立体几何线面垂直

A 0

A 0

A 0

(B 0

)A

A

(A 0)A 0B 0B 0B 0B 0B B

B B B A

A A A

A A A

αO A B

C α

O A B 1直线和平面的位置关系（1）直线在平面内a α⊂（无数个公共点）；（2）直线和平面相交a A

α=I

（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行//a α（没有公共点） 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，

那么这条直线和这个平面平行,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这

条直线和交线平行推理模式：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒I

4 线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

6 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 7．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质： 8 斜线,垂线,射影 ⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.

⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段 ⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影 直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上

9．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长；⑶垂

线段比任何一条斜线段都短

10．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐

角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角。直线和平面所成角范围： [0，

2

π

] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

11 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；

（2）推理模式：,,,,PO O PA A a a OA a PA αααα⊥∈=⊂⊥⇒⊥I

12．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式： ,,,,PO O PA A a a AP a AO αααα⊥∈=⊂⊥⇒⊥I

．

a

P

α

O

A

β

α

m

l

A

B

C

D

S

E

E

D

B

A

注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用 基本题型： 1．（1）“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的 （ ） （A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件

（2）如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是（ ） （A ）l ⊂α （B ）l ⊥α （C ）l ∥α （D ）l ⊂α或l ∥α 答案：（1）B (2)D 2．（1）过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.（2）过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个. 答案：（1）无数，一，一，无数；（2）一，无数，无数，一 3．能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？ 答案：（能，而且有无数条） （不能）

4拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么和桌面垂直 答案：因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线.

5一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，这条直线垂直于这个平面吗？为什么？ 答案：不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内. 6过一点和一条直线垂直的平面是否只有一个？为什么？

答案：是.假若有两个平面,αβ过点A 都于l 垂直，过这条公共垂线l 作一个不经过两平面,αβ的交线的平面γ，γ与,αβ分别相交于直线,,a b a b l A =I I 且,l a l b ⊥⊥，,,l a b α⊂，从而有a b P ，此与a b A =I 矛盾.

7如果三条直线共点，且两两垂直，问其中一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面 答案：是

8．点A 为BCD ∆所在平面外的一点，点O 为点A 在平面BCD 内的射影， 若,AC BD AD BC ⊥⊥，求证：AB CD ⊥．

证明：连结,,OB OC OD ，∵AO BCD ⊥平面，且AC BD ⊥ ∴BD OC ⊥（三垂线定理逆定理）

同理OD BC ⊥，∴O 为ABC ∆的垂心，∴OB CD ⊥， 又∵AO BCD ⊥平面，∴AB CD ⊥（三垂线定理）

9．如图，已知ABCD 是矩形，SA ⊥平面ABCD ，E 是SC 上一点． 求证：BE 不可能垂直于平面SCD ．

证明：用到反证法，假设BE ⊥平面SCD ，

∵ AB ∥CD ；∴AB ⊥BE ．

∴ AB ⊥SB ，这与Rt △SAB 中∠SBA 为锐角矛盾． ∴ BE 不可能垂直于平面SCD O D

C

B

A