经验正交函数分解(EOF)

图1b 1976 年是个明显的转折点, 在这之前累积曲线基本上呈 上升趋势, 海温以正距平主, 这之后累积曲线呈下降趋势, 海温以负距平为主。19511975 年平均海温距平为12℃, 而1977- 1993 年平均海温距 平为-128℃。这就是说西风 漂流区年平均海温从19511975 年至1977- 1993 年下降 了0148℃。 图1c 1981 年是个明显的转折点, 在这之前累积曲线呈下降趋 势, 海温以负距平为主, 这之 后累积曲线呈上升趋势, 海温 以正距平为主。1951- 1980 年平均海温距平为0.08℃, 1982- 1993 年为0.21℃, 赤道 太平洋年平均海温1981 年后 比1981 年前增加了 b 西风漂流区的年平均海温距平(实线) 和累积曲线(虚线) ;
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0 v v j = ∑ v ki v kj = k =1 1
T i p
i≠ j i= j
i≠ j i= j
性 质
ZiZ
T j
=
∑z
t =1
n
it
z jt
0 = λ i
i , j = 1,2 ,L , m
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三、分解方法
XX
T
= VZZ V
T
T
A = XX
V AV = Λ
T
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T
A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原 理，一定有 或者
k =1 p
i = 1, 2 , L , m t = 1 , 2 , L , n
k = 1, 2 , L , p
含义：场中第i个格点上的第t次观测值，可以 看作是p个空间函数 v ik 和时间函数 z ki 的线性组 合。
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气象统计预报
李丽平 南京信息工程大学 2010年12月
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第八章 气象场的自然正交展开
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一、引 言 经验正交函数（ EOF）方法最早由统计 学 家 pearson 在 1902 年 提 出 ， 由 Lorenz[1] （1956）引入气象问题分析中。该方法以场 的时间序列为分析对象，对计算条件要求甚 高，故直到20世纪60年代后期才在实际工作 中 得 到 广 泛 应 用 （ Craddock ， 1969[2] ； Kutzback，1970[3]；Kidson，1975[4]）。
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4 ） 将 特征值 作非升序排 列 （通常使用 沉浮法），并对特征向量序数作相应变动； 5）根据 λ h ,h=1~H和X总方差，求出全 部 ρ 、 Ph , h=1~H； 6 ） 由 X 及主 要 Vh 求 其时间系数 Z h 、 h=1~H，主要的数量由分析目的及分析对象 定； 7）输出主要计算结果。
三类雨型： 北方的黄河流域地区 黄河和长江之间 长江流域及以南
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热带太平洋海表面温度异常的EOF分解第一、第二 模态（21.9%，5.5%）
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或者
x t = v 1 z1t + v 2 z 2 t + L + v m z mt
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上式表明，第t个场可以表示为m个空 间典型场，按照不同的权重线性叠加而成。 V的每一列表示一个空间典型场，由于这个 场由实际资料确定，故又叫经验正交函数。 上述分解要求满足下列两个条件：
ˆ= V . Z X≈X m p p n
ˆ X
是拟合场.
可 λi Q = ∑ ∑ ( xit − x
2 i =1 t =1 i =1 i =1
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m
n
m
p
五、重要参数 第i个特征向量对X场的贡献率
A = VΛV
T
V的列就是A的特征向量，Λ 是A的 特征值组成的对角矩阵。
Z =V X
T
z it =
∑
m
k =1
v ki x kt
Z就是时间系数矩阵，z it 第i个格点上的 第t 个时间系数。
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四、误差估计和计算
中国160气象标准站
夏季降水异常EOF 分解的第一模 态，方差贡献为 15.5%
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夏季降水异常的第二、第三模态（13.5%，6.8%）
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近30年来，出现了适合于各种分析目的的EOF 分析方法，如扩展EOF（EEOF）方法，旋转EOF （REOF）方法，风场EOF（EOFW）方法，复变量 EOF（CEOF）方法。 EOF方法不但用于观测资料的分析，还用于 GCM资料的分析和数值模式的设计。现在，EOF方 法已作为一种基本的分析手段频繁地出现在大气 科学研究的文献中。
其中，
v11 v 21 V = v m1 v12 v 22 ⋅⋅⋅ vm2
z11 ⋅ ⋅ ⋅ v1m ⋅ ⋅ ⋅ v2m z 21 Z = ⋅⋅⋅ z ⋅ ⋅ ⋅ v mm m1
T
z12 z 22 ⋅⋅⋅ zm2
⋅⋅⋅
z1n ⋅ ⋅ ⋅ z 2n ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ z mn
1n
m是空间点，n是时间序列长度。
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气象场的自然正交展开，是将X分解为时间函 数Z和空间函数V两部分,即
X = VZ
或者
xit = ∑ vik z kt = vi1 z 1t +vi 2 z 2t + L + vip z pt
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二、EOF分析方法原理 将某气候变量场的观测资料以矩阵形 式给出 x x ⋅⋅⋅ x
11 x21 X = x m1
12
x22 ⋅⋅⋅ xm 2
⋅ ⋅ ⋅ x2 n ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xmn
h
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H是非0特征值总个数，对实际问题
min(m, n) H = min(m - 1, n)
, X为非中心化序列 , X为中心化序列
需 要 强调 的是，第1）步很重要。在大多 数情况下，EOF分析对原观测场时间序列、距 平场时间序列和标准化距平场时间序列进行。 选择何种形态作分析取决于分析目的和分析对 象。
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八、时空转换问题 当 m >> n 时，先求出 X T X 的特征值， 然后求
XX
T
的特征向量，这种方法叫时空转换。
令 X T X 的特征值为 λ i ，其特征向量 为 u ， XX T 的特征值也为 λ i ，其
ρi = λ i
∑λ
i =1
m
m
i
前p个特征向量对X场的贡献率
Ρi = ∑ λ i
i =1 p
i
∑λ
i =1
i
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六、计算步骤
1）根据分析目的，确定X的具体形态(距平 或者标准化距平)； 2）由X求协方差矩阵 A = XX T ； 3）求A的全部特征值 λ h 、特征向量 V h ， h=1~H（通常使用Jacobi法）；
i
特征向量为
vi
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vi = Xu i
λi
V = v1 , v 2 ,L , v m
Z =V X
T
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EOF分析实例
v j = (v1 j , v2 j ,L, vmj )
是第j个典型场，只是空间的函数。
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第t个空间场可表示为
x1t v11 v12 v1m x v v 2t = 21 z + 22 z + L + v 2 m z M M 1t M 2t M mt v m 2 x mt v m1 v mm
c 赤道太平洋区年平均海温距平(实线) 和累积曲线(虚线).
0.29℃
。
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七、经验正交函数的物理意义 特征向量以及时间系数的分析。 vv第一特征向量（第一空间典型场）是与n 张X图平均最相似的，或者说具有与所要展开的 资料矩阵的n个样本最相似的特征。比如：若原 始资料矩阵是7月份50年实测将水场（非距平 场），则第一特征向量就可以解释为这50年的 平均场，其相应的时间系数基本对应我国大尺 度旱涝年。但当降水场由距平组成，第一特征 向量就解释为与50年夏季距平场最相似的特征 场，它指出了我国夏季经常出现的大尺度涝区 和旱区。