2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(41)

加试模拟训练题（41）（附详细答案）

1、设H是锐角△ABC的垂心，由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ，P、Q为二切点．求证：P、H、Q三点共线．

2、f为定义于非负实数集上的且取非负数值的函数，求所有满足下列条件的f：

(1)f(xf(y))f(y)＝f(x＋y)；

(2)f(2)＝0；

(3)f(x)≠0，当0≤x＜2．

3、 集合A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，满足下列条件(1)、(2)的A 到A 上的映射f 有几个？

(1)i ，j ∈A ，i ≠j 则f(i)≠f(j)；

(2)i ，j ∈A ，i ＋j ＝7，则 f(i)＋f(j)＝7．

4、 求所有的正整数n 、m ，满足5471m n n +=-．

加试模拟训练题（41）

1、设H是锐角△ABC的垂心，由A向以BC为直径的圆作切线AP、

AQ，P、Q为二切点．求证：P、H、Q三点共线．

【题说】1996年中国数学奥林匹克(第11届数学冬令营)题1．

【证】设BC中点为O，连结AO，PQ，交于G，则AO⊥PQ．

在Rt△AQO中，由射影定理有AQ2＝AG·AO (1)

作AD⊥BC于D，则H在AD上．连结BH，延交AC于E，则BE⊥AC，

且E在圆周上．而有H、D、C、E共圆，从而AH·AD＝AE·AC＝AQ2 (2)

由(1)、(2)，得AH·AD＝AG·AO

因此H、D、O、G共圆．从而∠HGO＝180º－∠HDO＝90º，即H在PQ上．

【另证】设BC中点为O，AD、BE为高，则AD、BE都过H，并且E在以BC为直径的圆上，O是这圆的圆心．

因为∠ADC＋∠HEC＝90º＋90º＝180º，所以E、C、D、H四点共圆，

AH·AD＝AE·AC．又AQ是⊙O切线，所以AE·AC＝AQ2．

因为AH·AD＝AQ2，所以△AHQ∽△AQD，∠AHQ＝∠AQD．同理，∠AHP＝∠APD．

因为P、D、Q都在以OA为直径的圆上，所以∠AQD＋∠APD＝180º．

从而∠AHQ＋∠AHP＝180º，即P、H、Q三点共线．

2、f为定义于非负实数集上的且取非负数值的函数，求所有满足下列条件的f：

(1)f(xf(y))f(y)＝f(x＋y)；(2)f(2)＝0；(3)f(x)≠0，当0≤x＜2．

【题说】第二十七届(1986年)国际数学奥林匹克题5．本题由英国提供．

解：如果ω＞2，那么在(1)中取y＝2，x＝ω－2，就得f(ω)＝f((ω－2)f(2))·f(2)＝0

因为x≥0，在(1)中令0≤y＜2，则

这样一来，当0≤y＜2，x＞0时，有

综合上述，所求的f 是

不难验证这一函数满足题中条件．

3、 集合A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，满足下列条件(1)、(2)的A 到A 上的映射f 有几个？

(1)i ，j ∈A ，i ≠j 则f(i)≠f(j)；

(2)i ，j ∈A ，i ＋j ＝7，则 f(i)＋f(j)＝7．

【题说】 1994年日本数学奥林匹克预选赛题8．

【解】 记A 0＝{0，7}，A 1＝{1，6}，A 2＝{2，5}，A 3＝{3，4}．由条件(2)可知A i 中元素的像必在同一个A j ．由(1)，不同的A i ，相应的A j 不同．于是i 与j(1≤i ，j ≤4)的有序对有4！种配法，而各个A j 中的元素作为像可以互换，因而有24种．故所要求的映射共有 4×24＝384(种)

4、 求所有的正整数n 、m ，满足5471m n n +=-．

解 原方程等价于32(1)(1)7m n n n n -+++=． 显然，1n ≠．

当2n ≥时，3221(1)()11,11n n n n n n n -+=-++>++>． 设3217,17a b n n n n -+=++=，其中,a b N +∈．于是，

2(1)(71)(1)()71b a n n n n --=-+=-．

因此，(71)|(71)b a --，即(71,71)71a b b --=-．

又因为(,)(71,71)71a b a b --=-，得到(,)b a b =，即()a kb k N +=∈． 则32177(1)a kb k n n n n -+===++． 当1k =时，有3211n n n n -+=++，2n =． 当2k ≥时，有

32322432(1)(1)(1)(1)330k n n n n n n n n n n n n -+-++≤-+-++=----<，

矛盾．综上所述，2,2n m ==是原方程的唯一一组解．