第1章：线性规划总结
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x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
【例1-2】设某种动物每天需要摄入的蛋白质、矿物质、 维生素的最低量及A、B、C、D、E五种饲料每公斤营养 成分的含量及单位价格如下表所示。要求既满足该种动物 每天营养成分的需要量，又使总的费用最省。
A
B
C
D
E
每天最低摄入 量(克)
蛋白质(克)
3
2
1
6
18
700
矿物质(克)
(1) 目标函数
n
若目标函数为求极小，即为 min z c j x j j 1 令z’=-z n
则问题转化为求 max z 的极c j x大j 化问题 j 1
(2) 右端项 若约束条件右端项bi < 0，只需将约束条件两边
同乘(-1)
(3) 约束条件
若约束条件为“≤”不等式，需将约束条件左端加上 一个非负松弛变量；
, m)
x
j
0(或
0, 无约束)(
j
1,2,
, n)
✓ 向量表示
max( 或 min) z CX
s.t.
n j 1
Pj x j
(或
, )b
x j
0(或
0,无约束)( j
1,2,
, n)
其中，C (c1, c2 , , cn ) ，X (x1, x2 , , xn )T，Pj (a1 j , a2 j , , amj )，T
1
0.5
0.2
2
0.5
30
维生素(克)
0.5
1
0.2
2
0.8
100
价格(元/千克)
2
7
4
3
8
设 x为j 第j 种饲料的每天使用量，则：
目标函数： min z 2x1 7x2 4x3 3x4 8x5
3x1 2x2 x3 6x4 18x5 700
满足约束条件
x”≥0
【例1-3】将下述线性规划化为标准形式
min z x1 2x2 3x3
2x1 x2 x3 9 3x1 x2 2x3 4 4x1 2x2 3x3 6 x1 0, x2 0, x3取值无约束
解：令 z z, x1 x1, x3 x3 x3，则原问题的标准形式为
b (b1, b2 , , bm )T
✓ 矩阵表示 max( 或min) z CX
s.t.AX (或 , )b X 0(或 0,无约束)
a11 a12
其中，
A
a
21
a22
am1 am2
a1n
a2n
，称为约束方程的系数矩阵。
右端项为非负值
约束条件为线性等式
变量有非负约束
★ 将一般形式化为标准形式：
一般形式
标准形式
目标函数
可以求极大，可以求极小
求极大
右端项
可非负，可为负
非负
约束条件
可≥，可≤，可=
只能是等式
变量约束 可有非负约束、可有非正约束、可无约束 非负约束
转化为标准形式的步骤：
(1) 目标函数 (2) 右端项 (3) 约束条件 (4) 变量约束
x1
0.5x2
0.2x3
2x4
0.5x5
30
0.5x1 x2 0.2x3 2x4 0.8x5 100
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
二、线性规划问题数学模型的一般形式
目标函数为某一个线性函数的极大或极小值 约束条件可以为任意符号的线性不等式或线性等式 可以没有非负约束，甚至可以有非正约束
若约束条件为“≥”不等式，需将约束条件左端减去 一个非负剩余变量
松弛变量和剩余变量在实际问题中分别表示未被充分 利用和超出的资源量，二者均未转化为价值和利润， 所以引进模型后它们在目标函数中的系数均为0。
(4) 变量约束
若变量x < 0，令x’ = -x，则x’≥0； 若变量x取值无约束，可令x=x’-x”，其中x’≥0，
如何安排生产才 材料A（公斤） 3
能使企业利润最
材料B（公斤） 利润（元）
90
大？
乙
每天可用于产品生 产的资源量
1
16
2
36
5
65
70
设甲产品的生产量为x1,乙产品的生产量为x2，则：
数学模型： max z 90 x1 70 x2
x1 x2 16
s.t. 3x1 2x2 36 5x2 65
am1x1 am2 x2 amn xn (或 ,)bm
x1, x2 , , xn (或 )0,(或无约束)
③
✓ 简写
n
max( 或 min) z c j x j j 1
s.t.
n j 1
aij x j
(或
, )bi (i
1,2,
amn
Fra Baidu bibliotek
三、线性规划问题的标准形式
线性规划问题的标准形式：
目标函数：
n
max z c j x j j 1
约束条件：
n
aij x j bi (bi 0, i 1,2, , m)
j1
x
j
0(
j
1,2,
, n)
目标函数为某一个线性函数的极大值
max z x1 2x2 3x3 3x3 0x4 0x5 2x1 x2 x3 x3 x4 9 3x1 x2 2x3 2x3 x5 4 4x1 2x2 3x3 3x3 6 x1, x2 , x3 , x3, x4 , x5 0
线性规划数学模型的一般形式：
目标函数：max( 或 min) z c1x1 c2 x2 cn xn
①
约束条件：a11x1 a12 x2 a1n xn (或 ,)b1
a21x1 a22 x2 a2n xn (或 ,)b2
②
1947年，美国学者丹西格，提出线性规划问题的 单纯形法
后来，库曼和查恩斯，做出突出贡献
之后，线性规划在生产计划、运输、军事等许多 领域都得到了广泛的应用
第一节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的提出
【 例 1-1】 已 知
产品
某企业生产资料 资 源
甲
如右表所示，问 设备（台时） 1
第一章 线性规划
(Linear Programming)
线性目约规标束划问函 条题数 件及： ：其线 线数性 性学函 等模数 式型 或不等式
线性规划图解法 线性规划问题解的性质 单纯形法 单纯形法的其他问题讨论 线性规划应用举例 WinQSB软件应用
产生与发展
1939年，前苏联数学家康托洛维奇，《生产组织 与计划中的数学方法》，提出线性规划问题
【例1-2】设某种动物每天需要摄入的蛋白质、矿物质、 维生素的最低量及A、B、C、D、E五种饲料每公斤营养 成分的含量及单位价格如下表所示。要求既满足该种动物 每天营养成分的需要量，又使总的费用最省。
A
B
C
D
E
每天最低摄入 量(克)
蛋白质(克)
3
2
1
6
18
700
矿物质(克)
(1) 目标函数
n
若目标函数为求极小，即为 min z c j x j j 1 令z’=-z n
则问题转化为求 max z 的极c j x大j 化问题 j 1
(2) 右端项 若约束条件右端项bi < 0，只需将约束条件两边
同乘(-1)
(3) 约束条件
若约束条件为“≤”不等式，需将约束条件左端加上 一个非负松弛变量；
, m)
x
j
0(或
0, 无约束)(
j
1,2,
, n)
✓ 向量表示
max( 或 min) z CX
s.t.
n j 1
Pj x j
(或
, )b
x j
0(或
0,无约束)( j
1,2,
, n)
其中，C (c1, c2 , , cn ) ，X (x1, x2 , , xn )T，Pj (a1 j , a2 j , , amj )，T
1
0.5
0.2
2
0.5
30
维生素(克)
0.5
1
0.2
2
0.8
100
价格(元/千克)
2
7
4
3
8
设 x为j 第j 种饲料的每天使用量，则：
目标函数： min z 2x1 7x2 4x3 3x4 8x5
3x1 2x2 x3 6x4 18x5 700
满足约束条件
x”≥0
【例1-3】将下述线性规划化为标准形式
min z x1 2x2 3x3
2x1 x2 x3 9 3x1 x2 2x3 4 4x1 2x2 3x3 6 x1 0, x2 0, x3取值无约束
解：令 z z, x1 x1, x3 x3 x3，则原问题的标准形式为
b (b1, b2 , , bm )T
✓ 矩阵表示 max( 或min) z CX
s.t.AX (或 , )b X 0(或 0,无约束)
a11 a12
其中，
A
a
21
a22
am1 am2
a1n
a2n
，称为约束方程的系数矩阵。
右端项为非负值
约束条件为线性等式
变量有非负约束
★ 将一般形式化为标准形式：
一般形式
标准形式
目标函数
可以求极大，可以求极小
求极大
右端项
可非负，可为负
非负
约束条件
可≥，可≤，可=
只能是等式
变量约束 可有非负约束、可有非正约束、可无约束 非负约束
转化为标准形式的步骤：
(1) 目标函数 (2) 右端项 (3) 约束条件 (4) 变量约束
x1
0.5x2
0.2x3
2x4
0.5x5
30
0.5x1 x2 0.2x3 2x4 0.8x5 100
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
二、线性规划问题数学模型的一般形式
目标函数为某一个线性函数的极大或极小值 约束条件可以为任意符号的线性不等式或线性等式 可以没有非负约束，甚至可以有非正约束
若约束条件为“≥”不等式，需将约束条件左端减去 一个非负剩余变量
松弛变量和剩余变量在实际问题中分别表示未被充分 利用和超出的资源量，二者均未转化为价值和利润， 所以引进模型后它们在目标函数中的系数均为0。
(4) 变量约束
若变量x < 0，令x’ = -x，则x’≥0； 若变量x取值无约束，可令x=x’-x”，其中x’≥0，
如何安排生产才 材料A（公斤） 3
能使企业利润最
材料B（公斤） 利润（元）
90
大？
乙
每天可用于产品生 产的资源量
1
16
2
36
5
65
70
设甲产品的生产量为x1,乙产品的生产量为x2，则：
数学模型： max z 90 x1 70 x2
x1 x2 16
s.t. 3x1 2x2 36 5x2 65
am1x1 am2 x2 amn xn (或 ,)bm
x1, x2 , , xn (或 )0,(或无约束)
③
✓ 简写
n
max( 或 min) z c j x j j 1
s.t.
n j 1
aij x j
(或
, )bi (i
1,2,
amn
Fra Baidu bibliotek
三、线性规划问题的标准形式
线性规划问题的标准形式：
目标函数：
n
max z c j x j j 1
约束条件：
n
aij x j bi (bi 0, i 1,2, , m)
j1
x
j
0(
j
1,2,
, n)
目标函数为某一个线性函数的极大值
max z x1 2x2 3x3 3x3 0x4 0x5 2x1 x2 x3 x3 x4 9 3x1 x2 2x3 2x3 x5 4 4x1 2x2 3x3 3x3 6 x1, x2 , x3 , x3, x4 , x5 0
线性规划数学模型的一般形式：
目标函数：max( 或 min) z c1x1 c2 x2 cn xn
①
约束条件：a11x1 a12 x2 a1n xn (或 ,)b1
a21x1 a22 x2 a2n xn (或 ,)b2
②
1947年，美国学者丹西格，提出线性规划问题的 单纯形法
后来，库曼和查恩斯，做出突出贡献
之后，线性规划在生产计划、运输、军事等许多 领域都得到了广泛的应用
第一节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的提出
【 例 1-1】 已 知
产品
某企业生产资料 资 源
甲
如右表所示，问 设备（台时） 1
第一章 线性规划
(Linear Programming)
线性目约规标束划问函 条题数 件及： ：其线 线数性 性学函 等模数 式型 或不等式
线性规划图解法 线性规划问题解的性质 单纯形法 单纯形法的其他问题讨论 线性规划应用举例 WinQSB软件应用
产生与发展
1939年，前苏联数学家康托洛维奇，《生产组织 与计划中的数学方法》，提出线性规划问题