保险精算李秀芳1-5章习题答案

第一章 生命表

1．给出生存函数()22500

x s x e

-=，求：

(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。(4)50岁的人能活到70岁的概率。

()()()10502050(5060)50(60)

50(60)

(50)

(70)(70)

70(50)

P X s s s s q s P X s s p s <<=--=

>==

2.已知生存函数S(x)=1000-x 3/2

,0≤x ≤100，求（1）F （x ）(2)f(x)(3)F T (t)(4)f T (f)(5)E(x)

3. 已知Pr ［5＜T(60)≤6］=，Pr ［T(60)＞5］=，求q 65。

()()

()5|605606565(66)650.1895,0.92094

(60)(60)

65(66)

0.2058

(65)

s s s q p s s s s q s -=

===-∴==

4. 已知Pr ［T(30)＞40］=，Pr ［T(30)≤30］=，求10p 60 Pr ［T(30)＞40］=40P30=S(70)/S （30）= S （70）=×S(30) Pr ［T(30)≤30］=S(30)-S(60)/S(30)= S(60)=×S(30) ∴10p 60= S(70)/S （60）==

5.给出45岁人的取整余命分布如下表：

求：1）45岁的人在5年内死亡的概率；2）48岁的人在3年内死亡的概率；3）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。 (1)5q 45=（++++）=

6.这题so easy 就自己算吧

7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整）

（1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人 (1)l 39=l 36×3P 36=l 36(1-3q 36)=1500×（）≈1492 （2）4d 36=l 36×4q 36=1500×（+）≈11

（3）l 36×9|5q 36=l 36×9P 35×5q 45=1500××=1500×≈33 8. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。

808081

8080800.07d l l q l l -=

== 808081

808080

0.07d l l q l l -=

== 9. 015.060=q ，017.061=q ，020.062=q ， 计算概率612P ，60|2q ．

612

P =（1-q 61）(1-q 62)= 60|2q =612P ．q 62=

10. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。

120121122

000

(20)0.92,(21)0.915,(22)0.909d d d d d d s s s l l l ++++++=

=====L L L

13.设01000l =，1990l =，2980l =，…，9910l =，1000l =，求：1）人在70岁至80岁之间死亡的概率；2）30岁的人在70岁至80岁之间死亡的概率；3）30岁的人的取整平均余命。

18.

19.

20.

24. 答：当年龄很小时，性别差异导致的死亡率差异基本不存在，因此此时不能用年龄倒退法。 .设选择期为10岁，请用生存人数表示概率5|3q [30]+3

29.

第二章 趸缴纯保费

1. 设生存函数为()1100

x

s x =-

(0≤x ≤100)，年利率i =，计算(保险金额为1元)：(1)趸缴纯保费130:10

Ā的值。(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差Var(Z)。 10

101

30:10

10

10

211

222230:1030:10

()1

()1100()10011

0.0921.17011

()()0.0920.0920.0551.2170

t x x t t

t t x x t t

t t x x t x s x t s x p s x x

A v p dt dt Var Z A A v p dt dt μμμ+++'+=-

⇒=-=-⎛⎫=== ⎪

⎝⎭

⎛⎫=-=-=-= ⎪

⎝⎭⎰⎰⎰⎰g g g

2.设利力0.2

10.05t t

δ=+，75x l x =-，075x ≤≤，求x A 。

5. 设0.25x =A , 200.40x +=A , :200.55x =A , 试计算：（1） 1:20x A （2） 1:20

x A 1 120:20:201 1:20

:20:201 1

:20:201 1

:20:201:20 1

:200.250.40.550.050.5

x x x x x x x x x x x x x A A A A A A A A A A A A A +⎧=+⎪⎨=+⎪⎩⎧=+⎪⇒⎨=+⎪⎩⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩g g 6.试证在UDD 假设条件下： (1) 1

1::x n x n i

δ

=A A (2) 1

1

:::x x n n x n

i

δ

=+

ĀA A

8． 考虑在被保险人死亡时的那个1

m

年时段末给付1个单位的终身寿险，设k 是自保单生效起存活的完整年数，j 是死亡那年存活的完整1m

年的时段数。 (1) 求该保险的趸缴纯保费 ()

m x A 。(2) 设

每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明()

()m x x m i i

=A A

9.