逆矩阵的几种求法与解析
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逆矩阵的几种求法与解析
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逆矩阵的几种求法与解析
矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法．
1．利用定义求逆矩阵
定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA ＝ Ｅ, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.
例1 求证: 如果方阵A 满足A K = 0, 那么Ｅ-A 是可逆矩阵, 且
（E-A ）1-= E + Ａ + A 2+…+Ａ1-K
证明 因为E 与A 可以交换， 所以
（E － A ）（Ｅ+A ＋ A 2＋…＋ Ａ1-K )＝ E-A K ,
因ＡK = 0 ,于是得
（E-Ａ）(Ｅ+A+A 2＋…＋Ａ1-K ）＝Ｅ， 同理可得（E + A + Ａ2+…+A 1-K )(E －A)=Ｅ,
因此E-A 是可逆矩阵，且
(E-Ａ)1-＝ E ＋ A + A 2＋…+A 1-K .
同理可以证明（E ＋ A ）也可逆，且
(E+ A ）1-＝ E -A + A 2＋…+（-1)1-K Ａ1-K ．
由此可知, 只要满足A K ＝０，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.
例2 设 A ＝⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡0000
30000020
0010
,求 E －A 的逆矩阵.
分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例２ 的方法求E-A 的逆矩阵.
解 容易验证
Ａ2
=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡00000000
00006000
， A 4=0
而 (E-A)（E+A+ A 2+ A 3）=Ｅ，所以
(E-A)1-＝ Ｅ+A+ A 2+ A 3=
⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000
31006210
6211.
2.初等变换法
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵,常用初等变换法.如果A 可逆,则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使
(1）s p p p 21A=I,用A 1-右乘上式两端,得：
（２) s p p p 21I ＝ A 1-
比较（1)（２)两式,可以看到当Ａ通过初等变换化为单位矩阵的同时,对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵Ａ1-.
用矩阵表示(A Ｉ)−−−
→−初等行变换
为（Ｉ Ａ1-），就是求逆矩阵的初等行变换法,它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是,在作初等变换时只允许作行初等变换．同样,只用列初等变换也可以求逆矩阵．
例1 求矩阵A 的逆矩阵．已知A ＝⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡521310132.
解 ［A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521
→
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/11000103101005
21→
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32
/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下,也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为０，则意味着A 不可逆,因为此时表明
A =0，则Ａ1-不存在.
例2 求A ＝⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡987654321.
解 [A Ｅ]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------107126001463000132
1
→ ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----12100001463000132
1． 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.
３．伴随阵法
定理 n 阶矩阵A ＝[ａij ]为可逆的充分必要条件是Ａ非奇异．且
Ａ1
-=
A 1⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n
n
n n A A A A A A A A A (212221212111)
其中A ij 是A 中元素ａij 的代数余子式．
矩阵⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n
n
n n A A A A A A
A A A (2122212)
12111称为矩阵A 的伴随矩阵,记作A *
,于是有Ａ1-＝A 1 Ａ
＊
.