中考数学——锐角三角函数的综合压轴题专题复习含答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．

（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；

（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．

①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；

②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）

【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．

【解析】

试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于

AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；

（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得

∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得

sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．

试题解析：（1）AE=CE．理由：

连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，

∴AE=CE；

（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，

∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．

①当CF=CD 时，AD=DC=CF ，AF=3DC ，∴=DC•3DC=，∴AE=DC ，∵EC=AE ，

∴EC=

DC ，∴sin ∠CAB=sin ∠CED=

=

=；

②当CF=aCD （a ＞0）时，sin ∠CAB=．

∵CF=aCD ，AD=DC ，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD ，∴

=DC•（a+2）DC=（a+2），

∴AE=

DC ，∵EC=AE ，∴EC=

DC ，

∴sin ∠CAB=sin ∠CED=

=

．

考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．

2．如图，反比例函数() 0k y k x

=

≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点，点C 在第四象限，CA ∥y 轴，90ABC ∠=︒. (1)求k 的值及点B 的坐标； (2)求tanC 的值.

【答案】（1）2k =，()1,2B --；（2）2. 【解析】

【分析】（1）先根据点A 在直线y=2x 上，求得点A 的坐标，再根据点A 在反比例函数

()0k

y k x

=

≠ 的图象上，利用待定系数法求得k 的值，再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标；

（2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，根据90ABC ∠=︒ ， 90BHC ∠=︒ ，可得C ABH ∠∠=，再由已知可得AOD ABH ∠∠=，从而得C AOD ∠∠=，求出C

tan 即可.

【详解】（1）∵点A (1，a )在2y x =上， ∴a =2，∴

A (1，2)，

把A (1，2)代入 k

y x

= 得2k =， ∵反比例函数()0k

y k x

=

≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ，B 两点， ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称，

∴()1

2B --， ； （2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，

∵

90ABC ∠=︒ ， 90BHC ∠=︒ ，∴C ABH ∠∠=，

∵CA ∥y 轴，∴BH ∥x 轴，∴AOD ABH ∠∠=，∴C AOD ∠∠=，

∴AD 2

2OD 1

tanC tan AOD =∠=

==.

【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD 是关键.

3．如图，矩形OABC 中，A(6，0)、C(0，3、D(0，3)，射线l 过点D 且与x 轴平行，点P 、Q 分别是l 和x 轴的正半轴上的动点，满足∠PQO ＝60º．

(1)点B的坐标是，∠CAO＝ º，当点Q与点A重合时，点P的坐标

为；

(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

【答案】（1）（6，23）． 30．（3，33）（2）

()

()

()

()

2

43

x430x3

3

31333

x x3x5

S{

23

x1235x9

3

543

x9

+≤≤

-+-<≤

=

-+<≤

>

【解析】

解：（1）（6，23）． 30．（3，33）．

（2）当0≤x≤3时，

如图1，

OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；

由题意可知直线l∥BC∥OA，

可得

EF PE DC31

==

OQ PO DO3

33

==，∴EF=

1

3

（3+x），

此时重叠部分是梯形，其面积为：