全国高中数学联合竞赛模拟试题及答案

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(完整word版)No.42全国高中数学联合竞赛模拟试题

第-1项No ・42咼中数学联赛模拟试卷一、填空题：本大题共 8小题，每小题8分，共64分•把答案填在横线上•1.方程 log x sinx22在区间(0,—］上的实根个数为28 ( 1)n 1的前n 项和为S n ，则满足不等式34•圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有 __________________ 个交点.5•一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在 n次爬行后恰好回到起始点的概率为 ____________________ .6.设0是平面上一个定点，A ， B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足uuu OP uurAC uur |AC|uun OA uuu AB 甘出 -tu*4，其中|AB|[0,)，则点 P 的轨迹为•7.对给定的整数 m,付号 (m)表示1,2,3中使m (m)能被3整除的唯一值，那么一2010一2010〜、 —2010 亠、(2 1)(2 2) (28•分别以直角三角形的两条直角边 a ，b 和斜边c 为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的2 2 2体积依次为 V ，V b ，V c ，则V a V b 与(2V c )的大小关系是 ____________________________ . 二、解答题：本大题共 3小题，共56分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.(本小题满分16分)是否存在实数a ，使直线y ax 1和双曲线3x 2 y 2 1相交于两点 A 、 B ，且以AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点？2.设数列 |S n 6| —的最小整数 n 是1253•已知n ( n 2 )是常数，且X i ， X 2，L ， X n 是区间0_内任意实数，则函数，2f(x ,,sin X n cos X i 的最大值等于2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数f:Z 1,2,3，满足对任意的整数x , y ,若|x y| 2,3,5，则f(x) f(y).3.（本小题满分20分）设非负实数a，b ，c满足a b c 1 ，求证：9abc ab be ca 1(1 9abc)第-2项第-3项间（%］上有且只有一个实根.2 .23 ^ ab 宁，2 2 2sin x 2 cos x 3 L sin 人(sin 2 为 cofxj (sin 2x 2 cos x ?) L (sin 2 x n cos x n )2、填空题 1•设 f（X ）又 0 In —2 参考答案1 log x sin x 2，贝U f (x)cosx , v 0 x2xln21 , • f （x ） 0，即在区间（0,—］上单调递增,2 故方程 ,• 0 cosx 1 ,2log x sin x 2 在区 ~22.易知数列 8(i)n 1 是首项是8 ,3比数列，S n18[1 ( -)n ]汁61篇16( 3T ，于是 |S n6|1 1252 3n 1 * 11253n 1 250 ,35 243 250, 36729 250，故最小整数7.••• f(^,X 2 丄,X n ) sin % cosx 2 sin x 2 cosx 3sin x n cos^.2 2sin % cos x 25.2n 2( 1)n 3 2n 设第k次到达2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数f:Z 1,2,3，满足对任意的整数x , y ,点A为事件D,从点C到点A为事件E,则An=B n-1*D+C n-1*E,则（顺便说明一下：A是出发点）第-4项2第-5项户(&$ =冋酩帀+瓦寸E) = /熄可-F[P) +尸亿空1) r (£) */ F (爲7) = HP) = n =豆九T - +G — => F (0I )-扣-~尸｛九 i)i-T£O*/ ^(-\) = (J尸:气J ---巩九〕=§ETC 广uuu 6. •/ OPuuur AC uuur |AC|uu u OAuuu AB uuu , I ABI uuu ••• OP uu u OAuuu (AB (uuu I AB|uiur AC 、 -utu^), |AC|uuu 即APuuu ABuuu |AB| uuurAC ) uuur ) I AC |uuu AB 又 uuu |AB|uuur AC uiur |AC|为单位向量，由向量加法的平行四边形法则,知点P 的轨迹为BAC 的平分线.7•由二项式定理知,22010 41005 (31)1005 3p 1,即 22010被3除余1,• (22010 1)3, (22010 2) 1(220103) 2 2010八故(2 1) 2010 2010(2 2) (23) 6.8. I V a 2V b 2(-b 2a)2(- a 2b)22-a 2b 2(a 2 b 2)22i 2 2a b c ,9(2V c )2 (2 -h 2(a3b))2斗浮)4c 29 c4-4a b c•作商，有V(2V c )24c 4a 2b 2z 22\2(a b ) 4a 2b 2(2ab)2 4a 2b 21，故 V a 2V b 2 (2V c )2.二、解答题9•解：设交点A、B 的坐标为A（X i，yJ、B（X2』2），由3x2 ax2y1消去y，得1(3 a2)x2 2ax 2 0,2a2，由韦达定理，得x< x22，①3 a2第-6项2第-7项•- x1x2y』20,即x1x2(ax11)(ax2 21) 0,整理，得(a 1)X1X2 a(x1 X2) 1 0 ③1 a2d将①②代入并化简 2 0, • a 1 ,3 a2经检验，a 1确实满足题目条件，故存在实数a满足题目条件.10.证明：假设存在这样的函数f，则对任意的整数n，设f(n) a , f (n 5) b，其中a,b 1,2,3 ，由条件知a b.由于|(n 5) (n 2)| 3，|n (n 2)| 2，••• f (n 2) a 且f(n 2) b ,即f(n 2)是1,2,3除去a , b后剩下的那个数，不妨设f(n 2) c又由于|(n 5) (n 3)| 2, |n (n 3)| 3, • f(n 3) f (n 2).以n 1 代替n，得f(n 4) f (n 3) f (n 2)，但这与| (n 4) (n 2) | 2 矛盾！因此假设不成立，即不存在这样的函数f•11.证明：先证左边的不等式.••• a b c 1,• ab bc ca (ab bc ca)(a b c) a2b ab2 b2c bc2 a2c ac2 3abc6abc 3abc 9abc或者ab bc caabc(--a b丄），只证c1 1a b1c9用排序或者1的代换易证。

(完整word版)No.30全国高中数学联合竞赛模拟试题

No.30 高中数学联赛模拟试卷1、抛物线2x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________。

2、991715131+⋯+++=s 的整数部分是。

3、在棱长为2的正四面体内任取一点P ，P 到四面体四个面的距离分别记为1PP ，2PP ，3PP ，4PP ，则=+++4321PP PP PP PP 。

4、在三棱锥ABC S -中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，4==SB SA ，6=SC , 在三棱锥的内部有一个与三棱锥的四面体都相切的球，则此球的半径=R .5、若⎩⎨⎧<≥+=0,1,0,1)(x x x x f 则)2(cos f = 。

当)2,0[π∈x 且满足1)(sin cos >+x f x 的x 的集合为。

6、已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2≤n ≤8，则n =______。

7、双曲线k y x =-22关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k 的值等于。

8、求函数4803224+++-=x x x y 的最小值和取最小值时x 的值9、证明圆222)()(r b y a x =-+-的两条互相垂直的切线n m ,的交点P 的轨迹方程是2222)()(r b y a x =-+-。

10、密码员王超设计了一种给自然数编码的方法：（1）先将自然数表示成五进制数（逢五进一）（2）再将五进制中的5个数码与集合}{Z Y X W V ,,,,中的元素建立一个一一对应，后来，他发现三个递增的相邻的十进制自然数被编成VVW VYX VYZ ,,求被编成VWXYZ 的数所对应的十进制数。

11、数列｛a n ｝的定义是：12331211,1,2,(7)n n n na a a a a a a +++====+，证明，该数列中的项都是正整数。

（德国）12、已知b a ,是正数，并且2009200920072007ab a b +=+，求证222≤+b a 。

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案6

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一．选择题（满分36分，每小题6分）1．给定公比为q(q≠1)的等比数列{a n}，设b1＝a1＋a2＋a3，b2＝a4＋a5＋a6，…，b n＝a3n-2＋a3n-1＋a3n,…，则数列{b n}( )(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既非等差数列也非等比数列2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(| x |－1)2＋(| y |-1)2＜2的整点(x，y)的个数是( )(A)16 (B)17 (C)18 (D)253．若(log23)x-(log53)x≥(log23)y--(log53)y-，则( )(A)x-y≥0 (B)x＋y≥0 (C)x-y≤0 (D)x＋y≤04．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么，( )(A)命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确(B)命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。

那么，在上述3名选手之间比赛的场数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)36．已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2＝4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是( )(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)答案不确定二．填空题（满分54分，每小题9分）1．已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________．2．已知θ＝arctg 125，那么，复数ii z ++=2392sin 2cos θθ的辐角主值是______ ___． 3．在△ABC 中，记BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，若9a 2＋9b 2-19c 2＝0，则B AC ctg ctg ctg +＝__________．4．已知点P 在双曲线191622=-y x 上，并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰是P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P 的横坐标是_____．5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0中的a ，b ，c 是取自集合{-3，-2，-1，0，1，2，,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是__ ____．6．已知三棱锥S -ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，二面角H -AB -C 的平面角等于30︒, SA ＝23。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为．答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是．答案：1,0(0,2)4．解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q．由条件知211211a a q q，化简得11a q ．当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为．答案：34．解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为．答案：421．解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ．事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ．事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ．于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ．由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆的焦点，在上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则的离心率的最小值为．答案解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ．记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ．由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以的离心率d e u v ．当::u v d 时，的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论．情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组．综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分）在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾．所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值．解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ．当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ．计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。

全国高中数学联合竞赛附答案

全国高中数学联合竞赛（9月19日上午9：00～11：00）一、选择题（本题共6个小题，每小题5分满分30分）（1）若函数x x x f 2sin 2cos 811)(--=的最大值为a ，最小值为b ，则ba 1-等于（）（A ）18 （B ）6 （C ）5 （D ）0 （2）若b a <<0，且1=+b a ，则下列各式中最大的是（）（A ）1- （B ）1log log 22++b a（C ）b 2log（D ）)(log 32232b ab b a a +++（3）已知数列2004，2005，1，2004-，2005-，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2004项之和2004S 等于（）（A ）2005（B ）2004 （C ）1 （D ）0（4）已知函数xx xx ee e e xf --+-=)(的反函数是)(1x f -，且k f f =---|)6.0(||)8.0(|11，则（）（A ）)21,0(∈k （B ）)1,21(∈k（C ）)23,1(∈k（D ）)2,23(∈k（5）正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系是（）（A ）θγβα<<< （B ）γθβα<<< （C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<<（6）若对任意的长方体A ，都存在一个与A 等高的长方体B ，使得B 与A 的侧面积之比和体积之比都等于k ，则k 的取值范围是（）（A ）0>k （B ）10≤<k （C ）1>k（D ）1≥k二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）1P 2P 3P AO BC4P 5P 6P（7）若关于x 的方程x ax a x =+-lg 1lg 2只有一个实数解，则a 的值等于．（8）在ABC ∆中，若21tan =A ，31tan =B ，且最长的边的长为1，则最短的边的的长等于．（9）若正奇数n 不能表示为三个不相等的合数之和，则满足条件的n 的最大值为．（10）设a 、b 、c 是直角三角形的三条边长，且)(2)(2222n n n n n n c b a c b a ++=++，其中*N n ∈，2≥n ，则n 的值等于．（11）连接正文体各个顶点的所有直线中，异面直线共有对．（12）如图，以)0,0(O 、)0,1(A 为顶点作正1OAP ∆，再以1P 和A P 1的中点B 为顶点作正21BP P ∆，再以2P 和B P2的中点C 为顶点作正32CP P ∆，…，如此继续下去．有如下结论：①所作的正三角形的边长构成公比为21的等比数列；②每一个正三角形都有一个顶点在直线2AP （1=x ）上；③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点6P 的坐标是)36421,6463(； ④第2004个正三角形的不在第2003个正三角形边上的顶点2004P 的横坐标是20042004211-=x ．其中正确结论的序号是（把你认为正确结论的序号都填上）．三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）（13）已知函数a a x f x3)(+=（0>a ，1≠a ）的反函数是)(1x fy -=，而且函数)(x g y =的图象与函数)(1x f y -=的图象关于点)0,(a 对称．（Ⅰ）求函数)(x g y =的解析式；（Ⅱ）若函数)()()(1x g x f x F --=-在]3,2[++∈a a x 上有意义，求a 的取值范围．（14）设边长为1的正ABC ∆的边BC 上有n 等分点，沿点B 到点C 的方向，依次为1P ，2P ，…，1-n P ，若AC AP AP AP AP AB S n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ，求证：nn S n 62112-=．（15）已知}{n a 是等差数列，d 为公差且不等于0，1a 和d 均为实数，它的前n 项和记作n S ，设集合}|),{(*N n nS a A n n ∈=，},,141|),{(22R y x y x y x B ∈=-=，试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明．（Ⅰ）若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在一条直线上；（Ⅱ）B A 至多有一个元素；（Ⅲ）当01≠a 时，一定有∅≠B A ．全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题共6个小题，每小题5分满分30分）（1）B （2）C （3）D （4）D （5）A （6）D 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）（7）100 （8）55（9）17 （10）4 （11）174 （12）①②③④ 三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）（13）【解】（Ⅰ）由a a x f x3)(+=（0>a ，1≠a ），得)3(log )(1a x x fa -=-…………5分又函数)(x g y =的图象与函数)(1x fy -=的图象关于点)0,(a 对称，则)()(1x a f x a g --=+-，于是，)(lo g)2()(1a x x a f x g a---=--=-．（a x -<）…………………………………10分（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，有)(log )3(log )()()(1a x a x x g x fx F a a -+-=--=-．要使)(x F 有意义，必须⎩⎨⎧>->-.0,03a x a x又0>a ，故a x 3>． (15)分由题设)(x F 在]3,2[++∈a a x 上有意义，所以a a 32>+，即1<a ．于是，10<<a ． ……………………………………………………………………… 20分14．【证明】如图，设c AB =，b AC =，a BC =，令n=1，则p k c BP AB AP k k +=+=（0=k ，1，2，…，n ）其中，AP =0，AP n =． ∴)(])1([1p k c p k c AP AP k k +⋅-+=⋅-22)1()12(k k k -+⋅-+=（0=k ，1，2，…，n ） ……………5分又∵AC AP AP AP AP AB S n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ， ∴2112)]1([)]12([p k k p c k c n S nk n k n ∑∑==-+⋅-+=222)(3)1)(1(n n n n n n -++⋅+= ……………………………………………10分22222231)(31)(nn n n n n n n n n -+⋅+=-+⋅+=． ………………………15分又∵1||||||===，与的夹角为60，∴nn n n n n S n 6211312122-=-++=． ……………………………………………………20分15．【解】（Ⅰ）正确．因为，在等差数列}{n a 中，2)(1n n a a n S +=，所以，21nn a a n S +=．这表明点),(nS a n n 的坐标适合方程)(211a x y +=．所以，点),(nS a n n 均在直线)(211a x y +=上． ……………………………………………5分（Ⅱ）正确．设B A y x ∈),(，则),(y x 坐标中的x 、y 应是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14,2121221y x a x y 的解．解这个方程组，消去y ，得42211-=+a x a ．（﹡）当01=a 时，方程（﹡）无解，此时，∅=B A ． …………………………………10分当01≠a 时，方程（﹡）只有一个解12124a a x --=，此时方程组也只有一个解，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=.44,24121121a a y a a x 故上述方程组至多有一解，所以B A 至多有一个元素． ………………………………15分（Ⅲ）不正确．取11=a ，1=d ，对一切*N n ∈，有0)1(1>=-+=n d n a a n ，0>nS n．这时集合A 中的元素的点的横、纵坐标均为正．另外，由于011≠=a ，如果∅≠B A ，那么根据（Ⅱ）的结论，B A 至多有一个元素（00,y x ），而025241210<-=--=a a x ，043441210<-=-=a a y ．这样的A y x ∉),(00，产生矛盾．所以，11=a ，1=d 时，∅=B A ，故01≠a 时，一定有∅=B A 是不正确的． ……………………………………20分。

高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)

高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)-g(x)=x+9x+12，则f(x)+g(x)=（。

）。

A。

-x+9x-12B。

x+9x-12C。

-x-9x+12D。

x-9x+122.有四个函数：①y=sinx+cosx②y=sinx-cosx③y=sinxcosx④y=（空缺）其中在(x,y)上为单调增函数的是（。

）。

A。

①B。

②C。

①和③D。

②和④3.方程x+x-1=xπ2的解集为A（其中π为无理数，π=3.141…，x为实数），则A中所有元素的平方和等于（。

）。

A。

B。

C。

1D。

44.已知点P(x,y)满足(x-4cosθ)+(y-4sinθ)=4（θ∈R），则点P(x,y)所在区域的面积为（。

）。

A。

36πB。

32πC。

20πD。

16π5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为（。

）。

A。

9B。

12C。

15D。

186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于（。

）。

A。

807.已知曲线C：y=-x2-2x与直线l:x+y-m=0有两个交点，则m的取值范围是（。

）。

A。

(-2-1,2)B。

(-2,2-1)C。

[,2-1)D。

(,2-1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则Smax/Smin的值为（。

）。

A。

B。

C。

D。

9.设x=.82,y=sin1,z=log2237，则x、y、z的大小关系为（。

）。

A。

x<y<zB。

y<z<xC。

z<x<yD。

z<y<x10.如果一元二次方程x-2(a-3)x-b+9=0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P=（。

2023年全国高中数学联合竞赛模拟题

2023年全国高中数学联合竞赛模拟题一、概述在当今社会，数学作为一门重要的学科，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力起着至关重要的作用。

为了提高学生的数学素养，促进学生对数学知识的掌握和运用，全国高中数学联合竞赛应运而生。

作为高中生的数学盛会，全国高中数学联合竞赛一直备受关注，并在各个学校开展。

今天，我们将一起来看看2023年全国高中数学联合竞赛的模拟题目，让我们共同来加深对于数学的理解和探索。

二、单选题1. 若函数$f(x)=\frac{2x}{x-1}$，则$f(f(x))$的定义域是？A. (-∞, -1)∪(1,+∞)B. (-∞, -1)∪(1,+∞)C. (-1, 0)∪(1,+∞)D. (-1, 1)∪(1,+∞)2. 已知集合A={1,2,3,4,5}，集合B={3,4,5,6,7}，则集合A∪B的基数为？A. 5B. 6C. 7D. 83. 若一个球从100米高的地方自由下落，每次弹跳后弹起的高度是下落前的0.8倍，则它第6次落地时共经过的距离是多少米？A. 460B. 500C. 548D. 6004. 已知等差数列$\{a_n\}$满足$a_1=3$，$a_6=18$，则$a_{15}$的值为多少？A. 48B. 51C. 54D. 575. 若$\sin{2x}=\frac{1}{2}$，则$\cos{2x}$的值等于？A. -$\frac{1}{2}$B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$C. -$\frac{\sqrt{3}}{2}$D. $\frac{1}{2}$三、填空题1. 若$a+b=5$，$ab=6$，则$a^2+b^2$的值为______。

2. 若$|x-1|<3$且$|x+2|<4$，则$x$的取值范围为______。

3. 若函数$f(x)=x^2+3x-4$，则$f(-2)$的值为______。

4. 若$\log_{10}a-2\log_{10}b=3$，$a-2b=80$，则$a$和$b$的值分别为______。

全国高中数学联合竞赛(含答案)

全国高中数学联合竞赛一、选择题（本题满分30分，每小题5分）本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且只有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得5分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1.函数()142-+=x x x x f 是（）（A ）是偶函数但不是奇函数（B ）是奇函数但不是偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）既不是奇函数也不是偶函数2. 已知()x f 对任意整数x 都有()()22-=+x f x f ，若()20030=f ，则()2004f =（）（A ）2002 （B ）2003 （C ）2004 （D ）20053. 已知不等式()θθ222sin 45cos +-+m m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（）（A ）0≤m ≤4 （B ）1≤m ≤4 （C ）m ≥4或m ≤0 （D ）m ≥1或m ≤0 4. 母线长为6的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45. 正三棱锥相邻侧面所成二面角，等于侧面与底面所成二面角的两倍，则侧棱与底面边长之比为（）（A ）23 （B ）34 （C ）43 （D ）32 6. 函数x x x y cos sin cos 23-+=的最大值等于（）（A ）2732 （B ）2716 （C ）278 （D ）274 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）本题共6小题，要求直接将答案写在横线上。

7. 已知函数()x xx f 22333+=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛1011010121011f f f = . 8. 不等式22-x ≤12+x 的解集为 .9. 某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号，则在这90000个牌照中数字9至少出现一个，并且各数字之和是9的倍数的车牌照共有个.10. 若0<a ，b ，c <1满足1=++ca bc ab ，则cb a -+-+-111111的最小值是 . 11. 已知正四棱锥V －ABCD 的棱长都等于a ，侧棱VB ，VD 的中点分别为H 和K ，若过A 、H 、K 三点的平面交侧棱VC 于L ，则四边形AHLK 的面积为 .12. 已知a 、b 、x 是实数，函数()122+-=ax x x f 与函数()()x a b x g -=2的图象不相交。

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案7

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案（10月15日上午8:00-9:40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x =x 10},则B A 是( )(A){2} (B){-1} (C){x |x ≤2} (D)∅2．设sin α＞0,cos α＜0,且sin3α＞cos 3α,则3α的取值范围是( ) (A)(2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B)(32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z (C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z 3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( ) (A)33 (B)233 (C)33 (D)634．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是( ) (A)17034 (B)8534 (C)201 (D)301 6．设5sin 5cos ππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( ) (A)x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．arcsin(sin2000︒)=__________.8．设a n 是(3-n x )的展开式中x 项的系数(n =2,3,4,…)，则n n n a a a 333(lim 3322+++∞→ )=________.9．等比数列a +log 23,a +log 43,a +log 83的公比是____________.10．在椭圆12222=+b y a x(a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是215-，则∠ABF =_________.11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________.12．如果：(1)a ,b ,c ,d 都属于{1,2,3,4};(2)a ≠b ,b ≠c ,c ≠d ,d ≠a ;(3)a 是a ,b ,c ,d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是_________.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13．设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N ，求f (n )=1)32(++n n S n S 的最大值.14．若函数21321)(2+-=x x f 在区间[a ,b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ,b ].15．已知C 0:x 2+y 2=1和C 1:12222=+b y a x(a ＞b ＞0)。

全国高中数学联合竞赛预赛模拟试卷附答案

全国高中数学联合竞赛预赛模拟试卷一．选择题（共6小题，每题6分）1．设()n n nx a x a a xx 221021+++=++ ，求n a a a 242+++ 的值为（A ）n3 （B ）23-n（C ）213-n （D ）213+n 答：【】2．若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是(A) ]2 ,2[- (B) ]1 ,1[- (C) ]3,0[ (D) ]3,3[- 答：【】 3．设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x xx f 2cos 2sin)(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答：【】 4．正方体的截平面不可能是(1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱形 (4) 正五边形 (5) 正六边形下述选项正确的是：(A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 答：【】 5．已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，而13||=c ，3=⋅a c ，4=⋅b c 。

则对于任意实数21,t t ，||21b t a t c --的最小值是(A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 答：【】 6．设函数)(x f y =满足1)()1(+=+x f x f ，则方程x x f =)(根的个数可能是 (A) 无穷多 (B) 没有或者有限个(C) 有限个 (D) 没有或者无穷多答：【】二．填空题（共6小题，每题9分） 7. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=32232332x x x x xM ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=56656556x x x x x N ，求 N M = 。

8. 已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ，则2005x = 。

(完整word版)No.40全国高中数学联合竞赛模拟试题

No.40 高中数学联赛模拟试卷1、抛物线2x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________。

2、991715131+⋯+++=s 的整数部分是。

3、在棱长为2的正四面体内任取一点P ，P 到四面体四个面的距离分别记为1PP ，2PP ，3PP ，4PP ，则=+++4321PP PP PP PP 。

当)2,0[π∈x 且满足1)(sin cos >+x f x 的x 的集合为。

6、已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2≤n ≤8，则n =______。

7、双曲线k y x =-22关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k 的值等于。

8、求函数4803224+++-=x x x y 的最小值和取最小值时x 的值9、证明圆222)()(r b y a x =-+-的两条互相垂直的切线n m ,的交点P 的轨迹方程是2222)()(r b y a x =-+-。

11、数列｛a n ｝的定义是：12331211,1,2,(7)n n n na a a a a a a +++====+，证明，该数列中的项都是正整数。

（德国）12、已知b a ,是正数，并且2009200920072007ab a b +=+，求证222≤+b a 。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛加试(A卷)试题(含答案)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12．又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ．事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102．注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ．若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA．又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ．所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格，取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ，使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）．另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。

(完整word版)No.31全国高中数学联合竞赛模拟试题

No.31高中数学联赛模拟试卷1、已知0 a b,x .a b . b, y b , b a,则x,y 的大小关系是11 nc ,n N ，且—— —— ---- 恒成立，则 n 的最大值为a b b c a c11、圆周上写着红蓝两色的数。

已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。

证明，所有红色数之和等于0。

（俄罗斯）2、3、对于已知 5、6、 7、9、2 1的一切实数m ，使不等式2x 1 m （x 1）都成立的实数 f x log sin x,sin2，那么 a 、sin cos不等式、:4x 2 2 3 x 函数f xx 2 2x 2 2xa,b,nR ，且3xxy 3y 2 N ，求 | n 10、求 s 1 x 的取值范围是f •、sin cos ,b 、c 的大小关系是 2000的解集是1999集是1的最小值为11 n ,贝y 11的最小值是a b20 ,则 8x 2 1949| |n 23y 2的最大值是 1950 ||n2001 |丿可，则s 的整数部分102b 212、设 a,b,c R ，求证：ac 2 a b c2（第二届友谊杯”国际数学竞赛题）乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题2参考答案x V a__b V b . ----- - ， y T b v b al a b <b0 a b, 、.a b . b 、. b . b a, x y.图1 解法6令f （t）4a~T JT，f（t）——产单V a t v t调递减，而b b a，f (b) f (b a)，即•. a b , b b . b a，x y.2解法1原式a c a cna b b ca b b c b c a b2 b ca b b c + a b时取等口号a c a c 4 na b b c minna c a c而a c a ca b b c min a b b ca b 4,且当b c a b ，即a c 2bb c a b b c4 •故选C .也型,得2 ..a b . b a, 、a b . b a 2 b, x y.1、解法1解法2yabb a, - 1, x y.y解法3 -x y a b b . b b a4 ,解法2 a b c , a b 0,b c 0,a c 0，已知不等式化为2a c 2a b b cmin故由已知得 n 4, 选C . 3由11 a b b c1b b c11法 a c 1 aa b ca b.由一amin解法4解法50,b 0, a c 03、解法1 题设等价于由题意,0, b cx 2 4 .故选0, a c 0.已知不等式可变形为0.于是4.比较得a c1 02x 1或x 2由题意,4 .故选C .4 .故选0 2x 1或 x 212xx 2x 2 1 02x 1或 x 21x 22x 0,所以1 x2或-3解法2已知不等式即 x 2 1 m 2x 10 ，令 f (m)当x 21 0，即x1时,f (m)是m 的一次函数，因为，即1，即 C 、32x 12x x 211,2).1时不等式恒成立，所以f(m)在 1,1上的图象恒在m 轴的下方，故有2x 2 (x 1).故x 的取值范围是.31 x 2.f sincos f ■■- sincos£sin 2 -,即 a b c ..2fsin cos解法 3、o,—， sin0,1 ，f x 是单调减函数，sin，2,sicosfcoa blog sinlog sincos2sincoslog sin --------------- 2log sin 1 0， a b .又 b c log sin sin cosy'sin cos , sin 2, Vsin cos ,sin cos ,,小血log sinlog sinlog sin -------------------------------- log sin 1 °，即sin cos 2si n cos2Jsi ncos cosf( 1) x 1 2x 2f (1) x 1 2x 12x 2x2x 2，解得.3 12x 0又当x 1时，f (m)1，适合题意，当x 1时，f (m) 3不合题意.4、解法1 设sin p ， cosq ....pq ，而f X 是减函数,f ... pq ，即 a b . 、.pqpq2pq p qf pq ，即 c b •故 a b c .解法2由题意，令1\ 3 sincos1 . 3，则 sin，cos62 2 24■. sin cosV3 si n22 ' sin cos2 sin cos sin cossin0,1，是减函数，又1 .3 4sin2x 2 (x 1).b c，a b c.------- ----- 4x 2 0 /15、解设尸E 2厂，由 3 x 0，得定乂域为[2，3].2 -------------------------------- 2 — 2000 y 2 4x 2 4(3 x)4 (4x 2)(3 x) 10 4 4x 2 14x 6 10, y 10 19991即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为 [一，3]. 2—9.71623 x 的解集是 5.276 - 题目改为“ 4x 2 集疋，结果一样。

全国高中数学联合竞赛模拟试题

选择题：1. 对于一个函数f(x) = 2x + 3，下列哪个选项是该函数的图像斜率的表示？A. 2xB. 2C. 3D. 3x2. 已知等差数列的前两项为a1 = 3，a2 = 6，公差为2，求该数列的第n 项公式。

A. an = 2n - 1B. an = 2n + 1C. an = 3n + 1D. an = 3n - 13. sin30° 的值等于：A. 0B. 1C. 0.5D. 0.8664. 在平面直角坐标系中，点P(4, 6) 是关于x 轴的对称点的坐标是：A. (4, -6)B. (-4, 6)C. (-4, -6)D. (6, 4)5. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c 的图像与x 轴有两个交点，那么下列哪个选项是该二次函数的判别式？A. b^2 - 4acB. 4ac - b^2C. 4ac + b^2D. b - 4ac填空题：1. 三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于_________度。

2. 两点之间的距离公式的一般形式为：d = __________。

3. 二次函数y = ax^2 + bx + c 的对称轴方程为：x = __________。

4. 根据二项定理，(a + b)^3 的展开式中，二次项的系数为_________。

5. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A ∪B 的元素个数为_________。

应用题：1. 已知一根直径为20 cm 的圆柱体的高为30 cm，求其体积和表面积。

2. 甲、乙两个摄氏度计的温度分别为30°C 和40°C，求转化为华氏度的温度差。

3. 从一台井中用打绳法测得水深60 米，若绳子有48 米落入井中，则绳子的长为多少？4. 餐厅有三种套餐供客人选择，分别为A 套餐100 元，B 套餐为150 元，C 套餐为200元。

一天共有120 位客人就餐，总计收入为18400 元。

2023全国高中数学联赛模拟试题6及参考答案

2023全国高中数学联赛模拟试题6及参考答案题目1某校3个年级的学生数量比例为5：4：3，其中一年级学生的平均身高为160cm，二年级学生的平均身高为165cm，三年级学生的平均身高为170cm。

求该校学生总体平均身高。

解答1我们可以先计算出每个年级学生的数量占总体的比例：一年级学生数量比例 = 5 /（5 + 4 + 3）= 5 / 12二年级学生数量比例 = 4 /（5 + 4 + 3）= 4 / 12三年级学生数量比例 = 3 /（5 + 4 + 3）= 3 / 12然后，根据每个年级学生的数量比例和平均身高，计算出每个年级学生身高的总和：一年级学生身高总和 = 5 / 12 × 160cm二年级学生身高总和 = 4 / 12 × 165cm三年级学生身高总和 = 3 / 12 × 170cm最后，将三个年级学生身高的总和相加，除以总体学生数量，即可得到该校学生总体平均身高。

计算过程如下：总体平均身高 = （一年级学生身高总和 + 二年级学生身高总和 + 三年级学生身高总和） / （5 + 4 + 3）总体平均身高 = (5 / 12 × 160 + 4 / 12 × 165 + 3 / 12 × 170) / (5 + 4 + 3)计算结果为：166.25cm所以，该校学生总体平均身高为166.25cm。

题目2已知函数f(f)=2f2+3f+1，求f(2)的值。

解答2将 x 的值代入函数f(f)=2f2+3f+1中，计算出f(2)的值。

f(2) = 2 × 2^2 + 3 × 2 + 1计算过程如下：f(2) = 2 × 4 + 6 + 1= 8 + 6 + 1= 15所以，f(2)的值为15。

题目3某圆的周长为10π，求该圆的面积。

解答3已知圆的周长为10π，可以根据周长计算出圆的半径。

圆的周长公式为f=2ff，其中 C 为周长，r 为半径。

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案9

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案注:本试卷可使用计算器.一、选择题：本大题共有10小题，每小题6分，满分60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的。

1、 ,a b 为实数，集合{},1,,0,:b M P a f x x a ⎧⎫==→⎨⎬⎩⎭表示把集合M 的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则a b +=（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）1± 2、21sin 40cos 201cos 160-︒︒--︒化简的结果为（A ）1sin 40-︒ （B ）1cos 20sin 20︒-︒（C ）1 （D ）1-3、已知(0,1),(2,2),(4,6)A B C --，则AB 在AC方向上的投影为（A ）741 （B ）741- （C ）713（D ）713-4、在数列{}n a 中，1111,,4n n n a a a a +==++则99a = （A ）125504 （B ）2500 （C ）124504（D ）24015、已知函数()sin()(0,)f x x x R ωϕω=+>∈满足(1)()(1)f x f x f x +=--对任意的x R ∈都成立。

若sin(9),sin(9)A x B x ωϕωωϕω=++=+-，则A 与B 的大小关系是（A ）A B > （B ）A B = （C ）A B < （D ）不确定6、设,,a b c 为实数，440,20a b c a b c -+>++<。

则下列四个结论中正确的是（A ）2b ac ≤ （B ）2b ac > （C ）20b ac a >>且（D ）20b ac a <<且 7、设()sin f x x x =，若12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12()()f x f x >，下列结论中必定成立的是（A ）12x x > （B ）120x x +> （C ）12x x < （D ）2212x x > 8、曲线5sin(2)6y x π=+与直线y x =的交点个数是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）89、函数f 定义在正整数有序对的集合上，并满足(,),(,)(,),f x x x f x y f y x ==()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+，则(14,52)f 的值为（A ）364 （B ）182 （C ）91 （D ）无法计算 10、O 是平面上一定点，,,A B C 平面上不共线的三个点，动点P 满足(),c o s c o s A B A C O P O A R A B A B C A C B C Aλλ=++∈，则P 的轨迹一定通过ABC 的（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心二、填空题目：本大题共10小题，每小题6分，满分60分。

(完整word版)No.52全国高中数学联合竞赛模拟试题

9、（本题16分）直角坐标系xOy 中，设A 、Bx2M是椭圆C 書y 21上的三点.若UU UU OM3 uur4 uuuOA -OB ，证明：线段 AB 的中点在椭圆 5 52y 21上.No.52高中数学联赛模拟试卷一、填空题（共8题，每题8分，64分）1 •方程9x 1 3x 5的实数解为 ______________________ .2.函数 y sinx cosx （x R ）的单调减区间是 _____________________________ .3•函数f x x 2 x 1 2在区间0,2上的最大值是 ______________________ ，最小值是 _______ 4•在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点 O 、半径为R 的圆与△ ABC 的边有公共点，其中A 4,0、B 6,8、C 2,4 ，则R 的取值范围为 _________________________________ .5.设函数f x 的定义域为R,若f x 1与f x 1都是关于x 的奇函数，则函数y f x 在区间0,100上至少有__________________________________ 个零点.. 6•圆环形手镯上等距地镶嵌着 4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种•其中镀 2金2银的概率是7 .在三棱锥 A BCD 中，已知 ACB CBD,ACD ADC BCD BDC，且 co s远已知棱AB 的长为 6、2 , 则此棱锥的体积为10&设复数列x 满足X na 1, 0 ,且 x n 1a X n .右对任意 n N *都有x n 3 x n ，则a 的 X n 1值是 _________________ • 、解答题（共3题，共56 分）10、(本题20 分)已知整数列a n 满足a3 1，a7 4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1) 求数列a n 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得a m a m 1 a m 2 a m a m 1a m 2 ．11、(本题20 分)求所有正整数x ，y ，使得x23y与y23x都是完全平方数.9、解: 设A（X1, y1）,B（X2, y2）,贝乎+y12= 1,乎 + y22= 1.UU LU 由OM 3UJU 3OA 54 UJU 3434OB，得M^x1*5x2, 5y1+ 5y2）.因为M是椭圆C上一点，所以3 4 2（545 }+ 討|y2）2= 1,2,X2 4 3 4 X1X2+（丁+y22）®2+2（5）（5）（〒+y1y2）3 °4 - 3 4 X1X2得厉）2+（5）2+2（5）（扌（丁+y1y2）=X1X2~4~+y1y2= 0. 14分X1 + X2 y1 + y2又线段AB的中点的坐标为(~2 2，o ),所以X1+ X2 …（）22 22 '_ .V1+ V2 2 1 X122 1 X222 X1X2厂 + 2（匕_）2= 2（匚 + y2）+2Gr + y2）+7 + y y= 1 ,1、X V 0无解；当x 0时，原方程变形为32x+3x- 6=0，解得3x=2, x=log32.2、与f(x)=y2=1+|sin2x| 的单调减区间相同，[k，- ], k Z.2 4 2 23、极小值—4，端点函数值f(2)=0 , f(0)= —2，最小值—4，最大值0.一一^5 4、画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B.[—才，10].5、f(2k-1)=0, k€乙又可作一个函数 f x满足问题中的条件，且f X的一个零点恰为x 2k 1 , k €乙所以至少有50个零点.16、穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为3 .7、4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为1448、由X n 1a X n x a X n 22a X n 1 3 a Xnn 3 “1 X n 1 12X n 1X n 2 1a a a1X n1即（乎+ y1恒成立，即 2 a a 1 X n X n 1 a0•因为X na1或0 , 故2a a 1 0，所以X1 + x2 y i + y2 X从而线段AB的中点(一2 , 产)在椭圆2 + 2y2= 1上. ................. 20分10、解：⑴设数列前6项的公差为d，则a5=—1+2d, a6=—1+3d, d为整数.又a5, a6, a7 成等比数列，所以(3d —1)2=4(2d —1),即9d2—14d+5=0,得d =1. ...................... 6 分当n<6 时，a n =n —4,由此a5=1, a6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2,所以，当n > 5 时，a n =2n-5.n —4, n W4 ,故a n = 2n-5, n>5. ...................... 10分(2)由(1 )知，数列a n 为：一3,—2,—1, 0, 1, 2, 4, 8, 16,…当m=1 时等式成立，即一3 — 2 —仁一6=( —3)(—2)( —1);当m=3时等式成立，即—1+0+仁0;当m=2、4时等式不成立；............ 15分当m > 5 时，a m a m+1a m+2 =23m-12, a m +a m+1+a m+2=2m-5(23—1)=7^ 2m-5,7 % 2山-5 工23m-12所以a m +a m+1+a m+2工a m a m+1 a m+2 .故所求m= 1,或m=3. ...................... 20分11、解：若乂=丫，则x2+3x是完全平方数.x2< X2+3X V x2+4x+4= (x+2)2,X2+3X=(X+1)2,- x=y =1. ...................... 5 分若x>y,贝U X2< x2+3y< X2+3X<X2+4X+4=(X+2)2.•/ x2+3y是完全平方数，x2+3y= (X+1)2，得3y = 2X+1 ,由此可知y是奇数，设y = 2k+1，则x=3k+1, k是正整数.又y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4 是完全平方数，且2 2 2 2 2(2k+2)2=4k2+8k+4< 4k2+13k+4< 4k2+16k+16= (2k+4)2,.y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2,得k=5,从而求得X=16, y=11. ...................... 15分若X< y,同X>y情形可求得X=11, y=16.综上所述，(X, y)= (1, 1), (11, 16), (16, 11). ....................... 20 分。

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案8

全国高中数学联合竞赛试题及参考答案题号一二总分1～89 10 11 12 得分评卷复核【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．设x ，y ，z 是正实数，满足()()xy z x z y z +=++，则xyz 的最大值是． 2．设从正整数k 开始的201个连续正整数中，前101个正整数的平方和等于后100个正整数的平方和，则k 的值为．3．设(2)n n ≥是给定的整数，12,,,n x x x 是实数，则1223sin cos sin cos x x x x ++1sin cos n x x + 的最大值是．4．在△ABC 中，已知30,105A B ∠=︒∠=︒，过边AC 上一点D 作直线DE ，与边AB 或者BC 相交于点E ，使得60CDE ∠=︒，且DE 将△ABC 的面积两等分，则2CD AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 5．对于任意实数a ，b ，不等式{}max ,,2006a b a b b C +--≥恒成立，则常数C 的最大值是．（注：{}max ,,x y z 表示x ，y ，z 中的最大者．）6．设2()cos f x x ax b x =++，{}{}()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅，则满足条件的所有实数a ，b 的值分别为．7．在直三棱柱中，已知底面积为s 平方米，三个侧面面积分别为m 平方米， n 平方米，p 平方米，则它的体积为立方米．8．已知函数:f R +→R 满足：对任意,x y ∈R +，都有11()()()20062005f x f y f xy x y ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则所有满足条件的函数f 为．二、解答题9．（本题满分14分）已知抛物线22(0)y px p =>，其焦点为F ，一条过焦点F ，倾斜角为θ(0)θπ<<的直线交抛物线于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点），交准线于点B '，连接BO ，交准线于点A '，求四边形ABB A ''的面积．10．（本题满分14分）数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时．已知3019n a =，求正整数n ．yxOF11．（本题满分16分）对一个边长互不相等的凸(3)n n ≥边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？12．（本题满分16分）设]1,0[,∈b a ，求)1)(1(11b a abb a S --++++=的最大值和最小值．2006年上海市高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、1272、201003、2n4、365、10036、04a ≤<，b ＝07、4()()()()2sm n p m n p p m n n p m +++-+-+- 8、1()2006f x x=+二、解答题9．（本题满分14分）已知抛物线22(0)y px p =>，其焦点为F ，一条过焦点F ，倾斜角为θ(0)θπ<<的直线交抛物线于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点），交准线于点B '，连接BO ，交准线于点A '，求四边形ABB A ''的面积．解当2πθ=时，22ABB A S p ''=． …………………（4分）当2πθ≠时，令t a n k θ=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则由()2py k x =-， ①22y px =， ②消去x 得，2220py y p k--=，所以 122py y k+=， 212y y p =-． ③ 又直线AO 的方程为：11y y x x =，即为12p y x y =，所以，AO 与准线的交点的坐标为21(,)2p p B y '--，而由③知，221p y y =-，所以B 和B '的纵坐标相等，从而BB x ' 轴．同理AA x' 轴，故四边形ABB A ''是直角梯形．………………（9分）所以，它的面积为11()22ABB A S AA BB A B AB A B ''''''''=+⋅=⋅222121211()()2x x y y y y =-+-⋅- B /A /F BAO xy221211()12y y k =-+212122111()42y y y y k⎡⎤=++-⎣⎦ 332222221212(1cot )p p k θ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．………………（14分）10．（本题满分14分）数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时．已知3019n a =，求正整数n ．解由题设易知，0,1,2,n a n >= ．又由11a =，可得，当n 为偶数时，1n a >；当(1)n >是奇数时，111n n a a -=<． ………………（4分）由3019n a =1>，所以n 为偶数，于是23011111919n a =-=<，所以，2n是奇数．于是依次可得：1219111n a -=>， 12n-是偶数， 24198111111n a -=-=<，24n -是奇数， 2141118n a --=>，64n -是偶数， 681131188n a -=-=<，68n -是奇数， 618813n a --=>，148n -是偶数， 1416851133n a -=-=>，1416n -是偶数，1432521133n a -=-=<，1432n -是奇数， ……………（9分）14132312n a --=>，4632n -是偶数， 4664311122n a -=-=<，4664n -是奇数， 4616421n a --=>，11064n -是偶数， 110128211n a -=-=，所以，1101128n -=，解得，n ＝238． ……………… （14分） 11．（本题满分16分）对一个边长互不相等的凸(3)n n ≥边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？解设不同的染色法有n p 种．易知36p =． ………………（4分）当4n ≥时，首先，对于边1a ，有3种不同的染法，由于边2a 的颜色与边1a 的颜色不同，所以，对边2a 有2种不同的染法，类似地，对边3a ，…，边1n a -均有2种染法．对于边n a ，用与边1n a -不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边1a 颜色相同的情况，而边1a 与边n a 颜色相同的不同染色方法数就是凸n －1边形的不同染色方法数的种数1n p -，于是可得1132n n n p p --=⨯-， ………………（10分） ()1122n n n n p p ---=--．于是 ()33232(1)2(1)2n n n n p p ---=--=-⋅， 2(1)2n nn p =+-⋅，3n ≥．综上所述，不同的染色方法数为2(1)2n n n p =+-⋅． ………………（16分）12．（本题满分16分）设]1,0[,∈b a ，求a 3a n-1a na 2a 1)1)(1(11b a abb a S --++++=的最大值和最小值．解因为)1)(1(11b a ab b a S --++++=)1)(1()1(1)1)(1(122b a ab ab b a b a b a ++--=+++++=1≤ ，当0=ab 或1=ab 时等号成立，所以S 的最大值为1． ………………（6分）令)1)(1()1(b a ab ab T ++-=，ab x =，则abab ab ab ab b a ab ab T ++-≤+++-=21)1(1)1( x x x x x x +-=+-=1)1()1()1(2222． ………………（10分）下证 211551)1(2-≤+-x x x ． ①① 0)25()215(2≥-+--⇔x x ，所以 21155-≤T ，从而 25513-≥S ，当215-==b a 时等号成立，所以S 的最小值为25513-．……………（16分）。