经验正交函数分解(EOF)
基于EOF和REOF分析江淮梅雨量的时空分布
基于EOF 和REOF 分析江淮梅雨量的时空分布周后福1, 陈晓红2(1.安徽省气象科学研究所,安徽合肥 230031;2.安徽省气象台,安徽合肥 230031)摘 要:基于江淮梅雨区域50个气象台站1960-2002年的梅雨量资料,利用EOF 、REOF 展开方法,分析了江淮梅雨降水的空间分布及时间演变特征.EOF 展开方法表明江淮梅雨前三个特征向量累积方差贡献比例为88.9%,其主要特征是三个特征向量场呈现纬向带状分布;第一特征向量场空间分布均为正值,说明江淮梅雨量的干湿变化具有一致性,但是各特征向量场之间的特点相差明显.REOF 展开方法表明可以把江淮梅雨划分为6个典型的梅雨量场;后一个时间系数序列的变化幅度比前一个时间序列要小;主成分旋转后载荷要比旋转前分布均匀得多;第一时间系数的变化等同于各站平均梅雨量变化.关键词:EOF 分析;REOF 分析;梅雨降水;时空分布中图分类号:P468 文献标识码:A 文章编号:1001-2443(2006)01-0079-04 梅雨是长江中下游地区的气候特色之一,也是我国乃至东亚地区重要的降水现象.梅雨的形成及其强弱与副热带高压、青藏高压、东亚季风以及西风带长波等大尺度天气系统的活动密切相关.由于每年这些大尺度天气系统的强度、进退迟早和速度快慢等都不一样,梅雨锋系的大小和维持时间的不同,致使历年梅雨到来的迟早、长短和雨量的多寡差异很大,直接导致这一地区干旱或洪涝的形成.因此梅雨形成的研究一直受到气象工作者的重视,进行过许多方面的探讨[1-2]. 安徽省处在北亚热带和暖温带过渡地区,气候变化复杂,每年的降水大多集中在梅雨期,汛期降水更是集中在梅雨过程,因此对梅雨现象进行重点深入探讨,有助于把握汛期降水的主要特性,对于安徽防汛抗旱有指导意义.尽管梅雨时间和空间分布的规律作过不少研究,但是多从气候统计学角度来进行,例如应用平均值、方差、趋势等分析手段.本文主要利用两种EOF 分析方法,探究江淮梅雨的时间演变现象,重点地分析空间分布规律,给出江淮梅雨的分布型,为江淮梅雨的分区预测提供依据.1 资料来源和分析方法1.1 梅雨资料 安徽的梅雨主要发生在淮河一线以南地区,因此本文研究范围为淮河以南.利用安徽省淮河以南地区、资料年代较长的50个气象站1960-2002年逐日降水资料,以及温度资料和东亚大气环流形势,根据作者综合许多气象学者成果的基础上在文献[3]提出的梅雨划分标准,划定江淮之间、沿江江南地区和安徽省逐年入梅日、出梅日和梅雨期,据此得到淮河以南各气象站的梅雨量.1.2 分析方法简介 EOF 分析也称经验正交函数分解,它可以针对气象要素来进行.其基本原理是对包含p 个空间点(变量)的场随时间变化进行分解.设样本容量为n 的资料,则场中任一空间点i 和任一时间点j 的资料值(x ij )m n 可看成由p 个空间函数ik 和时间函数t kj (k =1,2,…,p )的线性组合,具体的展开形式见文献[4,5]. 旋转主成分分析(REOF )是在传统主成分分析(EOF )的基础上再做旋转.本文采用Horel 使用的方差最大正交旋转法,也是气候分析和诊断经常使用的方差最大正交旋转法.其基本原理在文献[4]中有详细的叙述,这里不再赘述.本文取前7个载荷向量及其对应的主成分参加旋转.REOF 分析不仅可以很好地反映不收稿日期:2005-01-28基金项目:安徽省气象科技基金(0307).作者简介:周后福(1965-),男,安徽无为人,硕士,高级工程师,主要从事气候分析和天气预报研究.第29卷1期2006年2月 安徽师范大学学报(自然科学版)Journal of Anhui Normal University (Natural Science )Vol.29No.1Feb .2006同地域的变化,而且可以反映不同地域的相关分布状况[6].2 空间变化特征2.1 EOF分析 通过对1960-2002年逐年江淮梅雨量资料采取标准化处理之后,再进行EOF分析,得到各个主成分,前7个主成分的主要结果见表1.由表1可知,第一主成分的方差贡献最大,第二主成分的方差贡献迅速降低,后面几个主成分方差贡献已经很小;解释方差也有同样的现象.前3个主成分的方差贡献几乎占90%,因而给出前3个主成分所对应的特征场,见图1.它反映出江淮梅雨量异常的几种主要的大范围空间分布特征.图la给出了江淮梅雨量第一特征场,全区一致为正,说明江淮梅雨量的干湿变化是一致的,具体是指某年淮河以南梅雨量或者普遍偏干,或者普遍偏湿,它显然是受大尺度梅雨锋系影响的缘故.但是在各地变化情况有这样的现象:0.155等值线呈现环状结构,主要在沿江中部,向南和向北逐步减少;总的来看,大致呈现南北向纬度地带性分布.载荷量大值区主要位于沿江地区,说明此地是江淮梅雨量变率最大的地区,也是旱涝异常的敏感区,由表1可知这种空间异常类型占整体方差的69.2%.由图1b可以看出,第二特征场则与第一特征场有着很大的差异,其分布有着南北反向变化的结构特点.正值中心位于皖南南部地区,而负值中心则位于沿淮地区,说明江淮梅雨量呈现南干北湿或南湿北干的格局特征,即南北差异是江淮梅雨量的第二空间异常类型.出现这种情况的原因是,随着每年6月以后西太平洋副热带高压北跳的不同,雨带长期维持在江南,则江淮地区雨量少;雨带长期维持在江淮地区,则江南雨量少.从第三特征场(图1c)可以看出合肥、巢湖地区、宣州部分地区的梅雨量表现出与周围地区相反的特征.这可能是因为这些地区多处在丘陵地区,在某些年份受副高控制晴热少雨,梅雨量偏少.表1 前7个E OF和RE OF分析对总方差的贡献和累积贡献T able1 contribution and accumulated contribution of front7E OF and RE OF with total squ are error序号EOF解释方差方差贡献/%累积方差贡献/%REOF方差贡献/%累积方差贡献/%11487.969.269.216.216.22348.916.285.415.631.8374.6 3.588.915.046.8447.3 2.291.113.360.1528.8 1.392.412.372.4621.4 1.293.612.284.6715.0 1.094.610.094.62.2 REOF分析 通过EOF展开方法的讨论可以看出,江淮梅雨量的降水空间格局既有全区一致的少雨或多雨现象,也存在区域内部南北的差异,但是其主要特点依然为纬向分布型,不能更为精细地描述不同地理区域的特征,因此在EOF分析的基础上,再进一步做最大正交方差旋转,进行REOF展开,可以得出非常细微的地理分区.由表1可以看出,前7个主成分的累积方差达到了94.6%,可以用此来代表原始的向量场.对前7个主成分进行方差最大旋转,并由前6个旋转载荷向量对江淮梅雨量进行分区.由表1可知旋转后载荷的贡献要比旋转前分布均匀.这是因为旋转后各主成分的意义着重表现空间的相关性分布特征,高载荷只集中在某一较小的区域,而使其它大部区域的载荷尽可能地接近0. 对REOF展开结果所绘出的图(略去)分别进行分析.第1旋转载荷向量场的高载荷区主要在大别山北部.这一地区是江淮丘陵区,对降水极其敏感,也是安徽少雨区.第2旋转载荷向量场的高载荷区主要位于宣郎广一带,以丘陵为主.第3旋转载荷向量场的高载荷区主要分布在本区东北,丘陵和河流较多.第4旋转载荷向量场的高载荷区大体分布在本区西北,以平原地貌为主,是安徽旱涝多发区.第5旋转载荷向量场的高载荷区多分布在江南南部,以山地地貌为主,是安徽降水最多的区域.第6旋转载荷向量场的高载荷区则主要分布在沿江西部,河流和平原地貌为主.按载荷绝对值>0.5的高载荷分布区域来考虑,梅雨量在淮河以南大致可分大别山、沿淮北部、东北部、沿江、江南西部和宣郎广6个区域(见图2).08安徽师范大学学报(自然科学版)2006年图1 EOF 第1-3特征向量场(a :第1,b :第2,c :第3)Fig.1 the first ,second and third eigenvector fields (a :first ,b :second ,c :third )图2 分区示意图Fig.2 the type sketch figure 由上面REOF 分析得出的江淮梅雨量分区较为清楚地反映出地理位置和地形对梅雨降水的影响,而且据此可以分为6个区域,这种江淮梅雨量异常分区与江淮梅雨分布存在着某种程度上的重合.因此在分析和研究江淮梅雨量及其异常变化时,须重点考察上述6个类型区域的梅雨气候及其预测.3 时间变化特征 EOF 分析能够反映江淮梅雨量随时间的变化规律.从前10个时间系数可以判断出,第一时间系数的变化幅度最大,介于27—18之间;第二时间系数变化幅度次之,介于210—8之间;第三时间系数变化幅度再次之,介于23—4之间;后面的每一个时间系数序列的变化幅度比前一个时间序列要小.这里仅给出前4个时间系数所对应的曲线.图3为1960—2002年江淮梅雨量EOF 展开的时间系数变化,其中图3a 为第一时间系数和第二时间系数的变化曲线,分别以T1和T2表示;图4b 为第三时间系数和第四时间系数的变化曲线,分别以T3和T4表示. 由图3a 并与50个气象站梅雨的逐年平均值(曲线略)比较可知,第一时间系数的变化等同于各站平均梅雨量变化,第一时间系数越大,该年的平均梅雨量越大;第一时间系数越小,该年的平均梅雨量越小.1969年、1983年、1991年、1996年、1999年等年份的第一时间系数为极大值,分别是9.90、9.90、15.62、17.90和14.36,同时期的平均梅雨量分别为553mm 、559mm 、699mm 、805mm 、698mm ;多年平均50站的梅雨量是273mm ,可见以上各年梅雨量大约是平均值的2—3倍. 由图3a 和图3b 可以看出第二、第三、第四时间系数都有明显的逐年变化现象,有年际变化特征.第二时间系数正值越大,其所对应年份的梅雨量越接近于EOF 展开第二特征场的分布,即北少南多的梅雨;第二时1829卷第1期 周后福,陈晓红: 基于EOF 和REOF 分析江淮梅雨量的时空分布间系数负值越大,其所对应年份的梅雨量越接近于EOF 展开第二特征场的反向分布,即北多南少的梅雨.第三、第四时间系数值的变化,也有类似情况.图3 1960-2002年江淮梅雨量EOF 展开的时间系数变化(a :第1和第2,b :第3和第4)Fig.3 time coefficient variation of EOF on Jianghuai Meiyu precipitation (a :first and second ,b :third and fourth )4 结 语 基于安徽淮河以南地区50个气象站1960-2002年的梅雨量资料,利用EOF 、REOF 两种展开方法,分析了江淮梅雨量的空间分布及时间演变特征,重点在于空间地理分布.EOF 分析方法表明江淮梅雨前三个特征向量累积方差贡献比例高达88.9%,主要空间特征是三个特征向量场呈现纬向带状分布;第一特征向量场空间分布均为正值,说明江淮梅雨量的干湿变化具有极好一致性,但是各特征向量场之间的特点相差明显.REOF 分析方法表明江淮梅雨量场可以被分为6个主要的类型;主成分旋转后载荷要比旋转前分布均匀得多;后一个时间系数序列的变化幅度比前一个时间序列要小;第一时间系数的变化相当于各站平均梅雨量变化.参考文献:[1] 徐群.近46年江淮下游梅雨期的划分和演变特征[J].气象科学,1998,18(4):316-329.[2] 周曾奎.江淮梅雨[M].北京:气象出版社,1996.[3] 周后福,谢重阳.梅雨划分标准及安徽梅雨序列的确定[J].气象教育与科技,2004,(2):4-8.[4] 魏凤英.现代气候统计诊断预测技术[M].北京:气象出版社,1999.[5] 范丽军,韦志刚,董文杰.西北干旱区地气温差的时空特征分析[J].高原气象,2004,23(3):360-367.[6] 刘会玉,林振山,张明阳.湖南汛期降水异常的时空分布特征研究[J].热带气象学报,2004,20(4):409-418.T emporal and Spatial Distribution of JianghuaiMeiyu with EOF and REOF AnalysisZHOU Hou 2fu 1, CHEN Xiao 2hong 2(1.Anhui Meteorological Institute ,Hefei 230031,China ;2.Anhui Meteorological Station ,Hefei 230031,China )Abstract :Based on the data of Meiyu precipitation about 50weather stations from 1960to 2002,temporal and spatial distribution characteristics are analyzed with EOF and REOF methods.EOF analysis shows that the ratio of the front 3eigenvectors with total square error is 88.9%,and the front 3eigenvector fields present string distribution.The characteristic of each eigenvector field is different.REOF analysis manifests that Meiyu precipitation fields may be divided into 6types and the change of rotated eigenvector field is little.The change of the first temporal coefficient is analogous with the change of average Meiyu precipitation on all stations.K ey w ords :EOF ;REOF ;meiyu precipitation ;temporal and spatial distribution(责任编辑 巩 )28安徽师范大学学报(自然科学版)2006年。
常用数据分析方法介绍
样本长度、时间尺度个数、起始时间 尺度、时间尺度间距
参数说明
• （4）小波分析程序输出结
年份
时间尺度
果文件为WA文件夹下的
“Fileout.txt”，给出了年份
小波系数
、时间尺度以及小波系数
值；
20
18
16
时 14 间 尺 12 度 10 /8 a6
4
2 1961 1964 1967 1970 1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997 2000 2003 2006 2009
天长
界首 临泉
太和 阜阳
阜南
涡阳
宿县
灵壁 泗县
蒙城 利辛
固镇
五河
颍上
怀远蚌埠 凤阳
凤台 淮南 寿县 长丰
定远
明光
霍邱
来安 滁州
天长
全椒
金寨
六安 霍山
岳西
合肥 肥东
肥西 舒城
含山 和县马鞍山
巢湖
当涂
庐江 桐城
无为
芜湖
铜陵
繁昌
芜湖县
南陵
宣城
郎溪 广德
潜山 太湖 怀宁
宿松
望江
枞阳 贵池
青阳
安庆
九华
泾县
东至
Fortran计算程序中需要修改的参数主要有：N（样本长度）、 NYEAR（起始年份）
样本长度、起始年份
• （4）MK检验程序输出结果文 件为MK文件夹下的 “Fileout.txt”，其中第一列为 年份；第二、三列分别为UF 和UB统计量值；第四、五列 为显著性水平。
年份
UF
UB
显著性水平
经验正交函数分解
经验正交函数分解
一、什么是经验正交函数分解
经验正交函数分解(EOF分解）是一种数理统计的技术，它用于把复杂的的数据表达式分解成具有明显特征的区分度更高的函数组合，被称为经验正交函数系，是统计分析的一种有效方法。
经验正交函数分解是一种特殊的优化算法，被用于各种目的，主要是将高维度的数据降维。
二、经验正交函数分解的原理
经验正交函数分解的原理是将给定的函数用非线性的正交函数加以展开，并基于理论和经验确定函数中变量的权重系数，从而有效地减少数据集中潜在信息的维度。
经验正交函数分解是一种迭代分解技术，本质上可以看作一种数据聚类算法。
三、经验正交函数分解的应用
经验正交函数分解通常应用在数据挖掘和机器学习算法中，用于减少高维度的数据集合，使高维数据更容易理解，并且可以捕捉非线性的特征。
此外，经验正交函数分解还可以应用在实业考察、地理信息技术、生态模拟和“大数据”分析中。
四、总结
经验正交函数分解是一种重要的数理统计技术，它的原理是运用非线性正交函数展开，并基于理论和经验确定函数中变量的权重系
数，用于帮助用户数据减少维度，这样可以捕捉非线性特征。
它可以被用在数据挖掘、机器学习、实业考察、地理信息技术、生态模拟和“大数据”分析中，因此，它具有十分重要的意义。
气象统计分析与预报经验正交函数分解
实验二经验正交函数分解一、目的和要求：经验正交函数分解（EOF）是统计天气分析中气象要素场最基础的研究模型，是必须理解和掌握的方法之一，是后续课程中许多气象要素场的计算结果的理解的基础理论，也是毕业设计和论文中的基本分析方法。
该方法用个数较少的几个空间分布模态来描述环流形势，而且基本涵盖环流场的信息，既能作为天气分析模型，其方法的延拓又能作为天气预报模型，在实际工作中也有极强的实用意义。
通过该实验，深刻理解气象要素场的统计模型的意义，掌握气象要素场分析的基本方法，为实际预报业务和科研工作打下一定的基础。
二、实验的主要内容：对（0N-90N，60E-120W）850hPa高度场进行经验正交展开（EOF.FOR），输出分析主要参数指标；绘制环流型图和相应的时间系数序列图，并加以分析。
三、步骤：3.1 熟悉资料方法3.1.1 资料提供的资料为NCEP/NCAR 60年（1948年-2007年）逐年1～12月的850hPa高度场资料，资料范围为（90N-90S，0E-360E），网格距为2.5*2.5，纬向格点数为144，经向格点数为73。
资料为NC格式，资料从南到北、自西向东排列，每月为一个记录，按年逐月排放，注意读取方式以及记录长度。
本次实验应用NCEP/NCAR（0N-90N，60E-120W） 58年（1948年-2005年）逐年7月的850hPa高度场资料，纬向格点数为73，经向格点数为37。
3.1.2 方法（经验正交函数分解EOF）EOF（经验正交函数分解）是针对气象要素场进行的，其基本原理是把包含p个空间点（变量）的场随时间变化进行分解。
设抽取样本容量为n的资料.则场中任一空间点i和任一时间点j 的距平观测值ij x 可看成由p 个空间函数ik v 和时间函数kj y (k=1,2,…,p)的线性组合,表示成11221p ij ik kj i j i j ip pj k x v y v y v y v y ===+++∑EOF 功能是从一个气象场多次观测资料中识别出主要空间型及其时间演变规律。
旋转经验正交函数(REOF)
1.资料：从国家气候中心提供的全国160站点逐月 降水资
料中选取分布在华南地区（105-125°E, 18-27°N）
的25个站点，资料时段为1951～2008年夏季（6-8 月）的逐月降水资料。
2.方法：EOF及REOF
3.计算结果：
4.对图分析：
图1 华南地区夏季降水EOF前两个模态
(a )第一模态（方差贡献率30.78%）
1.第一模态降水时间系数序列在1951-1975年间数值较小基本在零线附 近变化，说明这24年中华南地区夏季降水无太大异常。在1975-1989 年间华南地区降水偏少，在1989年之后降水偏多。
2.若将时间系数大于2（小于-2）的年份定义为旱涝年的标准。则有 1955,1958,1961,1968,1976,1994,1995,1997,2001,2002,2005, 2006,2008.共13年华南地区表现为普遍偏涝的特征。1953，1956， 1963，1965，1967，1975，1977，1980，1982，1983，1987， 1988，1989，2003，2004.共15年华南地区表现为普遍偏旱的特征。
华南地区降水分布大致可分贵州东部、福建沿海、广东南部、云南 东部、湖南东北部、江西东北部和广东东部沿海，共7个区域。
1. 第一旋转特征向量场降水时间系数序列在1951-1963年基本在零线附近， 波动幅度较小，说明华南中西部地区降水无太大异常。1963-1975年基本都 为正值，则在这13年里华南中西部地区夏季降水呈现偏多，且贵州东部表现 最明显。1975-1991年降水时间系数序列为负值，且波动幅度较大，这说明 这15年来华南中西部地区夏季降水偏少，且贵州东部最明显。1991年之后 降水系数序列基本为正值，波动幅度不大，这说明华南中西部地区降水偏多。
eof分解海温的意义
eof分解海温的意义
EOF分解是一种信号分解的方法，也称为经验正交函数分解法（Empirical Orthogonal Function, EOF）。
它是一种用于分析气候和海洋数据的方法，用来分解多个变量之间的相关性和变化。
EOF分解的意义在于，它可以将一个复杂的变量（例如海温）分解成多个简单的变量，即EOF模态。
这些EOF模态可以用来解释不同时间尺度和空间尺度上的变化，从而提高我们对海洋和气候变化现象的理解。
通过分析和研究这些EOF模态，我们可以揭示海洋和气候变化的机理和规律，并对未来的变化进行预测和评估。
对于海洋温度数据，EOF分解可以提取出不同时间尺度上的变化，比如年际、年代际和多年际的变化。
这些变化可以对应不同的海洋现象，如厄尔尼诺南方涛动（ENSO）和北极涛动（AO）。
通过对这些现象的研究，我们可以更好地理解全球气候系统的运作，并预测未来的变化。
同时，EOF分解也可以帮助我们了解海洋温度在空间尺度上的变化。
例如，它可以识别出海温异常发生的区域，如东太平洋暖池和西北太平洋冷涡，从而提高我们对区域海洋环境变化的认识，有助于制定相关的保护和管理措施。
总之，EOF分解是一种强大的工具，能够帮助我们更好地了解海洋和气候变化现象的本质和规律。
通过对不同时间尺度和空间尺度上海洋温度的分解和分析，我们可以为海洋环境的保护和管理作出更加全面准确的预测和决策。
经验正交函数
48
(a) EOF1 90.7% 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
(b) EOF1 15.8% 0.15 0.1 0.05 0 −0.05 −0.1 −0.15 −0.2
对角线上的元素为奇异值)，奇异值与特征根成倍数关
1 • 如果矩阵C = n XX T ，C 的特征根为λ，则有
• 如果矩阵C = XX T ，C 的特征根为λ，则有
√ = nλ； √ = λ；
由于该方法是直接对矩阵X 进行分解，所以对内存的要求远小于方法1。计算速度 很快。 两种方法对比练习。
显著性检验
(c) EOF1 13.4% 0.15 0.1 0.05 0 −0.05 −0.1
(d) EOF1 11.3%
0.1 0.05 0 −0.05 −0.1
图 A.17: 我国东部地区夏季降水量EOF分析第一特征向量。(a)原始值，(b)距平 值，(c)距平百分率，(d)标准化值. 1951 − 2002资料.
-0.98 0.19
得到特征根E= 8.42 0 0 3.58 得到主成分PC= 4.28 094 -1.65
-0.62 1.10
%%check EOF*EOF’ % = I 检查EOF的正交性得到： 1.00 0 0 1.00 PC*PC’/5 % = lambda 检查PC的正交性得到： 8.42 0.00 0.00 3.58 EOF*PC % =X 可以完全恢复X的距平值： -1.20 2.80 -2.20 4.60 -0.40 -4.40
A.7
EOF分 析
经验正交函数分析方法(empirical orthogonal function, 缩写为EOF)，也称特征 向量分析(eigenvector analysis)，或者主成分分析(principal component analysis,缩 写PCA)，是一种分析矩阵数据中的结构特征，提取主要数据特征量的一种方 法。Lorenz在1950年代首次将其引入气象和气候研究，现在在地学及其他学科中 得到了非常广泛的应用。地学数据分析中通常特征向量对应的是空间样本，所以 也称空间特征向量或者空间模态；主成分对应的是时间变化，也称时间系数。因 此地学中也将EOF分析称为时空分解。
matlab EOF
一列特征向量值，也称EOF。如λ1 对应的特征向量值称第一个EOF模态， 也就是V 的第一列即EOF1 = V (:, 1)；第λk 对应的特征向量是V 的第k 列， 即EOFk = V (:, k )。 • 计算主成分。将EOF投影到原始资料矩阵X 上，就得到所有空间特征向量对 应的时间系数(即主成分)，即
数据性质与预处理
(1)误差 (2)资料的处理。原始场，距平场，与标准化场 例子：我国160站夏季降水量的EOF分析(图A.17) (3)空间样本点。大范围的空间数据，特别需要注意资料空间代表性。非均匀 场与均匀分布场；空间抽样；面积加权。 北半球1月SLP例子
时空转换
有时空间样本m远大于时间序列长度n，计算m × m矩阵的特征根很困难，可以
1.80 0.60
-1.20 -0.40
46
EOF1 26.1% 4000 3000 Eigenvalue 2000 1000 0 0.04 0.02 0 −0.02 −0.04 −0.06 0 2 4 6 Number 8 10 −0.08
100 50 PC#1 0 −50 −100 1950 1960 1970 1980 1990 2000
-2.20 -4.40
1.80 0.60
-1.20 -0.40
[U,S,V]=svd(X); 得到 U= 0.19 0.98 0.98 -0.19 S= 6.49 0 0 0 0 0 4.23 0 0 0 V= 0.66 -0.49 0.56 0.02 0.67 0.63 -0.73 -0.31 0.53 0.14 0.39 0.03 -0.10 -0.26 -0.02 EOF=U; PC=S*V’; 得到PC= 4.28 -2.07
0.09 -0.32 0.25 0.91 0.06
经验正交函数分解(EOF)
m是空间点，n是时间序列长度。
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气象场的自然正交展开，是将X分解为时间函 数Z和空间函数V两部分,即
X = VZ
或者
xit = ∑ vik z kt = vi1 z 1t +vi 2 z 2t + L + vip z pt
i
特征向量为
vi
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vi = Xu i
λi
V = v1 , v 2 ,L , v m
Z =V X
T
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EOF分析实例
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三、分解方法
XX
T
= VZZ V
T
T
A = XX
V AV = Λ
T
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T
A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原 理，一定有 或者
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八、时空转换问题 当 m >> n 时，先求出 X T X 的特征值， 然后求
XX
T
的特征向量，这种方法叫时空转换。
令 X T X 的特征值为 λ i ，其特征向量 为 u ， XX T 的特征值也为 λ i ，其
k =1 p
i = 1, 2 , L , m t = 1 , 2 , L , n
python 风场的eof分解方法
EOF（Empirical Orthogonal Function）分解，又称为经验正交函数分解，是一种用于数据分析的技术，特别是在处理气象数据时。
EOF分解可以提取数据的主要成分，这些成分按照方差的大小排序，从而允许研究者识别和解释数据中的主要模式。
在Python中，可以使用`scikit-learn`库中的`KernelPCA`来实现EOF分解。
以下是一个基本的例子，展示了如何使用Python进行EOF分解：```pythonfrom sklearn.decomposition import PCAimport numpy as np# 假设我们有一些气象数据，存储在一个NumPy数组中# data = ...# 创建一个PCA对象，设置EOF的数目pca = PCA(n_components=3) # 这里的3表示我们希望提取的前三个主要成分# 对数据进行EOF分解eofs = pca.fit_transform(data)# eofs现在的形状是[n_samples, n_components]# 你可以对eofs进行索引，以获取每个样本的EOF系数```在上面的代码中，`data`是一个NumPy数组，包含了要进行EOF分解的气象数据。
`n_components`参数设置为3，表示我们想要提取数据中的前三个主要成分。
此外，如果您想要在气象风场数据分析中使用EOF分解，可能还需要使用到`xarray`库，它提供了对气象数据的便捷操作和分析工具。
以下是一个简单的例子，展示了如何在xarray 数据对象上进行EOF分解：```pythonimport xarray as xrimport numpy as npfrom sklearn.decomposition import PCA# 假设我们有一个xarray数据对象，包含了风速数据# ds = ...# 选择风速变量wind_var = ds['wind_speed']# 创建一个PCA对象，设置EOF的数目pca = PCA(n_components=3)# 对风速数据进行EOF分解eofs = pca.fit_transform(wind_var)# eofs现在的形状是[n_samples, n_components]# 你可以对eofs进行索引，以获取每个样本的EOF系数```在这个例子中，我们首先导入了`xarray`和`numpy`库，然后创建了一个PCA对象来对风速数据进行EOF分解。
matlab经验正交函数EOF(转载)
练习：利用[E,V]=eig(C)计算矩阵X 的特征向量和主成分%
X=[2 6 1 5 2; 9 4 0 5 4]; X(1,:)=X(1,:)-mean(X(1,:)); X(2,:)=X(2,:)-mean(X(2,:)); 得到X的距平值：X= -1.20 2.80 -2.20 1.80 -1.20 4.60 -0.40 -4.40 0.60 -0.40 %%% co-variance matrix C=X*X’/5; 协方差阵C= 3.76 0.92 0.92 8.24 [EOF,E]=eig(C); % V: eigenvectors; E: eigenvalues PC=EOF’*X; %% reverse the order E=fliplr(flipud(E)) lambda=diag(E); % retain eigenvalues only EOF=fliplr(EOF) PC=flipud(PC) 得到EOF= 0.19 0.98
对角线上的元素为奇异值)，奇异值与特征根成倍数关
1 • 如果矩阵C = n XX T ，C 的特征根为λ，则有
• 如果矩阵C = XX T ，C 的特征根为λ，则有
√ = nλ； √ = λ；
由于该方法是直接对矩阵X 进行分解，所以对内存的要求远小于方法1。计算速度 很快。 两种方法对比练习。
显著性检验
-0.98 0.19
得到特征根E= 8.42 0 0 3.58 得到主成分PC= 4.28 0.15 2.07 -2.82
-4.74 1.31
0.94 -1.65
-0.62 1.10
%%check EOF*EOF’ % = I 检查EOF的正交性得到： 1.00 0 0 1.00 PC*PC’/5 % = lambda 检查PC的正交性得到： 8.42 0.00 0.00 3.58 EOF*PC % =X 可以完全恢复X的距平值： -1.20 2.80 -2.20 4.60 -0.40 -4.40
气象统计分析与预报经验正交函数分解
气象统计分析与预报经验正交函数分解气象统计分析与预报是运用统计学的理论和方法对气象数据进行处理和分析，从中提取出有用的信息，并基于此对未来的气象变化进行预测的一门学科。
其中经验正交函数分解（Empirical Orthogonal Function，EOF）是一种常用的统计分析方法，被广泛应用于气象学领域。
经验正交函数分解是一种对观测数据进行模态分解的方法。
其基本思想是通过线性组合的方式，将原始数据分解为互相正交的空间模态函数，以及一系列的时间系数。
这种模态函数与数据的变化特征相关联，因此可以从数据中提取出最主要的变率和模态。
经验正交函数分解的核心是寻找满足正交性的空间模态函数。
经验正交函数分解的步骤如下：1.数据预处理：根据实际情况对原始数据进行预处理，如去除季节性变化、去除趋势等。
2.构建空间协方差矩阵：根据经验列向量组成的观测矩阵，计算其相关系数矩阵或协方差矩阵。
3.特征分解：对空间协方差矩阵进行特征分解，得到特征值和对应的特征向量。
4.计算EOF模态函数：根据特征值和特征向量计算EOF模态函数。
5.选取主要模态：根据特征值的大小选择主要的EOF模态函数。
6.计算时间系数：将原始数据与主要EOF模态函数进行内积运算，得到每个时间步的时间系数。
通过经验正交函数分解，可以从气象数据中挖掘出主要的模态和变率，帮助理解气象系统的变化规律。
它常用于大气环流和海洋循环的分析和预测，可用于解释和预测气候变化、降水分布、风场场等气象要素的时空变化规律。
经验正交函数分解在气象预报中的应用也非常广泛。
通过分析过去一段时间的气象数据，可以提取出主要的模态和变率，基于此进行未来的预测。
例如，在研究降水预报时，可以利用经验正交函数分解提取出和降水相关性最大的模态函数，进而预测未来降水的空间分布和强度。
总之，经验正交函数分解是气象统计分析与预报中的一种重要方法。
它通过将原始数据分解为空间模态和时间系数，能够从中提取出主要的模态和变率，帮助理解和预测气象系统的变化规律。
经验正交函数分解
经验正交函数分解1. 定义：经验正交函数分解（Empirical Orthogonal Function Analysis, EOF）是一种利用主成分分析方法对多元时间序列数据进行处理的统计技术。
2. 统计背景：主成分分析是一种在多元数据中寻找统计相互关系的方法。
EOF 是通过将时间序列数据的空间变化分解成正交的空间模态（Empirical Orthogonal Functions, EOFs）来实现的。
3. 数据预处理：数据预处理是使用EOF分析的第一步。
首先，数据必须被不同时间上的样本所收集，且要求在不同的时间点上均匀分布。
这意味着，数据必须具有相同的时间跨度。
4. EOF分析步骤：a. 矩阵标准化：矩阵必须以相同的时间跨度进行标准化，以消除时间数据的影响并使数据更具可比性。
b. 协方差矩阵计算：协方差矩阵描述了变量之间的统计关系。
c. 特征值分解：特征值说明了矩阵的变化程度。
它们被用来确定EOFs的数量和关联的时间序列权重。
d. EOF计算：EOF是一组正交的空间模态。
这些模态是矩阵变化的主要部分。
e. 时间序列权重：时间序列权重描述了各个EOF与原始时间序列的相关性。
5. EOF分析应用：a. 气候学：EOF分析在气候学中广泛用于研究大气和海洋的变化。
b. 地球物理学：EOF分析在地球物理学中用于分析随时间变化的物理场。
c. 生态学：EOF分析可用于分析生态系统的时间序列数据。
d. 工程：EOF分析可用于检测和预测系统中的故障。
e. 经济学：EOF分析可用于对经济数据进行建模和预测。
6. EOF分析限制：a. 缺失值：EOF分析对数据集中的缺失值非常敏感。
b. 个体差异：EOF分析的结果可能因个体之间的差异而发生变化。
c. 数据时序：EOF分析要求数据在时间上均匀分布。
d. 信号噪音比：分析的信号噪音比越小，分析的结果准确度越高。
7. 结论：EOF分析是一种强大的统计技术，能够有效处理多变量时间序列数据。
经验正交函数分解
经验正交函数分解EOF的基本原理：EOF的基本思想是将多维观测数据集在一个正交基上进行展开，并且基的选择是根据数据的变异情况来确定的。
EOF可以将数据集中的总变异分解为若干个正交模态，每个模态对应一个特定的空间结构和时间变化规律。
这些模态按照贡献率的大小进行排列，贡献率越大的模态代表的模态结构在整个数据集中的重要性越高。
EOF的计算方法：EOF的应用案例：1.大气科学中的EOF分析：EOF经常用于分析地球大气环流的空间结构和时间变化规律。
通过对全球历史气候观测数据集进行EOF分析，可以得到大规模气候模态，如南方涛动、太平洋年代际振荡等。
这些模态的识别和分析有助于预测气候变化和极端天气事件的发生。
2.海洋学中的EOF分析：EOF也广泛应用于海洋科学中的海洋环流分析。
通过对海洋气候指标数据集进行EOF分解，可以得到海洋环流的主要模态，如海温涛动、海洋风场等。
这些模态的研究对于理解海洋生态系统的运行机制、海洋生命活动的变异规律具有重要意义。
3.地球科学中的EOF分析：EOF还可以用于地球科学领域的数据分析。
例如，通过对全球地震频率数据集进行EOF分解，可以得到地震活动的主要模态和与地震相关的气候背景。
这对于地震活动的模拟能力评估和地震预测具有重要的科学和实践价值。
总结：经验正交函数分解是一种将多维观测数据集拆分为一系列正交模态的统计方法。
它通过对数据的标准化和奇异值分解，得到数据的模态结构和时间变化规律。
EOF在大气科学、海洋学、地球科学等领域有着广泛的应用。
通过对观测数据的EOF分析，可以帮助我们理解和解释数据的变异规律，从而为气候变化、海洋环流、地震活动等领域的研究和预测提供有力支持。
EOF分析及其应用(教学课件)
第1 模态——降水量的突然增加。 第2 模态——从南向北的快速推进过程。 第3模态——东西分布型态，及在季风爆发
后印度半岛降水快速增加的过程。 第4模态——印度次大陆东海岸降水的准双
周振荡型态。
EOF分析及其应用
中国气象科学研究院
1
一、引 言 经验正交函数（EOF）方法：最早由统计学家
pearson（1902）提出，由Lorenz（1956）引入 气象问题分析中。该方法以场的时间序列为分析对 象，由于对计算条件要求甚高，直到20世纪60年代 后期才在实际工作中得到广泛应用。 近30年来，出现了适合于各种分析目的的EOF分析 方法，如扩展EOF（EEOF）方法，旋转EOF （REOF）方法，风场EOF（EOFW）方法，复变量 EOF（CEOF）方法。
z11 z12 z1n
V
v21
vm1
v22 vm2
v2m
vmm
Z
z 21
zm1
z 22 zm2
z2n
zmn
v j (v1j ,v2 j ,,vmj )T
是第j个典型场，只是空间的函数。
6
第t个空间场可表示为
x1t v11
v12
v1m
x2t
19
第1 模态——降水量的突然增加
20
降水量的第2 模态 -从南向北的快速推进过程
21
降水量的第3 模态
东西分布型态，及在季风爆发后印度半岛降水快速增加 的过程
22
降水量的第4 模态 印度次大陆东海岸降水的准双周振荡型态
23
我国盛夏500 hPa 风场的EOF 分析及 其与大尺度气候异常的关系
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图1b 1976 年是个明显的转折点, 在这之前累积曲线基本上呈 上升趋势, 海温以正距平主, 这之后累积曲线呈下降趋势, 海温以负距平为主。19511975 年平均海温距平为12℃, 而1977- 1993 年平均海温距 平为-128℃。这就是说西风 漂流区年平均海温从19511975 年至1977- 1993 年下降 了0148℃。 图1c 1981 年是个明显的转折点, 在这之前累积曲线呈下降趋 势, 海温以负距平为主, 这之 后累积曲线呈上升趋势, 海温 以正距平为主。1951- 1980 年平均海温距平为0.08℃, 1982- 1993 年为0.21℃, 赤道 太平洋年平均海温1981 年后 比1981 年前增加了 b 西风漂流区的年平均海温距平(实线) 和累积曲线(虚线) ;
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0 v v j = ∑ v ki v kj = k =1 1
T i p
i≠ j i= j
i≠ j i= j
性 质
ZiZ
T j
=
∑z
t =1
n
it
z jt
0 = λ i
i , j = 1,2 ,L , m
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三、分解方法
XX
T
= VZZ V
T
T
A = XX
V AV = Λ
T
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T
A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原 理，一定有 或者
k =1 p
i = 1, 2 , L , m t = 1 , 2 , L , n
k = 1, 2 , L , p
含义：场中第i个格点上的第t次观测值，可以 看作是p个空间函数 v ik 和时间函数 z ki 的线性组 合。
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气象统计预报
李丽平 南京信息工程大学 2010年12月
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第八章 气象场的自然正交展开
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一、引 言 经验正交函数（ EOF）方法最早由统计 学 家 pearson 在 1902 年 提 出 ， 由 Lorenz[1] （1956）引入气象问题分析中。该方法以场 的时间序列为分析对象，对计算条件要求甚 高，故直到20世纪60年代后期才在实际工作 中 得 到 广 泛 应 用 （ Craddock ， 1969[2] ； Kutzback，1970[3]；Kidson，1975[4]）。
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4 ） 将 特征值 作非升序排 列 （通常使用 沉浮法），并对特征向量序数作相应变动； 5）根据 λ h ,h=1~H和X总方差，求出全 部 ρ 、 Ph , h=1~H； 6 ） 由 X 及主 要 Vh 求 其时间系数 Z h 、 h=1~H，主要的数量由分析目的及分析对象 定； 7）输出主要计算结果。
三类雨型： 北方的黄河流域地区 黄河和长江之间 长江流域及以南
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热带太平洋海表面温度异常的EOF分解第一、第二 模态（21.9%，5.5%）
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或者
x t = v 1 z1t + v 2 z 2 t + L + v m z mt
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上式表明，第t个场可以表示为m个空 间典型场，按照不同的权重线性叠加而成。 V的每一列表示一个空间典型场，由于这个 场由实际资料确定，故又叫经验正交函数。 上述分解要求满足下列两个条件：
ˆ= V . Z X≈X m p p n
ˆ X
是拟合场.
可 λi Q = ∑ ∑ ( xit − x
2 i =1 t =1 i =1 i =1
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m
n
m
p
五、重要参数 第i个特征向量对X场的贡献率
A = VΛV
T
V的列就是A的特征向量，Λ 是A的 特征值组成的对角矩阵。
Z =V X
T
z it =
∑
m
k =1
v ki x kt
Z就是时间系数矩阵，z it 第i个格点上的 第t 个时间系数。
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四、误差估计和计算
中国160气象标准站
夏季降水异常EOF 分解的第一模 态，方差贡献为 15.5%
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夏季降水异常的第二、第三模态（13.5%，6.8%）
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近30年来，出现了适合于各种分析目的的EOF 分析方法，如扩展EOF（EEOF）方法，旋转EOF （REOF）方法，风场EOF（EOFW）方法，复变量 EOF（CEOF）方法。 EOF方法不但用于观测资料的分析，还用于 GCM资料的分析和数值模式的设计。现在，EOF方 法已作为一种基本的分析手段频繁地出现在大气 科学研究的文献中。
其中，
v11 v 21 V = v m1 v12 v 22 ⋅⋅⋅ vm2
z11 ⋅ ⋅ ⋅ v1m ⋅ ⋅ ⋅ v2m z 21 Z = ⋅⋅⋅ z ⋅ ⋅ ⋅ v mm m1
T
z12 z 22 ⋅⋅⋅ zm2
⋅⋅⋅
z1n ⋅ ⋅ ⋅ z 2n ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ z mn
1n
m是空间点，n是时间序列长度。
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气象场的自然正交展开，是将X分解为时间函 数Z和空间函数V两部分,即
X = VZ
或者
xit = ∑ vik z kt = vi1 z 1t +vi 2 z 2t + L + vip z pt
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二、EOF分析方法原理 将某气候变量场的观测资料以矩阵形 式给出 x x ⋅⋅⋅ x
11 x21 X = x m1
12
x22 ⋅⋅⋅ xm 2
⋅ ⋅ ⋅ x2 n ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xmn
h
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H是非0特征值总个数，对实际问题
min(m, n) H = min(m - 1, n)
, X为非中心化序列 , X为中心化序列
需 要 强调 的是，第1）步很重要。在大多 数情况下，EOF分析对原观测场时间序列、距 平场时间序列和标准化距平场时间序列进行。 选择何种形态作分析取决于分析目的和分析对 象。
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八、时空转换问题 当 m >> n 时，先求出 X T X 的特征值， 然后求
XX
T
的特征向量，这种方法叫时空转换。
令 X T X 的特征值为 λ i ，其特征向量 为 u ， XX T 的特征值也为 λ i ，其
ρi = λ i
∑λ
i =1
m
m
i
前p个特征向量对X场的贡献率
Ρi = ∑ λ i
i =1 p
i
∑λ
i =1
i
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六、计算步骤
1）根据分析目的，确定X的具体形态(距平 或者标准化距平)； 2）由X求协方差矩阵 A = XX T ； 3）求A的全部特征值 λ h 、特征向量 V h ， h=1~H（通常使用Jacobi法）；
i
特征向量为
vi
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vi = Xu i
λi
V = v1 , v 2 ,L , v m
Z =V X
T
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EOF分析实例
v j = (v1 j , v2 j ,L, vmj )
是第j个典型场，只是空间的函数。
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第t个空间场可表示为
x1t v11 v12 v1m x v v 2t = 21 z + 22 z + L + v 2 m z M M 1t M 2t M mt v m 2 x mt v m1 v mm
c 赤道太平洋区年平均海温距平(实线) 和累积曲线(虚线).
0.29℃
。
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