实验：数字信号处理课件

1.3 时域离散系统
1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系 1、单位取样响应h(n) 设系统的输入x(n)=δ(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义 这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应，用h(n)表示。 单位取样响应即是系统对于δ(n)的零状态响应。 用公式表示为: h(n)=T［δ(n)］ h(n)和模拟系统中的单位冲激响应h(t)类似，都代表系统的时 域特征。
§1.1 引言
本章作为全书的基础，主要学习： ▪ 时域离散信号的表示方法和典型信号;
▪ 线性时不变系统的因果性和稳定性; ▪ 系统的输入输出描述法－线性常系数差分方程及其解法; ▪ 模拟信号数字处理方法;
§1.2 时域离散信号
对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到
x a (t)|t n T x a (n)T , n n取整数 说明： ▪ xa(nT)是一个有序的数字序列：… xa(-T)、 xa(0)、 xa(T)…，该数字序 列就是时域离散信号。 ▪ 实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表 的是前后顺序。为简化，采样间隔T可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以 称为序列。 ▪ 对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。
1.3 时域离散系统
设系统的输入为x(n)，表示成单位采样序列移位加权和为
x(n) x(m)d(nm)
m
系统的输出为： y (n ) T [
x ( m )d ( n m ) ]
m
y (n ) [
x ( m )d ( n m ) ]
m
y (n ) T [
x ( m ) h ( n m )]
第一章时域离散信号和时域离散系统
§1.1 引言
信号：是一个自变量或几个自变量的函数。如 f1(t)，f2(n1, n2)。 ▪ 如果仅有一个自变量，则称为一维信号； ▪ 如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本书仅研 究一维数字信号处理的理论与技术。 ▪ 信号的自变量：有多种形式，可以是时间、距离、温度、 电压等，我们一般地把信号看作时间的函数。
由于n取整数，下面等式成立：
e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
复指数序列具有以2π为周期的周期性，后面的研究中，频率域 只考虑一个周期
§1.2 时域离散信号
7、周期序列 如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：
x(n)=x(n+N), -∞<n<∞ 周期为N
3、矩形序列RN(n)
1 0nN1
RN(n) 0 其它 n
N称为矩形序列的长度
▪当N=4时，R4(n)的波形如图所示
R4(n) 1
n
▪矩形序列可用单位阶跃序列表示：
01 23
RN(n)=u(n)-u(n-N)
§1.2 时域离散信号
4、实指数序列 x(n)=anu(n)， a为实数
如果|a| < 1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称x(n)为收敛序列； 如果|a| > 1，则称为发散序列。 其波形如图所示。
将以上两个公式结合起来，可表示成：
y(n) =T［ax1(n)+bx2(n)］=ay1(n)+by2(n)
a和b均是常数
1.3 时域离散系统
1.3.2 ▪ 如果系统对输入信号的运算关系T［·］在整个运算过程中不随 时间变化; ▪ 或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关。 ▪ 或者说若系统的输出随输入延迟而延迟同样单位； 则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：
d d d d (1) x ( n ) 3 ( n 4 ) ( n 3 ) ( n 2 ) ( n 1 ) d d d d d 6( n ) 6( n 1 ) 6( n 2 ) 6( n 3 ) 6( n 4 )
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§1.2 时域离散信号
(2) x1(n)的波形是x (n)的波形右移2个单位，再乘以2，波形如 下。
x1(n) 12
6 2 0 1 23 4 5 6 n -2 -6
§1.2 时域离散信号
(3) x2(n)的波形是x (n)的波形左移移2个单位，再乘以2，波形
如下。
x2(n) 12
6 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 n -2 -6
§1.2 时域离散信号
(4) x3(n)的波形：先画x (-n)的波形，然后右移移2个单位， 波形如下。
N=[10,6]=30
§1.2 时域离散信号
8、用单位采样序列来表示任意序列 任意序列x(n)都可以表示成单位采样序列的移位加权和。 即：
x(n), m=n
x(n)x(m)d(nm) x(m) d(n-m) =
m
0 , 其它m
[例]： 用单位采样序列d(n)表示x(n)。
x(n) b a
c
解：x(n)=ad(n+3)+bd(n-3)+c d(n-5)
§1.1 引言
1、信号的分类： ▪ 模拟信号：时间和幅度都取连续值的信号； ▪ 时域离散信号: 幅度取连续值而时间取离散值的信号； ▪ 数字信号：幅度和时间均为离散值的信号 ； 2. 系统的分类： ▪ 模拟系统：系统的输入、输出均为模拟信号； ▪ 数字系统：系统的输入、输出均为数字信号； ▪ 时域离散系统：对时域离散信号进行处理的系统；
1.3 时域离散系统
1.3.1线性系统
满足叠加原理的系统称为线性系统。
设: y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］ 那么线性系统一定满足下面两个公式： 线性系统的可加性；
T［x1(n)+x2(n)］= y1(n)+y2(n) T［a x1(n)］= a y1(n)
线性系统的比 例性或齐次性
例：给定信号x(n) ： x(n)=
2n+5 -4≤n ≤-1 6 0≤n ≤4 0 其它
(1)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；
(2)令x1(n)＝2 x(n-2)， 试画出x1(n)的波形； (3)令x2(n)＝2 x(n+2)，试画出x2(n)的波形； (4)令x3(n)＝ x(2 - n)，试画出x3(n)的波形。 解：
1.3 时域离散系统
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序 列用y(n)表示。设运算关系用T［·］表示，输出与输入之间关
系用下式表示： y(n)=T［x(n)］
其框图如图所示: x(n)
y(n)
T[•]
在时域离散系统中，最重要的是线性时不变系统，因为很多物 理过程可用这类系统表征。
ω ＝ΩT ω ＝Ω/fs
表示凡是由模拟信号采样得到 的序列，模拟角频率Ω与序列 的数字域频率ω成线性关系
§1.2 时域离散信号
6、复指数序列
x(n) = e(σ+jω0)n
ω0为数字域频率
式中：设σ=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：
x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
§1.2 时域离散信号
[例]：求下列两序列的周期N=？
(1) x(n)=Acos(n/4 + /7); (2) x(n)=Asin(n/5) + Bcos(n/3); 解: (1)由于w=/4, 2/w=2×4/=8为整数，则周期 N=8
(2)由于w1=/5, w2=/3, N1=2/w1=10, N2=2/w2=6 序 列 x(n) 的 周 期 N 为 N1 和 N2 的 最 小 公 倍 数 ， 可 得
m
x (n ) h (n )
线性系统的叠加性质
(* )
y (n ) T [ x(m )d (n m )] m
y (n ) [ x(m )d (n m )] m
y(n) T [ x(m )h(n m )] m x(n) h(n)
y (n ) T [ x (m )d (n m )] m
则称序列x(n)为周期性序列。
例：
x(n) sin( n)
4
x(n)sin(4(n8))
x(n)是周期为8的周期序列。
§1.2 时域离散信号
一般正弦序列的周期性 设： x(n)=Asin(ω0n+φ)
x(n+N) = Asin(ω0(n+N)+φ) = Asin(ω0n+ω0N+φ) 如果：x(n+N)= x(n)，要求:ω0N =2k N = (2π/ω0)k，k 的取值要保证N是最小的正整数。 ▪ 当2/ω为整数时，令k=1，序列x(n)的周期为N= 2π/ω0 ； ▪ 当2/ω为有理数时，k总能取到一个整数，使周期N=2k/ω 为一正整数； ▪ 当2/ω为无理数时，k不管取什么整数，都不能使N=2k/ω 为一正整数； 则x(n)是非周期序列。
序列的表示：用公式表示、用图形表示、用集合符号表示。 例如： x(n)={…1.3, 2.5, 3.3, 1.9, 0,4. 1…}
§1.2 时域离散信号
1.2.1 常用的典型序列
1、单位采样序列d(n)：也称为单位脉冲序列
公式表示：d(n) 01
n0 n0
δ (n)
δ (t)
1
－1 0 1 2 3
n
(a )
单位采样序列
0
t
(b)
单位冲激信号
§1.2 时域离散信号
2、单位阶跃序列u(n)
公式表示：
u(n) 01
n0 n0
u(n)
图形表示： 1
类似于模拟信号中 的单位阶跃函数u(t)
012 3
δ(n)与u(n)之间的关系：
… n
δ(n)= u(n) - u(n-1)
u(n) d(nk)
k0
§1.2 时域离散信号
x3(n)
6 3 1
01 2
-1 n -3
§1.2 时域离散信号
2. 给定信号x(n) ：x(n ) R 5(n 1 ) R 4(n 1 )
试用延迟的单位脉冲序列及其加权和画出表示x(n)序列
R5(n+1) -R4(n-1)
x (n)
-1 0 1
n
0
n
d d d x ( n ) ( n 1 ) ( n ) ( n 4 )
y ( n ) T [ x ( m )d ( n m )]
y (n ) T [
x ( m )d ( n m ) ]
m
y(n ) T [ x(m )d (n m )]
m
m
y ( n ) [ x ( m )d ( n m )]
m
［
y (n
y(n ) [ x(m )d (n m )]
§1.2 时域离散信号
5、正弦序列 x(n) = sin(ωn)
ω称为正弦序列的数字域频率，单位是弧 度，表示序列变化的速率，或表示相邻
如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到，那么：
xa(t)=sin(Ωt)
xa(t)|t=nT = sin(ΩnT)
x(n) = sin(ωn)
因为在数值上，序列值与信号采样值相等，因此得到数字频率ω与模拟角 频率Ω之间的关系为
y(n) = T[x(n)] y(n-n0) = T[x(n-n0)]
1.3 时域离散系统
【例】判断系统 y(n)=3x(n)+4 的线性和时变特性？ 解：1. 判断线性特性
根据定义有： 设输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(n)和y2(n)，即：
T[ax1(n)] =3ax1(n)+4; T[bx2(n)]=3bx2(n)+4; 而T[ax1(n)+bx2(n)]=3a x1(n)+3b x2(n)+4 ay1(n)+ by2(n), 所以系统是非线性系统。 2. 判断系统的时变特性 根据定义有：y(n)=T[x(n)] 而T[x(n-n0)]= 3x(n-n0) + 4 = y(n-n0)，是时不变系统。
n -3 0 3 5
§1.2 时域离散信号
1.2.2 序列的运算 序列的基本运算：序列移位(左,右)、加法、乘法、翻转、尺度 变换及卷积等。
1.乘法和加法
序列之间的乘法和加法， 是指它的同序号的序列值 逐项对应相乘和相加，如 图所示。
§1.2 时域离散信号
2. 移位、翻转及尺度变换 ▪ x(n+n0) 表 示 x(n) 左 移 n0 单 位,x(n)的超前序列； ▪ x(n－n0)表示x(n)右移n0单位， x(n)的延时序列； ▪ x(-n) 则 是 x(n) 的 翻 转 序 列 ； ▪ x(mn)是x(n)序列每隔m点 取一点形成的，相当于时间 轴n压缩了m倍。(尺度变换)
§1.2 时域离散信号
例：x(n)= 0.5 n=0和负整数。 y(n)= 0 n= (，0)
1 n取正整数。
2 n= 1, 1.5, 2, , …
判断两函数是否为序列？ 序列
不是序列
强调：序列x(n)中n取整数，非整数时无定义，在数值上(序列
值)等于信号的采样值，即：
x(n)=xa(nT)， -∞＜n＜∞