【二轮复习材料】概率问题中的递推数列
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概率问题中的递推数列
一、a n =p ·a n -1+q 型
【例1】
某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪动,已知开
关第一次闭合后,出现红灯和绿灯的概率都是1
2,从开关第二次闭合起,若前次出现红灯,则下次出现红灯的概率是1
3,出现绿灯的概率是23;若前次出现绿灯,则下次出现红灯的概率是3
5,出现绿灯的概率是2
5,记开关第n 次闭合后出现红灯的概率为P n 。
(1)求:P 2;
(2)求证:P n <1
2 (n ≥2) ; (3)求lim n
n P
。
解析:(1)第二次闭合后出现红灯的概率P 2的大小决定于两个互斥事件:即第一次红灯后第二次又是红灯;第一次绿灯后第二
次才是红灯。于是P 2=P 1·13+(1-P 1)·35=7
15
。 (2)受(1)的启发,研究开关第N 次闭合后出现红灯的概率P n ,要考虑第n -1次闭合后出现绿灯的情况,有
P n =P n -1·13+(1-P n -1)·35=-415P n -1+3
5
, 再利用待定系数法:令P n +x =-415(P n -1+x )整理可得x =-919 ∴{P n -919}为首项为(P 1-919)、公比为(-4
15)的等比数列 P n -919=(P 1-919)(-415)n -1=138(-415)n -1,P n =919+138(-415)n -1
∴当n ≥2时,P n <919+138=1
2 (3)由(2)得lim n
n P
=9
19。
【例2】
A 、
B 两人拿两颗骰子做抛掷游戏,规则如下:若掷出的点
数之和为3的倍数时,则由原掷骰子的人继续掷;若掷出的点数不是3的倍数时,由对方接着掷.第一次由A 开始掷.设第n 次由A
掷的概率为P n ,
(1)求P n ;⑵求前4次抛掷中甲恰好掷3次的概率. 解析:第n 次由A 掷有两种情况:
① 第n -1次由A 掷,第n 次继续由A 掷,此时概率为12
36P n
-1
;
② 第n -1次由B 掷,第n 次由A 掷,此时概率为(1-12
36)(1
-P n -1)。
∵两种情形是互斥的
∴P n =1236P n -1+(1-1236)(1-P n -1)(n ≥2),即P n =-13P n -1+2
3(n ≥2) ∴P n -12=-13(P n -1-1
2),(n ≥2),又P 1=1
∴{P n -12}是以12为首项,-1
3为公比的等比数列。 ∴P n -12=12(-13)n -1,即P n =12+12(-13)n -1
。
⑵2881。
二、a n +1=p ·a n +f (n )型
【例3】
(传球问题)A 、B 、C 、D 4人互相传球,由A 开始发球,
并作为第一次传球,经过5次传球后,球仍回到A 手中,则不同的传球方式有多少种?若有n 个人相互传球k 次后又回到发球人A 手中的不同传球方式有多少种?
分析:这类问题人数、次数较少时常用树形图法求解,直观形象,但若人数、次数较多时树形图法则力不从心,而建立递推数列模型则可深入问题本质。
4人传球时,传球k 次共有3k 种传法。设第k 次将球传给A 的方法数共有a k (k ∈N *)种传法,则不传给A 的有3k -a k 种,故a 1=0,且不传给A 的下次均可传给A ,即
a k +1=3k
-a k 。两边同除以3
k +1
得a k +13k +1=-13·a k 3k +1
3
, 令b k =a k
3k ,则b 1=0,b k +1-14=-13(b k -14),则b k -14=-14(-13)k -1
∴a k =3k 4+3
4(-1)k 当k =5时,a 5=60.
当人数为n 时,分别用n -1,n 取代3,4时,可得a k =(n -1)k
n +n -1
n (-1)k 。
【例4】
(环形区域染色问题)将一个圆环分成n (n ∈N *,
n ≥3)个区域,用m (m ≥3)种颜色给这n 个区域染色,要求
相邻区域不使用同一种颜色,但同一颜色可重复使用,则不同的染色方案有多少种?
分析:设a n 表示n 个区域染色的方案数,则1区有m 种染法,2区有m -1种染法,3,……,n -1,n 区各有m -1种染色方法,依乘法原理共有m (m -1)
n -1
种染法,但是,这些染中包含了n 区
可能和1区染上相同的颜色。而n 区与1区相同时,就是n -1个区域涂上m 种颜色合乎条件的方法。
∴a n =m (m -1)
n -1
-a n -1,且a 3=m (m -1)(m -2)
1
2 3
n
n -1
……
a n -(m -1)n =-[a n -1-(m -1)
n -1
]
a n -(m -1)n
=[a 3-(m -1)3
](-1)
n -3
∴a n =(m -1)n +(m -1)(-1)n (n ≥3)
用这个结论解:2003年高考江苏卷:某城市在中
心广场建一个花圃,花圃分为6个部分如图,现要栽种4种不同颜色的花且相邻部分不能同色,由不同的栽种方法有 种。
只需将图变形为圆环形,1区有4种栽法。不同的栽法数为 N =4a 5=120。 三、a n +1=a n ·f (n )型
【例5】
(结草成环问题)现有n (n ∈N *)根草,共有2n 个草头,现
将2n 个草头平均分成n 组,每两个草头打结,求打结后所有草能构成一个圆环的打结方法数。
分析:将2n 个草头平均分成n 组,每两个草头打结,
要使其恰好构成圆环,不同的连接方法总数m 2=a n 。
1 2
3
4
5
6
1 2 3
4
5
6
4 ……
6 2n -1
2n