专题5-第3讲

一、选择题

1．(2017·河北衡水二中模拟，11)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为42，虚轴的一个端点与抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点重合，直线y ＝kx －1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近平行，则p ＝( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【解析】 由抛物线x 2＝2py (p ＞0)可知其焦点为⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，p 2，所以b ＝p 2，又a

＝22，因此双曲线的方程为x 28－4y 2p 2＝1，渐近线方程为y ＝±p

42

x .直线y ＝kx －1

与双曲线的一条渐近线平行，不妨设

k ＝p 42

，由⎩⎨⎧

y ＝p 42x －1，x 2＝2py

可得x 2＝

2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 42x －1＝p 222x －2p ，即x 2－p 222

x ＋2p ＝0，则Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2222

－8p ＝0，解得p ＝4.故选A.

【答案】 A

2．(2017·湖南长沙模拟，11)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( )

A ．1

B ．2＋15

5 C ．4＋155

D ．22＋1

【解析】 设F 2是双曲线C 的右焦点，因为|PF 1|－|PF 2|＝22，所以|PF 1|＋|PQ |＝22＋|PF 2|＋|PQ |，显然当F 2，P ，Q 三点共线且P 在F 2，Q 之间时，|PF 2|

＋|PQ |最小，且最小值为F 2到l 的距离．易知l 的方程为y ＝

x 2或y ＝－x

2

，F 2(3，0)，求得F 2到l 的距离为1，故|PF 1|＋|PQ |的最小值为22＋1.选D.

【答案】 D

3．已知椭圆x 24＋y 2

b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )

A ．1 B. 2 C.32

D. 3

【解析】 由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.

由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中通径最短，即2b 2

a ＝3，可求得

b 2＝3，即b ＝ 3.

【答案】 D

4．(2017·榆林模拟)若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是( )

A ．(1,2)

B ．(1,2]

C ．(1，5)

D ．(1，5]

【解析】 因为双曲线的渐近线为y ＝±

b a x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有b

a ≤3，即

b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，

c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1＜e ≤2.

【答案】 B

5．(2017·湖南长郡中学3月月考，8)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN |

|AB |的最大值为( )

A.33 B ．1 C.233

D ．2

【解析】 过A 、B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由题意知|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝1

2(|AF |＋|BF |)，在△AFB 中，|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |cos 120°＝|AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |.

∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN ||AB |2＝14·|AF |2＋|BF |2

＋2|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |

＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋

|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2

＋|AF ||BF | ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1|AF ||BF |＋|BF ||AF |＋1≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1 ＝1

3，当且仅当|AF |＝|BF |时取等号， ∴|MN ||AB |的最大值为33. 【答案】 A 二、填空题

6．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相交，则双曲线的离心率的取值范围是______．

【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆x 2－4x ＋y 2

＋2

＝0可化为(x －2)2＋y 2＝2，其圆心为(2,0)，半径为 2.

因为直线bx ±ay ＝0和圆(x －2)2＋y 2＝2相交，所以|2b |

a 2＋

b 2

＜2，整理得b 2

＜a 2，从而c 2－a 2＜a 2，即c 2＜2a 2，所以e 2＜2.

又e ＞1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，2)． 【答案】 (1，2)

7．(2017·河南安阳二模，15)已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫

32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，

则|MP |＋|MF |的最小值为________．

【解析】 将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫

32，1代入y 24＋x 2b 2＝1，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴

抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D 、M 、P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.

【答案】 2

8．(2017·课标全国Ⅰ，15)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．

【解析】 如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，

∴点A 到l 的距离d ＝

ab a 2

＋b

2

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