一数学归纳法

在学习数学归纳法时，常会遇到两个困难，一是对其实质不容易理解，二是对归纳步骤的证明感到难以入手，其实在数学归纳法中只有两个步骤：归纳奠基，归纳递推，二是缺一不可．

(1)不可缺第一步．

有的同学会认为第二步有递推作用，且k 可以取任意值，因此第一步就无关紧要，有没有均可．这是一种错误的认识，它忽略了第一步的奠基作用．因为如果没有n ＝n 0时成立，归纳假设也就没有了依据，递推性就建立在毫无根据的结论之上，当然也不可能得到正确的结论．

(2)不可缺第二步．

在刚接触数学归纳法时容易觉得，既然一个数学命题对开头的一些自然数成立，那么由n ＝k 成立推导出n ＝k ＋1成立是必然的，因此第二步流于形式，证与不证一个样．显然这是不正确的，原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用，如果没有递推性，虽然一个数学命题对于开头的许多自然数都成立，但是对于后面的并不一定成立．因此我们不能把不完全归纳当做数学证明，用数学归纳法证明时不可缺第二步．

[例1] 求证对任意正整数n ，有13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2成立．

证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，

所以原等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，

即13＋23＋…＋k 3＝(1＋2＋…＋k )2.

在上式等号两边同时加上(k ＋1)3，

得13＋23＋…＋k 3＋(k ＋1)3＝(1＋2＋…＋k )2＋(k ＋1)3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k （k ＋1）22＋(k ＋1)3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋122[k 2＋4(k ＋1)]＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤（k ＋1）（k ＋2）22

＝[1＋2＋…＋k ＋(k ＋1)]2.

所以当n ＝k ＋1时，13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2也成立． 综合(1)(2)可知，对任何正整数n ，原等式成立．

归纳升华

1．证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论．

2．证明不等式的题型多种多样，所以不等式的证明是一个难点，在由n ＝k 成立，推导n ＝k ＋1也成立时，过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题．

3．利用数学归纳法证明整除性问题时，第二步一般先将n ＝k ＋1代入原式，然后将原式作适当的恒等变形，凑出归纳假设，这是证明的关键和难点．

[变式训练] 设a n ＝1×2＋2×3＋…＋n （n ＋1）(n ∈N ＋)，

求证：12n (n ＋1)＜a n ＜12

(n ＋1)2. 证明：①当n ＝1时，

a 1＝2，12n (n ＋1)＝1，12

(n ＋1)2＝2， 所以1＜2＜2，所以n ＝1时，不等式成立．

②假设当n ＝k 时不等式成立，

即12k (k ＋1)＜a k ＜12

(k ＋1)2， 当n ＝k ＋1时，

12k (k ＋1)＋（k ＋1）（k ＋2）＜a k ＋1＜12

(k ＋1)2＋ （k ＋1）（k ＋2），

12k (k ＋1)＋（k ＋1）（k ＋2）＞12k (k ＋1)＋(k ＋1)＝12

(k ＋1)·(k ＋2)＝12

(k ＋1)[(k ＋1)＋1]， 12

(k ＋1)2＋（k ＋1）（k ＋2）＝12(k ＋1)2＋k 2＋3k ＋2＜12(k ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋32＝12

(k ＋2)2＝12[(k ＋1)＋1]2， 所以12(k ＋1)[(k ＋1)＋1]＜a k ＋1＜12

[(k ＋1)＋1]2， 即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．

根据①②可知对任意的n ∈N ＋，不等式12n (n ＋1)＜a n ＜12

(n ＋1)2恒成立．

专题二 归纳、猜想、证明思想的应用

归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此务必要保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写．

[例2] 数列{a n }满足S n ＝2n －a n .

(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ；

(2)用数学归纳法证明(1)的猜想．

(1)解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，

所以a 1＝1.

当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，

所以a 2＝32

. 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，

所以a 3＝74

. 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，

所以a 4＝158

. 由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)． (2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．

②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，结论成立，

即a k ＝2k －12k －1. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1 ，

即a k ＋1＝2＋a k －a k ＋1，