9.中考数学垂径定理的应用 解析版

计算力专训四十三、垂径定理的应用

1．（2020·杭州市实验外国语学校初三月考）如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，4AP =，8BP =，45APC ∠=︒，则CD 的长为（ ）

A B ．C ． D ．12

【答案】C

【解析】

【分析】 作OM ⊥CD ，连接OC ，先求得半径和OP ，根据等腰直角三角形的性质求得OM ，再根据勾股定理求得CM ，结合垂径定理即可求得CD ，

【详解】

解：∵4AP =，8BP =，

∴AB=12，AO=6，

∴PO=2，

作OM ⊥CD ，连接OC ，

∵45DPB APC ∠=∠=︒，

∴∠AOM=45°，△MOP 为等腰直角三角形， ∴222MO OP ，

在Rt △OCM 中根据勾股定理 22226(2)34CM

CO OM ， ∴2234CD CM ．

故选：C ．

【点睛】 本题考查勾股定理，垂径定理等．注意垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2．（2020·江苏江都·初三月考）如图，O 过点B 、C ，圆心O 在等腰Rt ABC ∆的内部，BAC 90︒∠=，

OA 1=，BC 8=．则O 的半径为（ ）

A ．5

B

C ．D

【答案】A 【解析】【分析】

过O作OD⊥BC，由垂径定理可知BD=CD=1

2

BC，根据△ABC是等腰直角三角形可知∠ABC=45°，故△ABD

也是等腰直角三角形，BD=AD，再由OA=1可求出OD的长，在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出OB的长．

【详解】

解：过O作OD⊥BC，

∵BC是⊙O的一条弦，且BC=8，

∴BD=CD=1

4

2

BC ，

∴OD垂直平分BC，又AB=AC，

∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O及D三点共线，∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

∴△ABD也是等腰直角三角形，

∴AD=BD=4，

∵OA=1，

∴OD=AD-OA=4-1=3，

在Rt△OBD中，

==．

5

故答案为A．

【点睛】

本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．3．（2020·无锡市东北塘中学月考）下列语句，错误的是（）

A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等

C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦

【答案】B

【解析】

【分析】

将每一句话进行分析和处理即可得出本题答案.

【详解】

A.直径是弦，正确.

B.∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,

∴相等的圆心角所对的弧相等，错误.

C.弦的垂直平分线一定经过圆心，正确.

D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦，正确.

故答案选：B.

【点睛】

本题考查了圆中弦、圆心角、弧度之间的关系，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.

4．（2020·江苏南京·文昌初级中学月考）如图为一半径为3m的圆形会议室区域，其中放有4个宽为1m的长方形会议桌，这些会议桌均有两个顶点在圆形边上，另两个顶点紧靠相邻桌子的顶点，则每个会议桌的长为_________．

【答案】)1m

【解析】

【分析】

如解图所示，O为圆心，连接OA、OB，过点O作OC⊥BF于C，交AE于D，由题意可得OD⊥AE，AB=1m，

OB=3m，△OAD为等腰直角三角形，根据垂径定理可得OD=AD=BC=1

2

AE，设OD=x，利用勾股定理列

出方程即可求出x，从而求出结论．

【详解】

解：如下图所示，O为圆心，连接OA、OB，过点O作OC⊥BF于C，交AE于D

由题意可得OD⊥AE，AB=1m，OB=3m，△OAD为等腰直角三角形

∴OD=AD=BC=1

2

AE，CD=AB=1m

设OD=x，则AD=BC =x，OC=x＋1，AE=2x ∵OB2－OC2=BC2

∴32－（x＋1）2=x 2

解得：（不符合实际，故舍去）

∴AE=)1m

即每个会议桌的长为)1m

故答案为：)1m．

【点睛】

此题考查的是垂径定理、勾股定理、正方形的性质和矩形的性质，掌握垂径定理、勾股定理、正方形的性质和矩形的性质是解题关键．

5．（2020·常州市武进区遥观初级中学初三月考）如图，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊙AB，交AB于点D，交⊙O于点C，则CD=______．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据垂径定理和勾股定理计算即可；

【详解】

⊙OD⊙AB，OD过圆心O，

∴162

AD BD AB ===， 由勾股定理可得：

8OD =

==， ∴1082CD CO OD =-=-=；

故答案是2．

【点睛】

本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．

6．（2020·兰溪市实验中学初三月考）已知O 的半径为5，弦6AB =，M 是AB 上任意一点，则线段OM

的最小值为_____．

【答案】4

【解析】

【分析】

由点到直线的距离，垂线段最短，连接,OA 作ON ⊥AB ，直接利用垂径定理得出AN 的长，再结合勾股定理得出答案．

【详解】

解：连接,OA 作ON ⊥AB ，