自然正交函数分析(EOF)程序.docx

5・3自然正交函数分析(EOF)程序

近年來，自然正交函数(乂称经验正交函数)展开在气象上应用比较广泛。这种正交函数展开不彖三角函数展开、球函数展开那样有固定的展开形式。它无固定的函数形式，不是事先人为地给定典型场函数，图形是由场木身来决定的，它具有收敛快又能更好地反映岀场的基木结构的特征。它可以在有限的区域屮进行，既可以取空间不同站点进行分解，也可以对同一站点的不同吋间、不同高度的多种要素进行综和分析。因此它在气彖中具有广泛的应用，可用于气象要素场分析、大气垂直结构分析、动力模型垂直分层等。

5. 3.1功能

计算要素场的自然正交函数分解。

5. 3. 2方法说明

口然止交函数分解是针对气彖要素场进行的，它的基本思想是把包含P个空间点(或P个变

量)的n个时次的观测场随时间进行分解，即将某一区域的气象要素场序列Fq (i=l, 2,・・・,p；

j=l,2,…,n,即p个空间点的n个时次的观测资料)分解成相互正交的时间函数与相互正交的空间函

数的乘积Z和，常把空间函数VW看作典型场，时间函数看作典型场的权重系数，则不同时间

的要素场是若干个典型场按不同权重线性叠加的结果，各个场之间的差别就在于各典型场的系

数不同。则气象耍素场可以表示为

P

Ej =》％tkj = Vig+Vj2t2j+・・・+Viptpj (5. 3. 1)

k=l

英中Fq表示第i个场中的第j个测点的观测值。

可将(5.3.1)是写为矩阵的形式

F =VT( 5 . 3 . 2 )

式中F为pxn阶的均值为0的资料阵，V为pxp阶的空间函数阵，卩为pxn阶的时间函数阵。

由于V和0是根据场的资料阵F进行分解而得到的，分解的函数没有固定的函数形式，因而称为“经验”的，另外，我们还要求这种分解具有“正交”性，即要求满足下式

P

Vk V, =X v ik v n =0 (kHl)

i=1(5. 3. 3 )

n

兀齐-£，kjtij =0 (k H 1)

冃

事实上，我们对(5. 3. 2)式右乘厂可得

FF =VTTV r( 5 . 3 . 4 )

因FF'是pxp阶对称阵，其元素为距平变量的交义积。根据实对称矩阵的分解定理有

FF =VAV f(5. 3. 5 )

其小A是FF'矩阵的特征值组成的对角阵，V是对应的特征向量为列向量组成的矩阵。比较(5.

3. 4)和(5. 3. 5 )式可知

TT r = A(5 . 3. 6 )

乂根据特征向量的性质有

VV =W=I

式中为I单位矩阵。显然(5 . 3 . 6 )和(5 . 3. 7 )式满足(5 . 3 . 3 )式的要求。由此町知空间函数矩阵可从FF'矩阵的特征向量求得，而时间函数则可利用(5. 3. 2)式左乘V'得到，即

T =VF( 5. 3. 8)

5. 3. 3子程序语句

CALL EOF (X, P, N, XF)

5. 3. 4哑元说明

X——输入变量，二维实型数组，大小为PxN,存放原始观测值。

P——输入整型变量，空间格点数。

N——输入整型变量，序列的时间长度。

XF——输出变量，二维实型数组，人小为PxN,存放恢复值。

5. 3. 5子程序

SUBROUTINE EOF(X,P,N,LW,XF)

INTEGER::P

INTEGER: :N

INTEGER::LW

REAL(8),DIMENSION(P,N)::X,XF

REAL(8),DIMENSION(P,P):: A, V, V1

REAL ⑻,DIMENSIONS,N)::T

REAL ⑻,DIMENSION(P)::B,GM,GA

REAL(8),DIMENSIONS,LW)::VF

REAL(8),DIMENSION(LW,N)::TF

! 求X乘以X的转置，即A=XX '

DO 1=1,P

DO J=1,P

A(I,J)=0

DO K=1,N

A(I,J)=A(I,J)+X(I,K)*X(J,K)

END DO

END DO

END DO

! 用Jacobi法求A的特征值和特征向屋

!返回时B存放矩阵的全部特征值，V存放特征向量为列组成的矩阵

CALL JCB(A,P, 1.0E・6,V,B,L)

DO 1= 1 ,P

GA(I)=()

DO J=1,I

GA(I)=GA(I)+B(J)

END DO

END DO

DO 1=1,P

GM(I)=GA(I)/GA(P)

END DO

DO 1=1,P

DO J=1,P

V1(I,J)=V(J,I)

END DO

END DO

T=MATMUL(V1,X)

WRITE(12；(H特征值”))

WRITE( 12；(

I10)')(I,I= 1 ,P)

WRITE( 12；(3X,

D 10.4)*)B

WRITE(12；(H解释的方差(%)u n

WRITE( 12；(

I7),)(I,I= 1 ,P)

WRIT E( 12；(3X,

F7.2)')GM* 100

WRITE(12,(“特征向量为列组成的矩阵，即空间函数V?)

WRITE(12；(

F7.4),)((V(I,J)J= 1 ,P),I= 1 ,P)

WRITE( 12,(“ 时间函数T")1)

WRITE( 12；(

F10.4),)((T(I,J),J=1 ,P),I= 1 ,N)

DO 1=1,P

DO J=1,LW

VF(I,J)=V(IJ)

END DO

END DO

DO 1=1,LW

DO J=1,N

TF(I,J)=T(I,J)

END DO

END DO

XF=MATMUL(VF,TF)

END

SUBROUTINE JCB(A,N,EPS,V,B,L)

! A:调用时存放实对称矩阵

! B:返回时存放矩阵的全部特征值

! V:存放特征向量，其中笫i列为与第i个特征值相对应的特征向屋! EPS:存放精度要求

REAL(8),D1MENS1ON(N,N)::A,V

REAL(8),DIMENSION(N)::B

REAL ⑻::FM,CN,SN,OMEGA,X,Y

INTEGER:: P,Q

L=1

V=0

DO 1= 1 ,N

V(I,I)=1