《数列的极限》教学设计

《高等数学》——数列极限
教学设计
章节、内容§1.2 极限（数列极限）
授课时间及班级2017年6月2日1、2节电子技师3班授课周次第14周授课时间1课时45分钟教具三角板、圆规
教材地位众所周知，数列极限这个概念的理解是学习导数所必备的知识，另外，极限也是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变。

教学重点数列极限的概念。

教学难点如何从变化趋势的角度，来正确理解数列极限的概念。

教材分析
教学关键教学中启发学生在分析问题时抓住问题的本质（即定义）。

知识目标从数列的变化趋势来理解极限的概念；能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；体会极限思想。

能力目标1、通过设置问题情境、数列变化趋势的分析，使学生理解数列极限的定
义，学会数学语言的表述，培养学生观察、分析、概括的能力。

2、通过分层练习，使学生的基础知识得到进一步的巩固，进而学会数列
极限的分析方法，体会在探索问题中由静态到动态、由有限到无限的辨证观点，感受“从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊”的认识过程。

教学目标
分析
情感目标1、通过介绍我国古代思想家庄周和数学家刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感。

2、通过介绍生活中的极限运动和极限精神，激发学生的学习积极性，优化学生的思维品质。

学生知识现状分析授课对象为二年级学生，有部分高中毕业生、大多数是初中毕业生、学生基础层次差距较大；多数学生欠缺学习方法，不善于自己分析探究，习惯于教师的讲授；另外数学语言表达存在一定问题。

但已具备一定的初等数学基础知识。

教法分析根据本节课的内容和学生的实际水平，整节课以教师为主导、学生为主体、启发思维为主线；并采用班内“隐性”分层教学，接合讲授法、演示法、讨论法、探究法等方法。

教学方法
分析
学法分析1、自主学习：学生自己通过预习，了解所学知识
2、探究合作学习：通过教师的引导，学生合作探究，互相交流，解决教学中出现的问题。

3、练习巩固法：让学生知道数学重在应用，通过应用来检验自己对知识的掌握情况
教学过程设计
接表后
教学过程设计
A 、【课前准备】1、安排学生提前预习本节内容。

2、分组：4～6人为一个学习小组，确定一人为组长。

教师需要做好协调工
作，确保每位学生都参加。

B 、【组织教学】 检查学生出勤情况，填写教学日志，教材、用具准备等（2分钟）
C 、【复习回顾】 数列的定义（2分钟）
D 、【教学内容、方法和过程】接下表
教师活
动
学 生活 动
设计意图
(一) 结合实际，情景导入(时间4分钟）
导入1、战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 也就是说一根长为一尺的木棒，
每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去
导入2、三国时的刘徽提出的“割圆求周”的方法.他把圆周分成三等分、
六等分、十二等分、二十四等分、··· 这样继续分割下去,所得多边
形的周长就无限接近于圆的周长.
教师引入：不论是庄周还是刘徽，在他们的思想中都体现了一种数列极
限思想，今天我们来学习数列极限。

【学情预设】：有的学生可能没体会到情景导入的目的，教师最后要总结导入中蕴含的数学思想。

(二)归纳总结,形成概念: (时间9分钟）
1．提出问题：分析当无限增大时，下列数列的项的变化趋势及共同特征.
（1）１，，，……递减213141n
1
（2）递增
学生参与，
思 考，
感 受
学生参与，
思 考
问题，在
老师的引
导下对数
列极限知
识有一个
形象化的
了解。

通过讨论，
学生了解
以研究函
数值的变
化趋势的观点研究无穷数列，从而体会发现数列
通过介绍我国古代哲学家庄周和刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。

同时为学习新知识做准备，使学生更好的承
上启下。

（一）概念探索阶段”
在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变
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m （3）摆动 2．解决问题：[共同特征]不论这些变化趋势如何，随着项数的无限增大，数列的项无限地趋近于常数.（即
无限地接近于0） 3．强化认识：（学生回答）观察下面三个数列 ：分析当n 无限
增大时，下列数列的项 的变化趋势
（1）1，（2）0.9, 0.99, 0.999, 0.9999………
(3) ，，，…，，…；提出问题：
当n 无限增大时，上述数列趋近常数的方式有哪几种类型？
4.概念形成：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数（即无限地接近0），那么就说数列以为极限或者说是数列的极限. 记作：读作：“当趋向于无穷大时，的极限等于a.”注意：（1）是无穷数列.（2）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的(三)尝试探究，深化概念: (时间10分钟）
例1．考察下面的数列，写出它们的极限（1） （2）6.5，6.95，6.995，…， （3） 极限的过程
这一阶段
的教学中，
采取“启发式谈话
法”与
“启发式讲解法”， 注意不
“一次到位”
通过讨论，
在教师的引导下，使学生得
到结论
师生共同
解决例
（1），第
（2）（3）学
生分析完成.
学生合作讨论，发
挥教师的
引导，学
化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题： ①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；
②使学生形成对数列极限的初步认识；
（二）概念建立阶段
归纳共同点，是锻炼学生分析和总结的思维能力。

同时培养学生动手能力，提高教学效果 ，进一步理解数列极限的定义
进一步理解定义
学生通过教师引导和练习，去体会数列极限蕴含的数学思想，深
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a r e 解：（1）数列的项随的增大而减小，但大于0，且当无
限增大时，无限地趋近于0，因此数列的极限是0.（2）（3）请学生分析完成.
探究性问题1：是否每个无穷数列都是有极限.
①2、4、6、8、…………
②③【学情预设】：1、学生会错误认为所有数列都有极限。

2、学生对摆动数列中数的趋向难于把握。

教师要充分发
挥多媒体的动画效果。

课堂练习
（1）数列的极限是 ，记作 .（2）数列的极限是 ，记作 .（3）数列的极限是 ，记作 . 【学情预设】：极限的记法第一次出现，学生很容易出错，尤其是极限的位置。

考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导
例2、求常数数列1，-1，1，-1，···，-1，···的极限．
例3、用计算器计算，由此猜想数列的极限。

结论：一般地，如果，那么探究2：
1：若a=1时，则 2：若a=-1时，则生的主体作用，
完成预想的教学目
标！
学生到黑板上填空
学生按照教师给出
的阅读提
示阅读，小组讨论
后给回答
问题
自己分析，小组交流后回答
学生独立
完成练习
1小组合作学习，
完成探索
开放性练
化对定义的认识。

极限的记法第一次出现，学生容易出错，该练习的目的是为了熟悉极限的表示
教师给出阅读提示，然后学生阅读例2,例3，是为了提高课堂有效性，节省时间。

探究2是让学生明白极限存在的前提，注意字母的范围，同时加深对极限的认识。

课后练习1是检验本节课所学，完成本节教学任务。

在探索开放
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3：若a>1时，则 4：若a<-1时，则
【学情预设】：1、学生比较容易理解例2和例3，是否注意到对字母a 的限制。

2、在探索开放性练习上
①首先选一从递增数列的角度研究的小组上台汇报；②对于从递减数列的角度研究的小组上台汇报；
③问其它小组有没不同的看法，上台补充（是否注意到摆动数
列）
3、学生很难想到从数列分类的角度去思考。

(四)分层练习、巩固创新:(时间14分钟）
1课本20页1,(1)，(2)，(3)，(4)，(5)
2．探索开放性练习：
试说出满足的几个数列?
答：
……（答案不唯一）
(五) ：归纳小结(时间2分钟）
1：数列极限的定义，记法，读法2：数列的三种趋向方式3：常用数列的极限
(六) ：作业布置，升华所学(时间4分钟）
1、课后作业：课后练习题1,2,3和课外阅读三国时的刘徽提出割圆术的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、··· 这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.
2、升华所学：出示图片1（“蹦极”），2（“攀岩”），3(“登山”)
近年来，世界上兴起了许多运动：如“蹦极” “攀岩” “登山”等。

之所以受到欢迎，就是由于蕴含了一种极限精神:挑战自己精神、胆量、勇气、耐力的极限。

在挑战的同时，挑战者也享受到了挑战带来的刺激和快乐。

（七）、板书设计：
数列极限
1、 数列极限的定义一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列
的项无限地趋近
于某个常数（即无限地接近0），那么就说数列
以为
习
小结由学生和老师共同完成，养成学生及时总结的习惯。

性练习中，通过小组讨论，合作探究过程中，让
学生感受合作与交流的乐趣。

同时挖掘学生潜在的探索发现能力和创造能力。

最后通过小结，使知识系统化，条理化。

通过第1个作业，巩固所学！通过课外阅读介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，完成本节课情感态度与价值观目标。

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m 极限或者说是数列的极限. 记作：
读作：“当趋向于无穷大时，
的极限等于a.”
注意：（1）是无穷数列.
（2）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的2、常见数列的极限
02
1lim =∞→n n
11
lim =+∞→n n n
0)1(lim =-∞→n
n
n ()()()
01lim 1111n
n a a a a a →∞
⎧<⎪⎪==⎨⎪
>=-⎪⎩不存在或
课后记
本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对数列极限的兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对极限及其蕴含思想的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对极限的掌握。

在课堂教学中，要合理的使用现代技术，如在摆动数列的极限的研究中，要充分发挥多媒体的动画效果，在例3的讲解上，不需要计算器等设备，只需明白数列趋近的方向即可。

教学评价及设计理念
1、学生的思维得到了有效的训练和提高
在教学过程中始终围绕教学目标进行评价，师生互动，在教学过程的不同环节中及时获得教学反馈信息，以学生为主体，及时调节教学措施，完成教学目标。

在分层练习中，学生通过积极的思维、练习后对学生的思维又得到了进一步的发展。

2、本节课贯彻了新课程的理念
以学生为本，采用启发式教学，根据现代建构主义理论，从思维的最近发展区出发，通过对学生的循循善诱，激活了学生原有的认知规律，并为知识结构的优化奠定基础。