立体几何线线垂直专题史上最全

立体几何垂直总结 1、线线垂直的判断： 线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 2、线面垂直的判断：
（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 （4）如果两个平面垂直，那么在 —个平面内垂直于交线的直线必垂直于另 —个平面。 3、面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法：
（2）由（ 1）有 AB 平面 CDE
B
C
又∵ AB 平面 ABC ， ∴平面 CDE 平面 ABC
D
例 2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥
P ABCD 的底面是菱
形． PB PD ， E 为 PA 的中点．（Ⅰ）求证： PC ∥平面 BDE ；（Ⅱ）求证：平面 PAC 平 面 BDE ．
.
6、如图 7－5－9(1)，在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°， D，E 分别为 AC， AB 的中点，点 F 为线 段 CD 上的一点，将△ ADE 沿 DE 折起到△ A 1DE 的位置，使 A 1F⊥CD，如图 (2)．
(1)求证： DE∥平面 A 1CB. (2)求证： A 1F⊥ BE. (3)线段 A 1B 上是否存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ？说明理由．
∵ PC BC C , PC 平面 PBC ， BC 平面 PBC .
∴ AE 平面 PBC . 例 5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形， AB∥CD， ∠DAB＝ 60°， AE⊥ BD， CB＝ CD＝CF. 求证： BD⊥平面 AED； 证明 因为四边形 ABCD 是等腰梯形， AB∥CD， ∠DAB＝60°，
所以 ∠ADC＝∠BCD＝ 120°.
又 CB＝CD，所以 ∠CDB＝30°，
因此 ∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
又 AE⊥BD，且 AE∩AD ＝ A， AE，AD? 平面 AED，
所以 BD⊥平面 AED.
例 6、（勾股定理的逆定理）如图 7－7－5 所示，已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，△ ABC 为等 腰直角三角形，∠ BAC＝90°，且 AB＝ AA1，D、E、F 分别为 B1A、C1C、 BC 的中点． 求证： (1)DE∥平面 ABC；(2)B1F⊥平面 AEF.
例 1、（等腰三角形三线合一） 如图，已知空间四边形 ABCD 中， BC AC , AD BD ，E 是 AB
的中点。求证：（1） AB 平面 CDE;（ 2）平面 CDE 平面 ABC 。
A
BC AC
AD BD
证明：（1）
CE AB 同理，
DE AB
E
AE BE
AE BE
又∵ CE DE E
∴ AB 平面 CDE
. 4、在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，若 AB=2 ， AA1 1，求点 A 到平面 A1BC 的距离。
5、如图所示，在四棱锥 P— ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA 垂直于底面， E、F 分别 是 AB、PC 的中点， PA＝ AD. 求证： (1)CD⊥ PD； (2)EF⊥平面 PCD.
2、直三棱柱 ABC－A1B1C1 中， AC＝ BC＝12AA1，D 是棱 AA1 的中点， DC1⊥ BD.证明： DC1⊥ BC。
3．如图， 平行四边形 ABCD 中，∠ DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△ CBD 沿 BD 折起到△ EBD 的位置，使平面 EBD⊥平面 ABD.(1)求证： AB⊥DE；(2)求三棱锥 EABD 的侧面积．
P
E
D
C
A
B
例 3、(线线、线面垂直相互转化 )已知 ABC 中 ACB 90 , SA 面 ABC , AD SC ,求证：AD
面 SBC ．
S
证明： ∵ ACB 90 °
BC AC
又 SA 面 ABC
SA B C
BC 面 SAC
BC AD 又 SC AD , SC BC C AD 面 SBC
D
立体几何垂直总结 1、线线垂直的判断： 线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 2、线面垂直的判断：
（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 （4）如果两个平面垂直，那么在 —个平面内垂直于交线的直线必垂直于另 —个平面。 3、面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法：
D1
例 7、（三垂线定理）证明：在正方体 ABCD － A 1B1C1D1 中， A 1C⊥ A1
平面 BC1D
C1 B1
证明：连结 AC ∵ B D⊥ A C∴ AC 为 A Baidu NhomakorabeaC 在平面 AC 上的射影
BD A1C 同理可证 A1C BC1
A1C 平面 BC1 D
D A
C B
练习； 1、 如图在三棱锥 P— ABC 中， AB＝AC，D 为 BC 的中点， PO⊥平面 ABC，垂足 O 落在线 段 AD 上 .证明： AP⊥BC；
又∵ AB 是 O 的直径， ACB 是直径所对的圆周角， ∴ BC AC .
∵ PA AC A, PA 平面 PAC ， AC 平面 PAC . ∴ BC 平面 PAC ， AE 平面 PAC ，∴ AE BC . ∵ PA AC ，点 E 是线段 PC 的中点 . ∴ AE PC .
E
O
A
B
图2 C
A
B
C
例 4、 (直径所对的圆周角为直角 )如图 2 所示，已知 PA 垂直于圆 O 在平面， AB 是圆 O 的直
径， C 是圆 O 的圆周上异于 A 、 B 的任意一点，且 PA AC ，点 E 是线段 PC 的中点 . 求证：
AE 平面 PBC .
P
证明：∵ PA O 所在平面， BC 是 O 的弦，∴ BC PA.