最全正余弦定理题型归纳

正弦定理和余弦定理

一、题型归纳

<一>利用正余弦定理解三角形

【例1】在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c .

】

【例2】设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且32b +32c -32a 2b c .

(Ⅰ) 求sinA 的值； (Ⅱ)求2sin()sin()

44

1cos 2A B C A ππ

+++-的

值.

【练习1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π

4，tan A ＝2，

则sin A ＝________；a ＝________.

【练习2】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且

cos B

cos C

＝－b 2a ＋c

.

—

(1)求角B 的大小；

(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．

[

<二>利用正余弦定理判断三角形的形状

【例3】1、在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC

的形状．

2、在△ABC 中，在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，bcosA ＝a cosB ，则ABC ∆三角形的形状为__________________

3、在△ABC 中，在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若cosA

cosB

＝b a

， 则ABC ∆三角形的形状为___________________ *

【练习】1、在△ABC 中，2

cos 22A b c c

+=(,,a b c 分别为角,,A B C 的对边)，

则△ABC 的形状为( )

A 、正三角形

B 、直角三角形

C 、等腰三角形或直角三角形

D 、等腰直角三角形

2、已知关于x 的方程2

2

cos cos 2sin 02

C

x x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是（ ）

A 、直角三角形

B 、钝角三角形

C 、等腰三角形

D 、等边三角形

3、在△ABC 中，2222

()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则△ABC

的形状为__________

4、在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c

cos C ；则△ABC 是( )．

A ．直角三角形

B ．等边三角形 |

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形

<三>正余弦定理与三角形的面积

【例4】△ABC 中，

,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边.如果c a b +=2，B ∠=30°，△ABC 的面积为2

3

，那么b =（ ）

A 、

B

、

B 、31+ C

、 D 、3

2+

【练习】已知ABC △

1

，且sin sin A B C +=． （1）求边AB 的长； （2）若ABC △的面积为1sin 6

C ，求角C 的度数．

-

【例5】设O 是锐角ABC ∆的外心，若

75=∠C ，且COA BOC AOB ∆∆∆，，的面积满足关系：COA BOC AOB S S S ∆∆∆=+3,求A ∠

{

【练习】已知O 是锐角三角形ABC 的外心，△BOC ，△COA ，△AOB 的面积满足关系：

COA BOC AOB S S S ∆∆∆=+2

（1）

（2）

推算tanAtanC 是否为定值？说明理由；

$

（2）求证：tanA ，tanB ，tanC 也满足关系：B

C A tan 2tan tan =+

<四>利用正余弦定理解决最值问题

【例6】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足()

222

4

3c b a S -+=

\

（1）求角C 的大小； （2）求sinA+sinB 的最大值．

【练习】1、已知锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且

2

223tan b c a ac

B -+=

；

()

1求B

∠；

()

2求函数

()sin 2sin cos f x x B x =+0,2x π⎛⎫

⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣

⎦⎝

⎭

的最大值

；

2、设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且b c C a =+2

1

cos .

（1）求角A 的大小；

（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.

>

<五>正余弦定理与向量的运算

【例

7】已知向量1

(sin ,1),(3cos ,)2

a x

b x =-=-,函数

()()2f x a b a =+⋅-.

(1)求函数()f x 的最小正周期T ;

(2)已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边, 其中A 为锐

角,4a c ==,且()1f A =,求,A b 和ABC ∆的面积S .

】

【练习】1、在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．

（1）求证：tan 3tan B A =； （2）若cos 5

C =，求A 的值．

;

2、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos

25

A =，3A

B A

C ⋅=．

（I ）求ABC ∆的面积；