李代数联系

基于李代数上符号计算,本论文主要研究了可积与超可积系统的可积耦合、自相容源和守恒律,分数阶可积与超可积系统,孤子方程的代数几何解. 本文的主要内容分为以下四个部分：1.用不同的方法研究了三个可积方程族的可积耦合.通过扩展圈代数构造了一个新的谱问题,由屠格式给出耦合mKdV族的可积耦合及其Hamilton结构；从李代数出发,由扩大的谱矩阵构造了Guo族的非线性可积耦合,利用变分恒等式给出其Hamilton结构；引进一组新的显式李代数,构造了方程族的非线性可积耦合及其Hamilton结构.最后基于扩大的矩阵李超代数,由超迹恒等式给出了超Kaup-Newell族的非线性可积耦合及其超Hamilton结构,并通过约化得到了经典Kaup-Newell族的非线性可积耦合. 2.利用构造可积耦合的方法给出了Li族的非线性可积耦合,用源生成理论导出了非线性可积耦合的自相容源及其守恒律；从圈李超代数得到的超Tu族出发,用源生成方法导出带自相容源的Tu族及其守恒律. 3.基于分数阶微积分理论,给出Kaup-Newell族的分数阶可积耦合及其Hamil-ton结构；由分数阶超迹恒等式,得到了分数阶超Broer-Kaup-Kupershmidt族及其分数阶超Hamilton结构,并给出其分数阶非线性可积耦合及分数阶超Hamilton结构. 4.讨论了孤子方程的代数几何解.由一个新的谱问题给出广义Kaup-Newell族及其Hamilton结构.将约化出的Kaup-newell方程分解成可解的常微分方程.引入恰当的椭圆坐标和Abel-Jacobi坐标把流直化,由黎曼定理,根据θ函数得到孤子方程的代数几何解.

正背景简介:从19世纪末诞生到现在,李群李代数已经历了一个多世纪的发展。从研究晶体排列到研究刚体的运动分析,获得了广泛而成功的应用。旋量作为李代数的一个元素,其研究早于李群、李代数的出现,现在已经是一个比较成熟的理论工具。旋量理论与李群、李代数在机构学中的应用,大大地丰富了机构学的研究手段,推动了当代机构学的研究和发展。但是,目前对李群、李代数的应用研究大多都局限在刚体运动学的研究范畴,其在空间机构的综合与优化设计以及连续弹性构件系统的分析等方面还有许多尚未解决的问题,有待于深入的研究和探索。

通过对动力学对称性的介绍,引出构造分子体系Hamiltonian的方法,并介绍李代数方法处理分子"振动-振动耦合"、"振动-转动耦合"Hamiltonian的一般步骤.还以HCO分子体系为例,说明如何选取特定的群链来构造Hamiltonian,并论证了对于该体系群链的唯一性.最后还对一些李代数方法在分子光谱中的其他应用(例如局域模,多原子分子的振转光谱研究)作了初步的介绍,并对于这一方法的不足和局限性做了论述.