最全正余弦定理题型归纳

正弦定理和余弦定理
一、题型归纳
<一>利用正余弦定理解三角形
【例1】在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c .
】
【例2】设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且32b +32c -32a 2b c .
(Ⅰ) 求sinA 的值； (Ⅱ)求2sin()sin()
44
1cos 2A B C A ππ
+++-的
值.
【练习1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π
4，tan A ＝2，
则sin A ＝________；a ＝________.
【练习2】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且
cos B
cos C
＝－b 2a ＋c
.
—
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
[
<二>利用正余弦定理判断三角形的形状
【例3】1、在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC
的形状．
2、在△ABC 中，在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，bcosA ＝a cosB ，则ABC ∆三角形的形状为__________________
3、在△ABC 中，在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若cosA
cosB
＝b a
， 则ABC ∆三角形的形状为___________________ *
【练习】1、在△ABC 中，2
cos 22A b c c
+=(,,a b c 分别为角,,A B C 的对边)，
则△ABC 的形状为( )
A 、正三角形
B 、直角三角形
C 、等腰三角形或直角三角形
D 、等腰直角三角形
2、已知关于x 的方程2
2
cos cos 2sin 02
C
x x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是（ ）
A 、直角三角形
B 、钝角三角形
C 、等腰三角形
D 、等边三角形
3、在△ABC 中，2222
()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则△ABC
的形状为__________
4、在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c
cos C ；则△ABC 是( )．
A ．直角三角形
B ．等边三角形 |
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
<三>正余弦定理与三角形的面积
【例4】△ABC 中，
,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边.如果c a b +=2，B ∠=30°，△ABC 的面积为2
3
，那么b =（ ）
A 、
B
、
B 、31+ C
、 D 、3
2+
【练习】已知ABC △
1
，且sin sin A B C +=． （1）求边AB 的长； （2）若ABC △的面积为1sin 6
C ，求角C 的度数．
-
【例5】设O 是锐角ABC ∆的外心，若
75=∠C ，且COA BOC AOB ∆∆∆，，的面积满足关系：COA BOC AOB S S S ∆∆∆=+3,求A ∠
{
【练习】已知O 是锐角三角形ABC 的外心，△BOC ，△COA ，△AOB 的面积满足关系：
COA BOC AOB S S S ∆∆∆=+2
（1）
（2）
推算tanAtanC 是否为定值？说明理由；
$
（2）求证：tanA ，tanB ，tanC 也满足关系：B
C A tan 2tan tan =+
<四>利用正余弦定理解决最值问题
【例6】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足()
222
4
3c b a S -+=
\
（1）求角C 的大小； （2）求sinA+sinB 的最大值．
【练习】1、已知锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且
2
223tan b c a ac
B -+=
；
()
1求B
∠；
()
2求函数
()sin 2sin cos f x x B x =+0,2x π⎛⎫
⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝
⎭
的最大值
；
2、设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且b c C a =+2
1
cos .
（1）求角A 的大小；
（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.
>
<五>正余弦定理与向量的运算
【例
7】已知向量1
(sin ,1),(3cos ,)2
a x
b x =-=-,函数
()()2f x a b a =+⋅-.
(1)求函数()f x 的最小正周期T ;
(2)已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边, 其中A 为锐
角,4a c ==,且()1f A =,求,A b 和ABC ∆的面积S .
】
【练习】1、在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．
（1）求证：tan 3tan B A =； （2）若cos 5
C =，求A 的值．
;
2、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos
25
A =，3A
B A
C ⋅=．
（I ）求ABC ∆的面积；
;
（II ）若1c =，求a 的值．
二、课后作业：
1、在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．
2、在△ABC 中，C B C B A sin sin 2sin sin sin 2
22++=，则A 等于（ ）
A 、60°
B 、45°
C 、120
D 、135°
3、若(c b a ++)(a c b —+)=bc 3，且C B A cos sin 2sin =, 那么ΔABC 是_____________.
4、在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC
cos A
的值等于______，AC 的取值范围为________
5、在ABC ∆中，若135
cos ,53sin ==B A ，则C cos 的值为_________ABC
∆的形状为_____
6、ABC ∆的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12
cos 13
A =。

(1)求A
B A
C ⋅。

(2)若1c b -=，求a 的值。