2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(41)

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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(2)

加试模拟训练题（2）1、设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．2、设 ,,,,21a a a k为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 11213、一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。

加试模拟训练题（2）1、设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．解：令112123123412341,5,14,30,y x y x x y x x x y x x x x =-⎧⎪=+-⎪⎨=++-⎪⎪=+++-⎩ 则 0(1,2,3,4)i y i ≤=，112123234341,4,9,16,x y x y y x y y x y y =+⎧⎪=-++⎪⎨=-++⎪⎪=-++⎩ 于是 ()()()()112223411114916234U y y y y y y y =++-+++-+++-++ 123411*********10.y y y y =++++≤ 当 1121231234123410,50,140,300,y x y x x y x x x y x x x x =-=⎧⎪=+-=⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-=⎩即12341,4,9,16x x x x ====时，max 10.U = 2、设 ,,,,21a a a k为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 1121 证明: 设a a ab b b n n ,,,,,,2121 是的从小到大的有序排列,即 b b b n ≤≤21,因为b i是互不相同的正整数.则n b b b n ≥≥≥,,2,121又因为n 222111132>>>>所以由排序不等式得:n a a a n 22212+++ (乱序) n bb b n22212+++≥ (倒序) n 1211+++≥即 ∑∑==≥n k n k k k k a 1121 成立. 3、一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．【证】将人看作平面上的点，得到一个有3n ＋1个点的图(假定任意三点都不在一直线上)，当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．自一点引出的3n 条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n 条红线，角形中有3个异色角．这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(10)(附答案)

加试模拟训练题（10）1、已知凸四边形ABCD ， ,AB DC 交于点P ， ,AD BC 交于点Q ，O为四边形 ABCD 内一点，且有 BOP DOQ ∠=∠，证明180AOB COD ∠+∠=︒。

2、已知),0(,,∞+∈z y x ，且1=++z y x ，证明：274222≤++x z z y y x 成立的条件.3．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k 号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k 个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？4．求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数．加试模拟训练题（10）1、已知凸四边形ABCD ， ,AB DC 交于点P ， ,AD BC 交于点Q ，O为四边形 ABCD 内一点，且有 BOP DOQ ∠=∠，证明180AOB COD ∠+∠=︒。

证明设 BOP DOQ α∠=∠=，则()sin sin,sin sin AOD QD AQOQD OD OQD OAαα+∠==∠∠，从而有()sin sin AOD AQ OD OA QDαα+∠=。

类似地，有()sin sin AOB AP OBOA BP αα+∠=，因此有()()sin sin AOD AQ OD BP AOB AP OB QD αα+∠=+∠。

同理，由()sin sin ,sin sin COD BOQ BQ QC OQB OB OQB OCα∠-∠==∠∠，可得()()sin sin ,sin sin COD BOC QC OB PC ODBOQ OC BQ DOP OC PDαα∠-∠-==∠∠，因此有()()sin sin COD QC OB PDBOC PC OD QBαα∠-=∠-。

设 AC 与 PQ 交于点L ，由梅涅劳斯定理，1,1AQ DP CL CQ BP ALQD PC LA QB PA LC==，于是有()()()()sin sin 1sin sin AOD COD AOB BOC αααα+∠∠-=+∠∠-。

2013全国数学联赛试题及答案2

AC sin ADC sin APE ， CD sin CAD sin EPF BD BD sin BFD sin PFA AP ，由于 = EF BF sin BDF sin PAF PF
1= SPAE AP PE sin APE BD AC SPFE PF PE sin EPF EF CD
n 1
于任意正整数 n ，都有 S2n 1 bn 2
2
n(u v) 。
2 r 2 (u v )
取 n 2r (u v), r Z 时， S2n 1 2 平方数。综上所述，结论成立。
r 2 (u v)2 2r

2
(u v )
r (u v) 都是完全

k

因此，我们取的 2k 个整数满足要求。原题证明：对于任意正整数 2 n 2k ，都存在正整数 2 r k ，使得 2r 1 n 2r ，由引理存在 2r 个整数它们都不是 n 的倍数，使得任意将它们分为两组都会有一组中有若干个数之和是 n 的倍数。再任意添加 2k 2r 个大于 n 的正整数，则得到满足题意的 2k 个整数。
蕴
秀
斋
2013 年全国高中数学联赛二试参考解答
1、 AB 是圆的一条弦， P 是 AB 上一点， E , F 在线段 AB 上，满足 AE EF FB ，射线 PE, PF 分别与交于 C , D 。求证： EF CD AC BD 。
P w A E F B
证明：由正弦定理
证明：令 bn S2n 1 ，则 b1 S1 a1 u v ，由已知
bn 1

2013年全国高中数学联赛一试二试试题整理详解汇编(一试二试为B卷)(含解答)

AB < BC
∠AP B = ∠BP C
7
AB BC
1
B
A
P
∠BP C = ∠CP D
P
BM BC
C2 =
M; = DM CD
C
D
A, B, C, D
3.
x, y, z
x2 + y2 + z2 = 10
u = 6 − x2 + 6 − y2 + 6 − z2
6 − x2 +
6 − y2 +
2
6 − z2
x = 0, y = 0 (P
x– )
a+c = 0
ac x−
2
+ y2 =
ac 2
a+c
a+c
x–
(0, 0), (2ac/(a + c), 0)
b) x–
A, B, C, D (−1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0)
∠AP B = ∠BP C
P
y–
∠BP C = ∠CP D
1 16
(y1y2
+
8)2
=
0
y1y2 = −8 (−8)2
x1x2 = 16 = 4.
F (1, 0)
−→ −−→ √ x1 − x2 = (x1 + 1) − (x2 + 1) = |F A| − |F B| = 4 3.
4
y2 = 4x
x1, x2
√2 x1 + x2 = (x1 − x2)2 + 4x1x2 = 4 3 + 4 × 4 = 8.
Tn
n=3

2013年全国高中数学联合竞赛加试

2013年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次.一、（本题满分40分）如图，AB 是圆ω的一条弦，P 为弧AB 内一点，E 、F 为线段AB 上两点，满足AE EF FB ==.连接PE PF 、并延长，与圆ω分别相交于点C D 、.求证：EF CD AC BD ⋅=⋅证明连接AD ，BC ，CF ，DE .由于AE=EF=FB ，从而sin =2sin BC BCE B CP BEAC ACE A CP AE⋅∠==⋅∠点到直线的距离点到直线的距离.○1……………10分同样sin =2sin AD ADF A PD AFBD BDF B PD BF⋅∠==⋅∠点到直线的距离点到直线的距离.○2 另一方面，由于BCE BCP BDP BDF ∠=∠=∠=∠， ACE ACP ADP ADF ∠=∠=∠=∠，故将○1，○,2两式相乘可得4BC ADAC BD⋅=⋅，即4BC AD AC BD ⋅=⋅ ○3 ABCDEFPωωPFEDCBA……………30分由托勒密定理AD BC AC BD AB CD ⋅=⋅+⋅○4故由○3，○4得 3AB CD AC BD ⋅=⋅, 即EF CD AC BD ⋅=⋅.……………40分二、（本题满分40分）给定正整数,u v .数列{}n a 定义如下：1a u v =+，对整数1m ≥，221,.m m m m a a u a a v +=+⎧⎨=+⎩记()121,2,m m S a a a m =+++=L L .证明：数列{}n S 中有无穷多项是完全平方数. 证明对正整数n ，有()()()11112345212221n n n S a a a a a a a +++---=+++++++L ()()()11222121n n u v a u a v a u a v a u a v --=++++++++++++++L()2122n n u v S -=++，……………10分所以 ()()()()12112212121222222n n n n n n S u v S u v u v S --------=++=++++ ()21221222n n u v S ---=⋅++()()()11122n n n u v u v --==-⋅+++L()12n u v n -=+⋅.……………20分设2k u v q +=⋅，其中k 是非负整数，q 是奇数.取2n q l =⋅，其中l 为满足()1mod 2l k ≡-的任意正整数，此时2221212n k q l S q l -+⋅-=⋅，注意到q 是奇数，故()()()222111110mod 2k q l k l k k k k -+⋅≡-+≡-+-=-≡，所以，21n S -是完全平方数.由于l 有无穷多个，故数列{}n S 中有无穷多项是完全平方数.……………40分三、（本题满分50分）一次考试共有m 道试题，n 个学生参加，其中,2m n ≥为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有x 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x 分，未答对的学生得零分.每个学生得总分为其m 道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为12n p p p ≥≥≥L ，求1n p p +得最大可能值.解对任意的1,2,,k m =L ，设第k 题没有答对者有k x 人，则第k 题答对者有k n x -人，由得分规则知，这k n x -个人在第k 题均得到k x 分.设n 个学生得得分之和为S ，则有()21111nm m mik k k k i k k k ps x n x n x x ======-=-∑∑∑∑.因为每一个人在第k 道题上至多得k x 分，故11mk k p x =≤∑.……………10分由于21p p ≥≥L ，故有23111n n p p p S p p n n +++-≤=--L .所以 1111211121112111n m m mk k kk k k S p n Sp p p p n n n n x n x x n n ===--+≤=+----⎛⎫≤⋅+⋅- ⎪--⎝⎭∑∑∑ 211121mmk k k k x x n ===-⋅-∑∑. ……………20分由柯西不等式得22111mm k k k k x x m ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑，于是()()()()2111211211111mm n k k k k mk k p p x x m n x m n m n m n ===⎛⎫+≤-⋅ ⎪-⎝⎭⎛⎫=-⋅--+- ⎪-⎝⎭∑∑∑()1m n ≤-.……………40分另一方面，若有一个学生全部答对，其他1n -个学生全部答错，则()()11111mn k p p p n m n =+==-=-∑.综上所述，1n p p +的最大值为()1m n -. ……………50分四、（本题满分50分）设,n k 为大于1的整数，2k n <.证明：存在2k 个不被n 整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组若干个数的和被n 整除. 证明先考虑n 为2的幂的情形.设2,1r n r =≥，则r k <.取3个12r -及23k -个1，显然这些数均不被n 整除.将这2k 个数任意分成两组，则总有一组中含2个12r -，它们的和为2r ，被n 整除.……………10分现在设n 不是2的幂，取2k 个数为22211,1,2,2,,2,1,2,2,,2k k -------L L ，因为n 不是2的幂，故上述2k 个数均不被n 整除. ……………20分若可将这些数分成两组，使得每一组中任意若干个数的和均不能被n 整除.不妨设1在第一组，由于（-1）+1=0，被n 整除，故两个-1必须在第二组；因（-1）+（-1）+2=0，被n 整除，故2在第一组，进而推出-2在第二组.现归纳假设1,2,,2l L 均在第一组，而1,1,2,,2l ----L 均在第二组，这里12l k ≤<-，由于()()()()1112220l l +-+-+-++-+=L ，被n 整除，故12l +在第一组，从而12l +-在第二组.故由数学归纳法可知，221,2,2,,2k -L 在第一组，221,1,2,2,,2k ------L 在第二组.最后，由于()()()()21112220k k ---+-+-++-+=L，被n 整除，故12k -在第一组.因此211,2,2,,2k -L 均在第一组，由正整数的二进制表示可知，每一个不超过21k -的正整数均可表示为211,2,2,,2k -L 中若干个数的和，特别地，因为21k n ≤-，故第一组中有若干个数的和为n ，当然被n 整除，矛盾！因此，将前述2k 个整数任意分成两组，则总有一组中有若干个数之和被n 整除.……………50分。

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(86)

加试模拟训练题（86）（附详细答案）2. 设a 1=1，a 2=3，对一切自然数n 有a n+2=（n+3）a n+1-（n+2）a n求所有被11整除的a n 的值．。

的交点，证明：与是的中点，是上，在点的平分线，是是斜边上的高，中，若直角CE BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC //.1∠∆3. 已知五条线段中任何三条都可以组成一个三角形．证明：这些三角形中至少有一个是锐角三角形．4．设多项式()n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110 的系数都是整数，并且有一个奇数α及一个偶数β使得()αf 及()βf 都是奇数，求证方程()0=x f 没有整数根．加试模拟训练题（86）2. 设a 1=1，a 2=3，对一切自然数n 有a n+2=（n+3）a n+1-（n+2）a n求所有被11整除的a n 的值．【题说】1990年巴尔干地区数学奥林匹克题1．【解】设b n+1=a n+1-a n （n ≥1），则由条件有b n+1=（n+1）（a n -a n-1）=（n+1）b n （n ≥2）b n =nb n-1=n （n-1）b n-2 =…=n （n-1）…3b 2 =n ！（n ≥2）所以 a n =（a n -a n-1）+（a n-1-a n-2）+…+（a 2-a 1）+1。

的交点，证明：与是的中点，是上，在点的平分线，是是斜边上的高，中，若直角CE BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC //.1∠∆CE //BF CKE FKB KE BK KC KF BE BKFC KF BEBK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FCKFEK AE DA CD F E D ACK EPCK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACEHBC ACKEBC BH B EBC ∴≅∴=====⋅⋅=∴⊥︒=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠∆∆∆∆∆＝依分比定理有：＝即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形即：则：的平分线中，作在证：由此可算出：整除．故本题答案为n=4，n=8以及n ≥10．3. 已知五条线段中任何三条都可以组成一个三角形．证明：这些三角形中至少有一个是锐角三角形．【题说】第四届(1970年)全苏数学奥林匹克九年级题1．【证】设五条线段的长度为 a ≤b ≤c ≤d ≤e假设由这些线段组成的任何三角形都不是锐角三角形，那么，在由a 、b 、c ；b 、c 、d ；c 、d 、e 组成的三个三角形中，有 c 2≥a 2＋b 2，d 2≥b 2＋c 2，e 2≥c 2＋d 2 将它们相加，得到 e 2≥a 2＋2b 2＋c 2≥a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2从而e ≥a ＋b ．这样，用e 、a 、b 三条线段便不能组成三角形，矛盾．因此，命题得证． 4．设多项式()n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110 的系数都是整数，并且有一个奇数α及一个偶数β使得()αf 及()βf 都是奇数，求证方程()0=x f 没有整数根．证明由已知有 ()()()0121mod 21mod 2n fa a a a α≡⇔++++≡， ①()()()1mod 21mod 2n f a β≡⇔≡， ②若方程()0=x f 存在整数根0x ，即()00f x =. 当0x 为奇数时，有()()()00120mod 20mod 2n f x a a a a ≡⇔++++≡，与①矛盾.有0x 为偶数时，有()()()00mod 20mod 2n f x a ≡⇔≡，与②矛盾.所以方程()0=x f 没有整数根．。

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(22)

加试模拟训练题（22）（附详细答案）1、已知M 为ABC ∆内一点，由M 分别向,,BC CA AB 作垂线，垂足分别为,,A B C '''。

由 ,,A B C 分别向,,B C C A A B ''''''作垂线，证明这三条垂线交于一点M '。

若A B C '''∆的外心为O ，则,,M O M '三点共线，且O 是线段MM '的中点。

2、若a b c R +∈、、，求证：888333111a b c a b c a b c++++≤3、25个人围一圆桌坐，每小时表决一次，回答为是或否．如果一个人第n次表决时，至少与一个相邻的人回答相同，即么他第n＋1次表决与第n次相同．如果第n次表决时，与两个相邻的人回答均不同，那么他第n＋1次表决与第n次不同．证明不论开始时大家怎样回答，从某一时间起，每个人的回答都不会改变．4、求证方程24=+无正整数解.3y x x加试模拟训练题（22）1、已知M 为ABC ∆内一点，由M 分别向,,BC CA AB 作垂线，垂足分别为,,A B C '''。

由 ,,A B C 分别向,,B C C A A B ''''''作垂线，证明这三条垂线交于一点M '。

若A B C '''∆的外心为O ，则,,M O M '三点共线，且O 是线段MM '的中点。

证明法一连MO ，并延长至M '，使得O 是线段MM '的中点。

设AM 的中点为O '，则O '为由,,,A C M B ''所确定的四边形的外接圆的圆心，因此OO B C '''⊥。

又因为AM '∥OO '，所以有AM B C '''⊥。

【2013西城二模】北京市西城区2013届高三第二次模拟考试理科数学 Word版含答案

北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科） 2013.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4}B =，那么()U A B = ð （A ）{0,1} （B ）{2,3} （C ）{0,1,4} （D ）{0,1,2,3,4}2．在复平面内，复数1z 的对应点是1(1,1)Z ，2z 的对应点是2(1,1)Z -，则12z z ⋅= （A ）1 （B ）2（C ）i -（D ）i3．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是（A ）2sin =ρθ （B ）2sin =-ρθ（C ）2cos =ρθ（D ）2cos =-ρθ4．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值，则判断框内可以填入（A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤ （D ）34k ≤5．设122a =，133b =，3log 2c =，则（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）c a b <<6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是（A ）m n ⊥，n ∥α（B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α （D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα7．已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（A （B （C （D ）8．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（A ）111[1,)(,]243-- （B ）111(1,][,)243--（C ）111[,)(,1]342--（D ）111(,][,1)342--第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙，则 x 甲______x 乙．（填入：“>”，“=”，或“<”）10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是______．（用数字作答）11．在△ABC 中，2BC =，AC 3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．12．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD PD ⊥．若4PC =，2PB =，则CD =______．13．在等差数列{}n a 中，25a =，1412a a +=，则n a =______；设*21()1n n b n a =∈-N ，则数列{}n b 的前n 项和n S =______．14．已知正数,,a b c 满足a b ab +=，a b c abc ++=，则c 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．16．（本小题满分13分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分）如图1，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，面AB C D 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：⊥BC 平面PBD ；（Ⅱ）证明：AM ∥平面PBC ；（Ⅲ）线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(5，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 19．（本小题满分14分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最大值和最小值． 20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x = 是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈ ，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．>； 10．80； 11．3； 12．125； 13．21n +，4(1)nn +； 14．4(1,]3．注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3x π=+α．2分因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α，所以 sin 3==α． …………3分所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α． ………………5分（Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α．所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα． ……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα，整理得 cos 20=α． ………………11分因为 62ππ<<α，所以 23π<<πα，所以 22π=α，即 4π=α． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ， ………………1分则 2334A 1()A 4P A ==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14． ………………4分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20． ………………5分1(0)4P X ==， 2224A 1(5)A 6P X ===， 222344A 11(10)A A 6P X ==+=， 122234C A 1(15)A 6P X ⋅===， 3344A 1(20)A 4P X ===． ………………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分17．（本小题满分14分）【方法一】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，222BD BC CD +=，所以 BD BC ⊥． ………………1分又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分（Ⅱ）证明：取PC 上一点Q ，使:1:4PQ PC =，连结MQ ，BQ ． ………………5分由左视图知 4:1:=PD PM ，所以 MQ ∥CD ，14MQ CD =．…………6分在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=．又 2=BD ，所以1AB =，AD =．又因为 AB ∥CD ，CD AB 41=，所以 AB ∥MQ ，AB MQ =．所以四边形ABQM 为平行四边形，所以 AM ∥BQ ．………………8分因为 ⊄AM 平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以直线AM ∥平面PBC ． ………………9分（Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：……10分因为 ⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -．所以 )3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(M C B A D ．设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分所以)3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有 ||||||AM BN AM BN ⋅=，……………12分所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得 0=t 或2，均适合40≤≤t ．…………13分故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43． ………………14分【方法二】（Ⅰ）证明：因为⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥的空间直角坐标系xyz D -．在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=因为 2=BD ，所以1AB =， AD =由俯视图和左视图可得：)4,0,0(),3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(P M C B A D ．所以 )0,3,3(-=，)0,1,3(=．因为 0001333=⋅+⋅+⋅-=⋅DB BC ，所以BD BC ⊥． ………………2分又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分（Ⅱ）证明：设平面PBC 的法向量为=()x,y,z n ，则有 0,0.PC BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 因为 )0,3,3(-=，)4,4,0(-=，所以 440,30.y z y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取1=y ，得=n )1,1,3(． ………………6分因为 )3,0,3(-=，所以 ⋅AM =n 03101)3(3=⋅+⋅+-⋅． ………………8分因为 ⊄AM 平面PBC ，所以直线AM ∥平面PBC ． ………………9分（Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分所以 )3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有 43||||=⋅BN AM BN AM ，…………12分所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得0=t 或2，均适合40≤≤t ． ………13分故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43． ………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，9(,55P ，所以点M 的坐标为2(,55．………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分解得 47m =． ………………5分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ① ………………6分因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +． ………………7分因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② ………………8分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………10分所以00111622(2)82m x x =+≤++-+， ………………12分当且仅当02x =- 所以 m的取值范围是1(0,2． ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ，且 2()242f x x x a '=-+-． ……………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--，即6350x y +-=． ………………4分（Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………6分（ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得11x =21x =+． ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,12-∞-，(1)2++∞；单调减区间为(1+． ………………8分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………10分② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()3f x a =-．………………11分因为 14(3)(2)3f f a -=-，所以当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是7(2)23f a =-． ………………12分③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-；最大值是7(2)23f a =-．………………14分综上，当2a ≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -，最大值是73a -；当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是53a -73a -；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是533a --723a -；当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -，最大值是723a -．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--； ………………2分排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5． ………………3分（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a ''' 的生成列是与12,,,n b b b ''' ．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,n a a a ''' 第一个不同的项为k a 与k a '，即：n na a '=，11n n a a --'=，，11k k a a ++'=，k k a a '≠．显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k k b b ++'=，下面证明：k k b b '≠． ………………5分由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a ''' 中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21kb l k ''=-+．因为 12,,,k a a a 与12,,,k a a a ''' 是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠，所以 l l '≠，从而 k kb b '≠．所以排列12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 的生成列也不同． ………………8分（Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤- ． ………………9分进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+ ，设该排列的生成列为12,,,n b b b ''' ．所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++ 121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a-=--+-++-22k b =-≥． ………………11分因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n = ，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n nn -++++-= ，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数． ……13分。

2013年全国高中数学联赛模拟试题

等于．３．设数列ｎ１，ａ２， …，ａ， …，满足ａｌ —ａ２ —１，ａ３
、
（本题满分４０分）如图。锐角 △ ＡＢＣ内接于
—２，且对任何自然数，都有ａｎａ卅ａ＋。 ≠１，又
ａｎ＋１口２ｎＨ十３：＝＝ａ＋ｎ＋ｌ＋ａ ” ＋２＋ｎ＋３，则ａ１＋ａ２
（ ∈ Ｎ）．
７．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，抛物线Ｙ。一２ｘ的
焦点为Ｆ，设Ｍ是抛物线上的动点，则
为．
三、（本题满分５Ｏ分）设Ｓ是一些互不相同的四元数组（口，ａ。，ａ。，ａ）的集合，其中ａ一０或１，ｉ＝１，２，３，４．已知Ｓ的元素个数不超过１５，且满足：若（ａ，
二、（本题满分４Ｏ分）设Ｐ
×５０２，则Ｎ除以２０１２的余数是．６．已知函数厂（ｚ）满足对于一切ｚ∈Ｒ都有－厂（ｚ）＋ｆ（２０１２一ｚ）一２０１３成立，且方程２０１２ｆ（ｚ）一２０１３ｘ有７个不同的实数根，则这７个实数根的和
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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(40).doc

加试模拟训练题(40)I、ZsABC具有下面性质：存在一个内部的点F使ZPAB = 10°,ZPBA = 20°, ZPCA 30°, ZE4C=40°.证明：ZsABC是等腰三角形.2、求适合以下条件的所有函数f： [1, +-)-(1, +8)：(l)f(x)W2(x+l)； (2)f (x+1) = [f2(x) —l]/x.3、设项链A有珠14颗，B有珠19颗.对奇数n》l,用n, n+1, n+2,…，n+32给这 33颗珠编号，使每个整数恰用一次，且相邻之珠编号互素，试证最少有6种可行方法.4、k > 2,n A,n2,---,n k自然数，且满足"2|(2"'_1),儿3|(2如一1),“，久|(2"1_1),〃汁(2处一1),证明％ =乃2 =…=为=1。

CO 加试模拟训练题(40)1、 ZsABC 具有下面性质：存在一个内部的点F 使ZPAB = 10°, ZPBA=20° , /PCA = 30°, ZB4C=40°.证明：AABC 是等腰三角形.(第25届(1996年)美国数学奥林匹克题5) [解]作AC 边上的高30,又作AQ 使ZQAD=30° , 交3。

于0 连F0 设直线FQ 交AC 于C'.因为/&4。

=10°+40°=50°,所以 £430=90°—50° =40° , ZPBQ=40° - ZPBA = 20° = ZPBA, ZPAQ= ZPAC~ZQAD = IO° = ZPAB,从而 F 是AABQ 的内心，ZPQA = ZPQB =|(180° -40° -20°) =60° BZPC' A = ZPQA- Z QAC=30°,而ZPCA = 3Q° ,所以 C'与 C 重合. /I/AM QA = QC, QD 平分 AC, BA=BC. 凌勺2、求适合以下条件的所有函数f ： [1, +8)-(1, +8)： |A D (l)f (x) W2(x + 1) ； (2)f (x+1) = [f 2(x) —l]/x.【题说】1994年中国数学奥林匹克(第九届数学冬令营)题3.【解】易见，函数f (x) =x+1满足条件.下面证明这是唯一符合要求的函数.令 g(x) =f (x) — (x+1),由⑵,有 g(x+l) | = | f (x+1) — (x+2) 驴|，八+1K B WI , ---- - ---因f (x)》1,故|gG) He SI •顽E5)1又由 1 Wf (x) W2(x+1),得一 xWg(x)Wx+l代入(1),得2~+2 ' ) M + 1teCx) 1＜半洛代入⑴，得XW 制i因此，对任何自然数n, 令n—8,就得g(x) =0.从而f (x) =x+1是满足本题条件的唯一函数.3、设项链A有珠14颗，B有珠19颗.对奇数nNl,用n, n+1, n+2,…，n+32给这 33颗珠编号，使每个整数恰用一次，且相邻之珠编号互素，试证最少有6种可行方法.【题说】第三届(1993年)澳门数学奥林匹克第二轮题5.【证】A的珠顺次编为n+k, n + k+1,…,n + k+13.B 的珠顺次编为 n+k+14, n + k+15, n+32, n, n+1,…，n+k— 1, lWkW18.当且仅当(n+k, n + k+13) = (n + 32, n) = (n + k—1, n+k+14) = 1 即(n+k, 13) = (n, 32) = (n + k—1, 15) = 1 (*)时，编号合乎要求.因为n为奇数，(n, 32)=1,显然成立.18个连续值中至少2个k能使13|n + k,恰有6 个能使3|n+k—1,至多4个能使5|十k —1,故使(*)不成立的至多2 + 6 + 4=12个值，即至多有6个值能使(*)成立.注：因为连续15个数中有8个数与15互素，连续3个数中必有一个与15互素(3的倍数与 5的倍数至多各1个).故k的18个连续值中至少有9个使n+k-1与15互素，故最小有7 种可行的编号法，7是最佳值.令n = 99,则恰好只有m=3, 6, 8, 9, 11, 14, 15这7个数能使(*)成立.3> k > 2,n v n2,---,n k自然数，且满足〃21 (2"「一 1), 〃31 (2"2 —1), • • •,(2妇—1), 1 (2以-1),证明〃产〃2 =••• = 〃'= 1。

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(8)(附答案)

加试模拟训练题（8）1、已知圆1234,,,O O O O 按顺时针的顺序内切于圆O ，设圆(),14i j O O i j ≤<≤的外公切线长为ij l ，证明依次以12233414,,,l l l l 为边长，以1324,l l 为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。

2.设ABC ∆三边长为c b a ,,，有不等式∑∑-+≥-,)(31)(22c b acb c b ------① 试证不等式①中的系数31是最优的.3、设M={ 1,2,3,…,2m n} (m,n ∈N *)是连续2m n 个正整数组成的集合，求最小的正整数k ，使得M 的任何k 元子集中都存在m+1个数，a 1,a 2,…a m+1，满足a i |a i+1 (i=1,2,…,m).4．已知*,,,N n m b a ∈，且2,1),(>=a b a ，试问mmnnb a b a ++|的充要条件是m n |吗？ 2006年山东省第二届夏令营试题）加试模拟训练题（8）1、已知圆1234,,,O O O O 按顺时针的顺序内切于圆O ，设圆(),14i j O O i j ≤<≤的外公切线长为ij l ，证明依次以12233414,,,l l l l 为边长，以1324,l l 为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。

证明设圆1234,,,,O O O O O 的半径分别为1234,,,,R r r r r ，圆1234,,,O O O O 与圆O 的切点分别为 ,,,A B C D ，1234,,,OO a OO b OO c OO d ====，1223,O OO O OO αβ∠=∠=，3414,O OO O OO γδ∠=∠=，因为12R a r b r =+=+，所以有()()()22222221212122cos 21cos 4sin 2l O O r r a b ab a b ab ab ααα=--=+---=-=，即122l α=。

【解析版】河北省衡水中学2013届高三二模数学理试题

【解析版】河北省衡水中学2013届高三二模数学理试题2013年河北省衡水中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．（5分）设，B={x|x ＞a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（）A ．B ．C ．a ≤1 D ．a ＜1考点：集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据题意A 集合中的元素是在区间（，5）内的整数，再利用A ⊆B ，求出a 符合的条件即可．解答：解：∵A={x|＜x ＜5，x ∈Z}，∴A={1，2，3，4} ∵A ⊆B ，∴a ＜1 故选DA ．B ．﹣ C ．D ．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：将|+|=1两边平方，结合已知条件可算出•=﹣，再用两个向量的夹角公式即可算出向量，夹角的余弦值．解答：解：∵|+|=1， ∴（+）2=2+2•+2=1∵||=||=1，得2=2=1∴代入上式得：2•=﹣1，•=﹣ 因此，向量，夹角的余弦为cos θ==﹣故选：B点评：本题给出向量、满足的条件，求它们夹角的余弦之值，着重考查了平面向量数量积的公式及其运算性质等知识，属于基础题．5．（5分）已知点（2，3）在双曲线C ：上，C 的焦距为4，则它的离心率为（）A ． 2B ．C ．D ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：通过点在双曲线上，以及双曲线的焦距，列出方程组，求出a ，b ，然后求出双曲线的离心率．解答：解：点（2，3）在双曲线C ：上，C 的焦距为4，所以，解得，a=1，b=；又c=2，所以e==2．故选A ．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，注意椭圆与双曲线中a 、b 、c 的区别，考查计算能力．6．（5分）（2007•重庆）若（x+）n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（） A ． 10 B ．20 C ．30 D ．120考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：根据二项式的展开式的二项式系数是64，写出二项式系数的表示式，得到次数n 的值，写出通项式，当x 的指数是0时，得到结果．解答：解：∵C n °+C n 1+…+C n n =2n =64， ∴n=6． T r+1=C 6r x 6﹣r x ﹣r =C 6r x 6﹣2r ，令6﹣2r=0，∴r=3，常数项：T 4=C 63=20，故选B ．点评：本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键．7．（5分）设集合A={0，1，2，3}，如果方程x 2﹣mx ﹣n=0（m ，n ∈A ）至少有一个根x 0∈A ，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（） A ． 7 B ．8 C ．9 D ．10考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：让m 分别取0，1，2，3，求出对应的n 值，则不同的（m ，n ）的个数即为所求．解答：解：若方程为合格方程时，由于m ，n ∈A={0，1，2，3}，故对m 的取值进行分类讨论：当m=0时，方程x 2﹣n=0，由于方程x 2﹣n=0至少有一个根x 0∈A ，故此时n=0，1；同样地，当m=1时，n=0，2；当m=2时，n=0，3；当m=3时，n=0．故合格方程的个数为7个，故选A ．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，排列、组合以及简单的计数原理，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．8．（5分）如图，ABCD 是边长为l 的正方形，O 为AD 的中点，抛物线的顶点为O ，且通过点C ，则阴影部分的面积为（）A ．B ．C ．D ．考点：定积分．专题：计算题．分析：以抛物线的顶点为原点，以平行于AB 的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的方程，则阴影部分的面积等于正方形面积的一半减去抛物线与x=0，x=1，及x 轴所围成的曲边梯形的面积．解解：建立如图所示的坐标系，答：因为正方形ABCD 的边长为1，所以C （1，），设抛物线方程为y=ax 2（a ＞0），则，所以，抛物线方程为，图中阴影部分的面积为：==．故选D ．点评：本题考差了定积分，考查了定积分的简单应用，解答此题的关键是，正确建立平面直角坐标系，求出抛物线的方程，找出被积函数的原函数，从而运用微积分基本定理求解，此题是中档题．9．（5分）（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin （ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（） A ． B ．C ．D ．3考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；待定系数法．分析：求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．解答：解：将y=sin （ωx+）+2的图象向右平移个单位后为=，所以有=2k π，即，又因为ω＞0，所以k ≥1，故≥，故选C点评：本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度．10．（5分）（2010•马鞍山模拟）点P 到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是（）A ．B ．C ．D ．考点：点到直线的距离公式；抛物线的应用．专题：压轴题．分析：到A 和到直线的距离相等，则P 点轨迹是抛物线方程，再注意B 点，用上P 到的距离和点P 到B 的距离相等：再注意这样的点恰好只有一个，因而有△=0，从而可求a 的值．解答：解：法一由题意有点P 在抛物线y 2=2x 上，设P （，y ），则有（+）2=（﹣a ）2+（y ﹣2）2，化简得（﹣a ）y 2﹣4y+a 2+=0，当a=时，符合题意；当a ≠时，△=0，有a 3﹣++=0，（a+）（a 2﹣a+）=0，a=﹣．故选D ．法二由题意有点P 在抛物线y 2=2x 上，B 在直线y=2上，当a=﹣时，B 为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，B 为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D ．故选D ．点评：本题主要考查抛物线的概念、性质，以及数形结合的思想．法一代数法，法二是几何法．11．（5分）（2011•大连二模）从点P 出发的三条射线PA ，PB ，PC 两两成60°角，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点，若球的体积为，则OP 两点之间的距离为（）A ．B ．C ．D ．2考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题．分析：连接OP 交平面ABC 于O'，由题意可得：O'A==．由AO'⊥PO ，OA ⊥PA 可得，根据球的体积可得半径OA=1，进而求出答案．解答：解：连接OP 交平面ABC 于O'，由题意可得：△ABC 和△PAB 为正三角形，所以O'A==．因为AO'⊥PO ，OA ⊥PA ，所以，所以．又因为球的体积为，所以半径OA=1，所以OP=．故选B ．点评：本题考查空间中两点之间的距离，解决此类问题的方法是熟练掌握几何体的结构特征，考查计算能力．12．（5分）（2012•开封一模）已知以T=4为周期的函数，其中m ＞0，若方程3f（x ）=x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为（）A ．（，）B ．（，）C ．（，）D ．（，）考点：根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．专题：计算题；压轴题．分析：根据对函数的解析式进行变形后发现当x ∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f （x ）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m 的范围．解答：解：∵当x ∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x 2+=1（y ≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x ∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线 y=与第二个椭圆（x ﹣4）2+=1（y ≥0）相交，而与第三个半椭圆（x ﹣8）2+=1 （y ≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将 y=代入（x ﹣4）2+=1 （y ≥0）得，（9m 2+1）x 2﹣72m 2x+135m 2=0，令t=9m 2（t ＞0），则（t+1）x 2﹣8tx+15t=0，由△=（8t ）2﹣4×15t （t+1）＞0，得t ＞15，由9m 2＞15，且m ＞0得 m ，同样由 y=与第三个椭圆（x ﹣8）2+=1 （y ≥0）由△＜0可计算得 m ＜，综上可知m ∈（，）故选B点本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判评：断，及函数的周期性，其中根据方程根与函数零点的关系，结合函数解析式进行分析是解答本题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知cos2θ=，则sin 4θ+cos 4θ= ．考点：二倍角的余弦．专题：计算题．分析：把sin 4θ+cos 4θ配方为完全平方式，然后根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简后，把cos2θ的值代入即可求出值．解答：解：==；故答案为．点评：本题要求学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道基础题．14．（5分）在约束条件下，过点（1，1）目标函数z取得最大值10，则目标函数z=x+9y（写出一个适合题意的目标函数即可）．简单线性规划．考点：专不等式的解法及应用．题：分画出满足约束条件的可行域，设出目标函数析：的解析式，结合目标函数z在点（1，1）取得最大值10，结合直线斜截式方程的几何意义，可构造出满足条件a，b的关系式，取一组满足条件的a，b的值，即可得到答案．解解：满足约束条件的可行域如下图所示：答：设目标函数为z=ax+by 则y=x+若目标函数z 在点（1，1）取得最大值10，则令a=1，则b=9满足条件故答案为：x+9y （主观题，满足条件即可）点评：本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据目标函数z 在点（1，1）取得最大值10，结合直线斜截式方程的几何意义，构造出满足条件a ，b 的关系式，是解答的关键．15．（5分）四棱锥P ﹣ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为，则该球表面积为 12π ．考点：球内接多面体；由三视图还原实物图；球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：将三视图还原为直观图，得四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R ，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．解答：解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD 的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O ，则O 也是正方体的中心，设EF 中点为G ，连接OG ，OA ，AG 根据题意，直线EF 被球面所截得的线段长为，即正方体面对角线长也是可得AG==a ，所以正方体棱长a=2 ∴Rt △OGA 中，OG=a=1，AO= 即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR 2=12π 故答案为：12π点评：本题将三视图还原为直观图，并且求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于基础题．16．（5分）已知等差数列a n 的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n ，若a 1＞1，a 4＞3，S 3≤9，设b n =2n a n ，则b 1+b 2+…+b n 的结果为 4+n •2n+1 ．考点：数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：由已知可得a 1+3d ＞3，3a 2≤9⇒d ＞，a 1+d ≤3⇒a 1≤3﹣d ＜3﹣==2结合等差数首项a 1及公差d 都是整数可得a 1=2 则＜d ≤1⇒d=1，从而可得a n =2+1×（n ﹣1）=n+1，b n =2n a n =2n （n+1），利用乘公比错位相减的方法求和即可解答：解：因为a 1＞1，a 4＞3，S 3≤9，所以a 1+3d ＞3，3a 2≤9⇒d ＞，a 1+d ≤3⇒a 1≤3﹣d ＜3﹣==2．∵等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数 ∴a 1=2 则＜d ≤1⇒d=1． ∴a n =2+1×（n ﹣1）=n+1． ∴b n =2n a n =2n （n+1）令S n =b 1+b 2+…+b n=2•21+3•22+…+n •2n ﹣1+（n+1）•2n ①∴2S n =2•22+3•23+…+n •2n +（n+1）2n+1② ①﹣②得，﹣S n =2•21+22+…+2n ﹣（n+1）•2n+1==﹣n •2n+1 ∴S n =n •2n+1 故答案为：n •2n+1点等差数列、等比数列的通项公式、和的求解的综评：合一直是数列部分的考查重点之一，而数列的求和中“错位相减”的求和方法又是求和的重点和难点，要注意方法的把握．三.解答题（共6个小题，共70分）17．（10分）（2013•南开区二模）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10，15）10 0.25[15，20）24 n[20，25）m p[25，30）20.05合计M 1（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．考点：随机抽样和样本估计总体的实际应用；频率分布直方图．专题：计算题；图表型．分析：（I ）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值．（II ）根据该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．（III ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设出在区间[20，25）内的人为a 1，a 2，a 3，a 4，在区间[25，30）内的人为b 1，b 2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．解答：解：（Ⅰ）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，∴M=40．∵频数之和为40，∴10+24+m+2=40，m=4.．∵a 是对应分组[15，20）的频率与组距的商， ∴ （Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设在区间[20，25）内的人为a 1，a 2，a 3，a 4，在区间[25，30）内的人为b 1，b 2．则任选2人共有（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，a 4），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，a 3），（a 2，a 4），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，a 4），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（a 4，b 1），（a 4，b 2），（b 1，b 2）15种情况，而两人都在[25，30）内只能是（b 1，b 2）一种， ∴所求概率为．点评：本题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，本题是一个基础题．18．（12分）已知α为锐角，且，函数，数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=f （a n ）．（1）求函数f （x ）的表达式；（2）求证：数列{a n +1}为等比数列；（3）求数列{a n }的前n 项和S n ．考点：数列与函数的综合．专题：综合题；转化思想．分析：（1）由，将代入可求解，由α为锐角，得α=，从而计算得进而求得函数表达式．（2）由a n+1=2a n +1，变形得a n+1+1=2（a n +1），由等比数列的定义可知数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列．（3）由（2）得a n =2n ﹣1，转化为一个等比数列与一个等差数列的和的形式，可计算得．解答：解：（1）∵又∵α为锐角 ∴α=∴∴f （x ）=2x+1（2）∵a n+1=2a n +1，∴a n+1+1=2（a n +1） ∵a 1=1∴数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列．（3）由上步可得a n +1=2n ，∴a n =2n ﹣1 ∴点评：本题主要考查数列与三角函数的综合运用，主要涉及了倍角公式，求函数解析式，证明数列以及前n 项和．19．（12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ﹣ABCD 中AD ∥BC ，PD ⊥平面ABCD ，AD=1，，BC=4．（Ⅰ）求证：BD ⊥PC ；（Ⅱ）求直线AB 与平面PDC 所成的角；（Ⅲ）设点E 在棱PC 上，，若DE ∥平面PAB ，求λ的值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间角；空间向量及应用．分析：如图，在平面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F 分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．（1）只要证明，即可得到BD⊥PC；（2）由（1）即可得到平面PDC 的法向量为，求出，求出向量与的夹角，即可得到线面角；（3）先求出平面PAB 的法向量，若DE∥平面PAB，则即可得出λ．解答：解：如图，在平面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．（1）证明：设PD=a，得B，P（0，0，a），C则，∵，∴BD⊥PC．（2）由（1）知．由条件知A（1，0，0），B（1，，0），设AB与面PDC所成角大小为θ，则．∵0°＜θ＜90°，∴θ=60°，即直线AB与平面PDC所成角为60°．（3）由（2）知C（﹣3，，0），记P（0，0，a），则，，，，而，∴，==．设为平面PAB的法向量，则，即，即取z=1，得x=a，进而得，由DE∥平面PAB，得，∴﹣3aλ+a﹣aλ=0，而a≠0∴．点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系．利用向量垂直与数量积的关系、平面PDC 的法向量为与斜线的夹角得到线面角DE ∥平面PAB ⇔等是解题的关键．20．（12分）已知椭圆（a ＞b ＞0）经过点M （1，），且其右焦点与抛物线的焦点F 重合．①求椭圆C 1的方程；②直线l 经过点F 与椭圆C 1相交于A 、B 两点，与抛物线C 2相交于C 、D 两点．求的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①首先求出抛物线的焦点坐标，则c 可求，结合椭圆的隐含条件及点M （1，）在椭圆上，进一步列式可求椭圆方程；②分直线l 的斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，可以直接求出A ，B ，C ，D 四点的坐标，则的值可求，当斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程及抛物线方程联立后，运用弦长公式把用直线的斜率表示，然后利用基本不等式求其最值．解答：解：如图，①解法1：由抛物线方程为y 2=4x ，得其焦点F （1，0），∵椭圆右焦点与抛物线焦点重合，∴c=1．故a 2﹣b 2=c 2=1 ① 又椭圆C 1经过点，∴②由①②消去a 2并整理，得，4b 4﹣9b 2﹣9=0，解得：b 2=3，或（舍去），从而a 2=b 2+1=4．故椭圆的方程为．解法2：由抛物线方程，得焦点F （1，0）， ∴c=1．∴椭圆C 1的左右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）． ∵椭圆（a ＞b ＞0）经过点M （1，），∴=4．∴a=2，则a2=4，b2=a2﹣c2=4﹣1=3．故椭圆的方程为．②当直线l垂直于x轴时，则A（1，），B（1，），C（1，2），D（1，﹣2）．∴．当直线l与x轴不垂直，设其斜率为k（k≠0），则直线l的方程为：y=k（x﹣1）．联立，得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．△=（﹣8k2）2﹣4×（3+4k2）×（﹣12）=64k4+192k2+144＞0．∴方程有两个不等的实数根．设A（x1，y1），B （x2，y2）．则，．所以，===．由，得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=[﹣（2k 2+4）]2﹣4k 4=16k 2+16＞0，∴方程有两个不等的实数根．设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）． ∵k ≠0，∴，由抛物线的定义，得．∴=．综上，当直线l 垂直于x 轴时，取得最大值．点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想及分类讨论思想，考查了弦长公式，解答此类问题的关键是，常常采用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线交点的坐标，解答时不求坐标，而是运用根与系数关系求出两个点的横坐标的和与积，然后结合已知条件整体代入求解问题，此题是难题．21．（12分）（2010•海淀区二模）给定椭圆，称圆心在原点O ，半径为的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F 的距离为．（I ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程．（II ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点，且l 1，l 2分别交其“准圆”于点M ，N ．①当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求l 1，l 2的方程；②求证：|MN|为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题；分类讨论．分析：（I ）由椭圆的方程与准圆的方程关系求得准圆的方程（II ）（1）由准圆x 2+y 2=4与y 轴正半轴的交点为P （0，2），设椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，与准圆方程联立，由椭圆与y=kx+2只有一个公共点，求得k ．从而得l 1，l 2方程（2）分两种情况①当l 1，l 2中有一条无斜率和②当l 1，l 2都有斜率处理．解答：解：（I ）因为，所以b=1 所以椭圆的方程为，准圆的方程为x 2+y 2=4．（II ）（1）因为准圆x 2+y 2=4与y 轴正半轴的交点为P （0，2），设过点P （0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，所以，消去y ，得到（1+3k 2）x 2+12kx+9=0，因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点，所以△=144k 2﹣4×9（1+3k 2）=0，解得k=±1．所以l 1，l 2方程为y=x+2，y=﹣x+2．（2）①当l 1，l 2中有一条无斜率时，不妨设l 1无斜率，因为l 1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当l 1方程为时，此时l 1与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=﹣1），即l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l 1方程为时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4，设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x﹣x0）+y0，则，消去y得到x2+3（tx+（y0﹣tx0））2﹣3=0，即（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0，△=[6t（y0﹣tx0）]2﹣4•（1+3t2）[3（y0﹣tx0）2﹣3]=0，经过化简得到：（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，因为x02+y02=4，所以有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，所以t 1•t 2=﹣1，即l 1，l 2垂直．综合①②知：因为l 1，l 2经过点P （x 0，y 0），又分别交其准圆于点M ，N ，且l 1，l 2垂直，所以线段MN 为准圆x 2+y 2=4的直径，所以|MN|=4．点评：本题主要考查直线与曲线的位置关系，通过情境设置，拓展了圆锥曲线的应用范围，同时渗透了其他知识，考查了学生综合运用知识的能力． 22．（12分）设函数．（Ⅰ）当时，求f （x ）的最大值；（Ⅱ）令，（0＜x ≤3），其图象上任意一点P （x 0，y 0）处切线的斜率k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1，方程2mf （x ）=x 2有唯一实数解，求正数m 的值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；压轴题．分（I ）函数的定义域是（0，+∞），把代入函析：数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可；（II ）即函数F （x ）的导数在（0，3]小于或者等于恒成立，分离参数后转化为函数的最值；（III ）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程2mf （x ）=x 2有唯一实数解，得到m 所满足的方程，解方程求解m ．解答：解：（I ）依题意，知f （x ）的定义域为（0，+∞），当时，，（2′）令f'（x ）=0，解得x=1．（∵x ＞0）因为g （x ）=0有唯一解，所以g （x 2）=0，当0＜x ＜1时，f'（x ）＞0，此时f （x ）单调递增；当x ＞1时，f'（x ）＜0，此时f （x ）单调递减．所以f （x ）的极大值为，此即为最大值…（4分）（II ），x ∈（0，3]，则有≤，在x 0∈（0，3]上恒成立，所以a ≥，x 0∈（0，3]，当x 0=1时，取得最大值，所以a≥…（8分）（III）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，则．令g'（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．因为m＞0，x＞0，所以（舍去），，当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．（12′）则既所以2mlnx2+mx2﹣m=0，因为m＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*）设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，即，解得．…（12分）点本题考查导数在研究函数性质、研究不等式和方评：程问题中的综合运用，试题的难度不大，但考查点极为全面．本题的难点是第三问中方程解的研究，当函数具有极值点时，在这个极值点左右两侧，函数的单调性是不同的，这样就可以根据极值的大小，结合函数图象的变化趋势确定方程解的个数，如本题中函数在定义域内有唯一的极值点，而且是极小值点，也就是最小值点，如果这个最小值小于零，函数就出现两个零点，方程就有两个不同的实数解，只有当这个最小值等于零时，方程才有一个实数解，而最小值等于零的这个极小值点x满足在此点处的导数等于零，函数值也等于零，即我们的解析中的方程组，由这个方程组求解m使用了构造函数通过函数的性质得到x2的方法也是值得仔细体会的技巧．。

2013年全国数学竞赛试题详细参考答案

（第3题）一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（）．（A ）7 （B ）12+ （C ）72+ （D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得21x ==2y ==，所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7．另解：由已知得：2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条（B ） 8条（C ）10条（D ）E12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）．（A（B ）1 （C （D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ．设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==．另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要（第4题）（第8题）接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==．因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．（第8题答案）（第9题答案）另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF 交 AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形，即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为．【答】163．解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△，所以a r ah a b c=++．因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=，所以 (1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=⋅=-=-++()a b c a b c+=++，故 879168793DE ⨯+==++（）．另解：ABC S rp ∆===（这里2a b cp ++=）所以12r ==2ABC a S h a ===△ 由△ADE ∽△ABC ，得23a a h r DE BC h -===，即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯，其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++=　则因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6；当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。

山东省2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题

山东省莱芜市2013届高三第二次模拟考试数学（理）数学（理工农医类）2013.04本试卷共4页，分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在中，“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.集合，则下列关系正确的是A.=RB.C.D.4.已知双曲线的实轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程是A. B. C. D.5.已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：①若，则；②若；③若；④若.A.①②B.②③C.①④D.②④6.设，则二项式展开式中的项的系数为A. B.20 C. D.1607.已知函数（x＞），当时，取得最小值.则在直角坐标系中，函数的大致图象为8.有一平行六面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为A. B.C. D.429.已知＜.若＜恒成立，则的取值范围是A. B.C. D.10.运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为A. B. C. D.11.定义在R上的函数的导函数为,已知是偶函数，＜0.若x1＜x2,且＞2，则的大小关系是A.＜B.C.＞D.不确定12.某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额.那么各班代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数可表示为A. B.C. D.第II卷（非选择题共90分）注意事项：1.将第II卷答案用0.5mm的黑色签字笔在答题纸的相应位置上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.、二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.如图，在________.14.某市为增强市民的节约粮食意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第四组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示若用分层抽样的方法从第3，4，5组中共抽取了12名志愿者参加10月16日的“世界粮食日”宣传活动，则从第4组中抽取的人数为__________.15.在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若，，则角B=__________.16.如图，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，上顶点A，离心率为，点P为第一象限内椭圆上的一点，若则直线PF1的斜率为_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数（I）求的最小正周期和最大值；（II）在给出的坐标系中画出函数上的图象，并说明的图象是由的图象怎样变换得到的.18.（本小题满分12分）甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：①连续竞猜3次，每次相互独立；②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖.（I）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；（II）现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望.19.（本小题满分12分）已知正三棱柱，点D为AC的中点，点E在线段AA1上.（I）当时，求证；（II）是否存在点E，使二面角D—BE—A等于60°？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）某工厂为扩大大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万年，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.（I）设第n年该生产线的维护费用为，求的表达式；（II）若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线.求该生产线前n年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？21.（本小题满分12分）已知定点，B为x轴负半轴上的一个动点，动点M使得，且线段BM的中点在y轴上.（I）求动点M的轨迹C的方程；（II）设EF为曲线C的一条动弦（EF不垂直于x轴），其垂直平分线与x轴交于点T（4，0）,当 P=2时，求的最大值.22.（本小题满分14分）已知函数.（I）当的单调区间；（II）若不等式有解，求实数m的取值范围；（III）定义：对于函数在其公共定义域内的任意实数，称的值为两函数在处的差值.证明:当时，函数在其公共定义域内的所有差值都大于2.。

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(28)

(1)125|1993－k，321|1994＋k
因为1993＝15·125＋118，所以125|k－118，k≥118，在k＝118时，125|1993－k并且32|1994＋k．
(2)125|1994＋k，32|1993－k，因为1994＝15·125＋119，所以k＝125r－119，1993－k＝32×62－125r，从而32|r，k≥125×32－119＞118．
因此，所求的数是118．
4．如n是不小于3的自然数，以表示不是n的因数的最小自然数[例如 =5].如果 ≥3，又可作 .类似地，如果 ≥3，又可作等等.如果，就把k叫做n的“长度”.如果用表示n的长度，试对任意的自然数n（n≥3），求，并证明你的结论.（第3届全国中学生数学冬令营试题）
【解】令为非负整数，t为奇数.当m=0时，，因而ln=1；
【证】最小常数c＝2．
首先，我们证明：如果f满足(1)－(3)，则f(x)≤2x对一切x∈[0，1]成立．
由(3)与(1)，f(x)≤f(x)＋f(y)≤f(x＋y)，即f(x)在[0，1]上是增函数．
对x∈(0，1]，取非负整数n，使
而由(3)，2f(x)≤f(2x)，所以
2nf(x)≤2n－1f(2x)≤2n－2f(22x)≤…≤f(2nx)≤f(1)＝1＜2n＋1x
当时，设u是不能整除奇数t的最小奇数，记
（1）若
（2）若
故
【题说】第十一届(1993年)美国数学邀请赛题9．
标n．所以，两个正整数l、m标记同一个点当且仅当
从而，如果标1993的点也标k，则
必须是4000的倍数．
因为(1993－k)＋(1994＋k)＝3987不被2与5整除，所以1993－k和1994＋k奇偶不同，且不能同时被5整除．若k＜1993，则1994＋k＜32×125＝4000，所以1993－k和1994＋k中一个是125的倍数，另一个是32的倍数．考虑以下两种情况：