2021届上海市虹口区高三一模数学Word版(附简析)

上海市虹口区2021届高三一模数学试卷

2020.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 已知集合{|30,}A x x x =+>∈R ，2{|280,}B x x x x =+-<∈R ，则A

B = 2. 方程2220x x ++=的根是

3. 行列式sin sin cos cos sin cos αααααα

-+的值等于 4. 函数2()log (24)f x x =+的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=

5. 从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到 的概率为 （用数字作答）

6. 在8(21)x +的二项式展开式中，2x 项的系数是

7. 计算：|423|lim 2n n n

→∞-= 8. 过抛物线22y px =（0p >）的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A 、B 两点，且||4AB =，则p =

9. 已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=

10. 设1F 、2F 分别是双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线右 支上且满足212||||PF F F =，双曲线的渐近线方程为430x y ±=，则12cos PF F ∠=

11. 若a 、b 分别是正数p 、q 的算术平均数和几何平均数，且a 、b 、2-这三个数可适当 排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q pq ++的值形成的集合是

12. 已知数列{}n a 满足12a =-，且32

n n S a n =+（其中n S 为数列{}n a 前n 项和），()f x 是 定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，则2021()f a =

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 若a b >，则下列各式中恒正的是（ ）

A. lg()a b -

B. 33a b -

C. 0.50.5a b -

D. ||||a b -

14. 在△ABC 中，若2

0AB BC AB ⋅+=，则△ABC 的形状一定是（ ）

A. 等边三角形

B. 直角三角形

C. 等腰三角形

D. 等腰直角三角形

15. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>）的图像与直线y b =（0b A <<）的三个相邻交点的横坐标依次是1、2、4，下列区间是函数()f x 单调递增区间的是（ ）

A. [0,3]

B. 3[,3]2

C. [3,6]

D. 9[3,]2

16. 在空间，已知直线l 及不在l 上两个不重合的点A 、B ，过直线l 做平面α，使得点A 、B 到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 无数个

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图在三棱锥P ABC -中，棱AB 、AC 、AP 两两垂直，3AB AC AP ===，点M 在AP 上，且1AM =.

（1）求异面直线BM 和PC 所成的角的大小；

（2）求三棱锥P BMC -的体积.

18. 已知函数22()(1)(1)(1)f x a x a x a =++-+-，其中a ∈R .

（1）当()f x 是奇函数时，求实数a 的值；

（2）当函数()f x 在[2,)+∞上单调递增时，求实数a 的取值范围.

19. 如图所示，A 、B 两处各有一个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16km 处，AB 的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面P 处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km ）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得A 、B 两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨.

（1）当15AP km =时，求APB ∠的值；

（2）发电厂尽量远离居民区，要求△PAB 的面积最大，

问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？

20. 已知点(1,0)A -、(1,0)B ，直线:0l ax by c ++=（其中,,a b c ∈R ），点P 在直线l 上.

（1）若a 、b 、c 是常数列，求||PB 的最小值；

（2）若a 、b 、c 是成等差数列，且PA l ⊥，求||PB 的最大值；

（3）若a 、b 、c 是成等比数列，且PA l ⊥，求||PB 的取值范围.

21. 设x 是实数，n 是整数，若1||2

x n -<，则称n 是数轴上与x 最接近的整数. （1）数列{}n a 的通项为n a ，且对任意的正整数n ，n 是数轴上与n a 最接近的整数，写出一个满足条件的数列{}n a 的前三项；

（2）数列{}n a 的通项公式为n a n =，其前n 项和为n S ，求证：整数n a 是数轴上与实数 2n S 最接近的整数；

（3）n T 是首项为2，公比为

23

的等比数列的前n 项和，n d 是数轴上与n T 最接近的正整数， 求122020d d d ++⋅⋅⋅+.

参考答案

一. 填空题

1. (3,2)-

2. 1i -±

3. 1

4. 6

5. 16

6. 112

7. 2

8. 2

9.

10. 45 11. {9} 12. 0

二. 选择题

13. B 14. B 15. D 16. C

三. 解答题

17.（1）；（2）3. 18.（1）1a =-；（2）35a ≥-.

19.（1）5arccos 27

；（2）max 120S =，PA =，PB =

20.（1；（2）P 的轨迹22(1)2x y ++=，最大值3）(1,)+∞.

21.（1）1、2、3，n a n =；（2）略；（3）26[1()]3n n T =-，12108.