2021年正余弦定理及解三角形整理(有答案)

正余弦定理考点梳理：

1.

欧阳光明（2021.03.07）

2. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） A （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sinA ＝cosB ＝c a ，cosA ＝sinB ＝c b ，tanA ＝b

a

。 C B

3.

2．斜三角形中各元素间的关系： a 如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表

示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===。

（R 为外接圆半径） 4.

正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R 的常见变形： (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；

(2)

a sin A ＝

b sin B ＝c

sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； (3)a ＝2Rsin_A ，b ＝2Rsin_B ，c ＝2Rsin_C ；

(4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R .

5.

三角形面积公式：S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝1

2casin B.

6.

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

余弦定理的公式：

222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩

或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪

+-⎪

=

⎨⎪

⎪+-=

⎪⎩

. 7.

（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角.

（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

8.

判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

9.

解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，

如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-

sin

cos ,cos sin ,tan cot 222222

A B C A B C A B C

+++===. 9. 解斜三角形的主要依据是：

设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。 （1）角与角关系：A+B+C = π；

（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ；

（3）边与角关系：大角对大边，小角对小边。

习题整理：

一． 直接应用，解三角形：

1.

在ABC ∆中，已知 45,2,3===B b a ，解三角形。A=60/120°

2.在ABC ∆中，已知,2,32,30===AC AB B 求ABC ∆的周长。a=2/4

3.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知B=2A,a=1,b=3,则c=________.2

4.在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________.

2

4*

*.在△ABC 中，若A ＝60°,b=1,3=∆ABC S ,则a ＋b ＋c

sin A ＋sin B ＋sin C

＝

________. （

3

392）

5.(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π

3，则a ＝________.1 6.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.36 7.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝π

3，a ＝2b ，则b 的值为________.3

8.（2012年高考（重庆文））设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为

a b c 、、,且1

cos 4

a b C ==1，=2，

,则sin B =____ 9.在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是

（ ）

c

A ．钝角三角形.

B ．直角三角形.

C ．锐角

三角形.

D ．不能确定.

10.在△ABC 中,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于 （ ）