振动理论课后参考答案
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1-1一个物体放在水平台面上,当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动时,要使物体不跳离平台,对台面的振幅应有何限制?
解:物体与桌面保持相同的运动,知桌面的运动为
,
x=A sin10πt;
由物体的受力分析,N= 0(极限状态)
物体不跳离平台的条件为:;
既有,
,
由题意可知Hz,得到,mm。
1-2有一作简谐振动的物体,它通过距离平衡位置为cm及cm时的速度分别为20 cm/s及
cm/s,求其振动周期、振幅和最大速度。
解:
设该简谐振动的方程为;二式平方和为
将数据代入上式:
;
联立求解得
A=10.69cm;1/s;T=s
当时,取最大,即:
得:
答:振动周期为;振幅为10.69cm;最大速度为22.63m/s。
1-3 一个机器内某零件的振动规律为,x的单位是cm,1/s 。这个振动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度,并用旋转矢量表示这三者之间的关系。
解:
振幅A=
最大速度
最大加速度
1-4某仪器的振动规律为。此振动是否为简谐振动?试用x- t坐标画出运动图。
解:因为ω1=ωω2=3ω,ω1≠ω2.又因为T1=2π/ωT2=2π/3ω,所以,合成运动为周期为T=2π/3ω的非简谐运动。两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动,当频率比为有理数时,可合称为周期振动,合成振动的周期是两个简谐振动周
期的最小公倍数。
1-5已知以复数表示的两个简谐振动分别为和,试求它们的合成的复数表示式,并写出其实部
与虚部。
解:两简谐振动分别为,,
则:=3cos5t+3isin5t
=5cos(5t+)+3isin(5t+)
或;
其合成振幅为:=
其合成振动频率为5t,初相位为:=arctan
则他们的合成振动为:实部:cos(5t+ arctan)
虚部:sin(5t+ arctan)
1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。
解∶三角波一个周期内函数x (t)可表示为
,
由式得
n=1,2,3……
于是,得x(t)的傅氏级数
1-7将题1-7图的锯齿波展为傅氏级数,并画出频谱图。
解∶锯齿波一个周期内函数P (t)可表示为
,
由式得
n=1,2,3……
于是,得x(t)的傅氏级数
,
1-8将题1-8图的三角波展为复数傅氏级数,并画出频谱图。
;
P(t)平均值为0
+
+
将代入整理得
1-9求题1-9图的矩形脉冲的频谱函数及画频谱图形。
解:
可表示为
由于
得:
即:
1-10 求题1-10图的半正弦波的频谱函数并画频谱图形。
解:
频谱函数:
一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动,如图T 2-1所示。已知,︒
α,m= 1
=30
kg,k = 49 N/cm,开始运动时弹簧无伸长,速度为零,求系统的运动规律。
图 T 2-1
答案图 T 2-1
解:
0sin kx mg =α,1.049
21
8.91sin 0=⨯
⨯==
k
mg x α
cm
701
10492
=⨯==-m k n ωrad/s
t t x x n 70cos 1.0cos 0-==ωcm
图所示系统中,已知m ,c ,1k ,2k ,0F 和ω。求系统动力学方程和稳态响应。
图
答案图(a) 答案图(b)
解:
等价于分别为1x 和2x 的响应之和。先考虑1x ,此时右端固结,系统等价为图(a ),
受力为图(b ),故:
t A c A k kx x c x m 1111111cos sin ωωω+=++&&&
(1)
21c c c +=,21k k k +=,m
k k n 2
1+=
ω (1)的解可参照释义(),为:
()()
()()
()
()()
2
2
2111
112
2
2111
121cos 21sin s s t k
A c s s t k
A k t Y ξθωωξθω+--+
+--=
(2)
其中:
n s ωω1=
,2
1112s s tg -=-ξθ x
mg
故(2)为:
考虑到()t x 2的影响,则叠加后的()t x 为:
如图T 2-2所示,重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置,另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上而无弹跳。求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后
的运动规律。
图 T 2-2
答案图 T 2-2
解:
2
22221v g
W h W =
,gh v 22= 动量守恒:
122
122v g
W W v g W +=,gh W W W v 221212+=
平衡位置:
11kx W =,k
W x 1
1=
1221kx W W =+,k
W W x 2
112+=
故: 故:
在图所示系统中,已知m ,1k ,2k ,0F 和ω,初始时物块静止且两弹簧均为原长。
求物块运动规律。
W 2
W 1