最新的高中数学竞赛典型题目(一)

数学竞赛典型题目（一）

1.(2004美国数学竞赛)设n a a a ,,,21 是整数列,并且他们的最大公因子是1.

令S 是一个整数集,具有性质:

（1）),,2,1(n i S a i =∈

（2） }),,2,1{,(n j i S a a j i ∈∈-,其中j i ,可以相同

（3）对于S y x ∈,，若S y x ∈+，则S y x ∈-

证明：S 为全体整数的集合。

2．(2004美国数学竞赛)c b a ,,是正实数，证明：

3252525)()3)(3)(3(c b a c c b b a a ++≥+-+-+-

3．(2004加拿大数学竞赛)T 为1002004的所有正约数的集合，求集合T 的子集

S 中的最大可能的元素个数。其中S 中没有两个元素，一个是另一个的倍数。

4．(2004英国数学竞赛)证明：存在一个整数n 满足下列条件：

（1）n 的二进制表达式中恰好有2004个1和2004个0；

（2）2004能整除n .

5．(2004英国数学竞赛)在0和1之间，用十进制表示为 21.0a a 的实数x 满足：在表达式中至多有2004个不同的区块形式，)20041(20031≤≤++k a a a k k k ，证明：x 是有理数。

6．(2004亚太地区数学竞赛)求所有由正整数组成的有限非空数集S ，满足：如果S n m ∈,，则S n m n m ∈+)

,( 7．(2004亚太地区数学竞赛)平面上有2004个点，并且无三点共线，S 为通过任何两点的直线的集合。证明：点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当S 中有奇数条直线分离这两点。

8．(2004亚太地区数学竞赛)证明：)()!1(*2N n n n n ∈⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-是 偶数。 9．(2004亚太地区数学竞赛)z y x ,,是正实数，证明：

)(9)2)(2)(2(222zx yz xy z y x ++≥+++

10．（2003越南数学竞赛）函数f 满足)0(2sin 2cos )(cot π<<+=x x x x f ，令 )11)(1()()(≤≤--=x x f x f x g ，求)(x g 在区间]1,1[-的上最值。

11．（2003越南数学竞赛）定义17612)(,91524)(2323+-+=+--=x x x x q x x x x p ，证明：

（1）每个多项式都有三个不同的实根；

（2）令A 为)(x p 的最大实根，B 为)(x q 的最大实根，证明：4322=+B A

12．（2003越南数学竞赛）令F 为所有满足++→R R f :且x x f f x f +≥)]2([)3(对任意+∈R x 成立的函数f 的集合。求最大实数A 使得Ax x f ≥)(对所有+∈∈R x F f ,都成立。

13．（2003美国数学竞赛）证明：对于每个n ，我们可以找到一个n 位数，他的所有数字都是奇数，并且可以被n 5整除。

14．（2003美国数学竞赛）一个凸多边形的所有边和所有对角线都是有理数，连接所有的对角线将多边形分成若干的小凸边形，证明：所有小多边形的边长都是有理数。

15．（2003巴尔干数学竞赛）一个矩形ABCD 的边,,n AD m AB ==其中n m ,是互质的奇数。矩形被分成了mn 个单位正方形，对角线AC 交单位正方形于点

C A A A A A N ==,,,,321 ，证明：1223341(1)N N N AC A A A A A A A A mn

--+-+-= 16．（2002美国数学竞赛）S 为含有2002个元素的集合，并且P 是Ｓ所有子集的集合，证明：对于任意)0(P n n ≤≤ ，我们可以将Ｐ的n 个元素染成白色，其余染成黑色，使得Ｐ的任何两个具有相同元素的并集仍有相同的颜色。

17．（2002美国数学竞赛）求所有定义在实数集上的实值函数满足：)()()(22y yf x xf y x f -=-对于任意实数y x ,成立。

18．（2001美国数学竞赛）非负实数z y x ,,满足4222=+++xyz z y x ，证明：

2+≤++≤xyz zx yz xy xyz

19．（2002巴尔干数学竞赛）数列

:}{n a 11213,30,20-+-===n n n a a a a a ，求所有n 使151++n n a a 是完全平方数。

20．（2002巴尔干数学竞赛）Ｎ为正整数的集合，求所有N N f →:使得

2002

220012)())((++=+n n n f n f f 或 21．（2009年协作体）求证：存在无穷多个棱长都是整数的长方体，使其满足每个面的面积都是两个数的平方和，并且其体积等于对角线的平方。

22．（200１巴尔干数学竞赛）一个凸五边形的边长是有理数，并且５个角相等，证明：它是正五边形。

23．（200１巴尔干数学竞赛）正实数c b a ,,满足c b a abc ++≤，证明：abc c b a 3222≥++

24．（200１加拿大数学竞赛）210,,A A A 位于半径为１的圆上，并且21A A 不是直径，点列}{n A 定义如下：n A 是321---∆n n n A A A 的外心，证明： 13951,,,A A A A 共线，并求所有的21,A A 使得2001

100110011A A A A 是一个整数的５０次幂。 25．（2002年越南数学竞赛）n 为正整数，证明：方程2

1111211122=-++-+-x n x x 有唯一的解1>n x ，且∞→n 时，4→n x 26．（2001年越南）对于实数b a ,定义如下数列：.,,,210 x x x 由a x =0，n n n x b x x sin 1+=+确定

（1）若.1=b 证明：对于任何a ，数列有极限;

（2）若.2>b 证明：对于某些a ，数列没有极限.

27．（2000年越南）定义一个正实数序列：.,,,210 x x x b x =0，.1n n x c c x +-=+求所有实数c ，使得对所有),0(c b ∈，数列存在极限.

28．（2002波兰数学竞赛）k 是正整数，数列k ka a a k a a n n n n +-=+=+211,1:}{，