C_Z-偏序集
【国家自然科学基金】_连续偏序集_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803
推荐指数 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 特征 浓度 模糊round理想完备化 模糊round理想 模糊domain 序同态 局部基 一致连续偏序集 一致极小集 z-连通连续偏序集 z-连通scott拓扑 z-连通lawson拓扑 l-抽象基
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2011年 科研热词 范畴 自然连续 自然偏序集 自然way-below关系 自然scott拓扑 权 有界完备的κ -domain 拟连续偏序集 拟c-偏序集 基 偏序集 κ -空间 κ -dcpo z-连通连续偏序集 z-连通scott拓扑 z-连通lawson拓扑 monadic范畴 cartesian闭性 c-偏序集 (&)*收敛 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
科研热词 基 一致连续偏序集 一致scott拓扑 z-连续偏序集 连续 范畴 群 稠密度 特征 权 拟半连续格 强半连续映射 局部基 函数空间 偏序集 余积 交半连续格 一致lawson拓扑 z-连续 z-完备偏序集 z-半连续偏序集的基 z-半连续偏序集 z-半代数偏序集 domain模型 (←)-关系
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
离散数学第6章 格与布尔代数
6-1 格的概念
5）下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之，若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理：〈A，∨，∧〉代数系统，∨.∧满足交换性， 结合性，吸收性，则A上存在偏序关系≤，使〈A，≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A，∨，∧〉； 而从满足三个条件的〈A，∨，∧〉也可导出格〈A，≤〉 证明见书：（格中⑻⑼⑾三个性质很重要，决定了格）
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理：格〈A，≤〉 (1)引理6-1.1：〈A，∨，∧〉代数系统，若∨, ∧满足吸收性，
则∨, ∧满足幂等性 证：a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支，由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A，≤〉，≤偏序关系：满足自反性，反对称性， 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示：
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A，∨，∧〉是格〈A，|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
拟C-偏序集的若干性质
则存在 Ｆ∈Ｐ … ， Ｈ《 Ｆ《 。 使
收 稿 日期 ：０ ０— ９—１ 。 ２１ ０ ０ 基 金 项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ０ ３ ００，０ ６ ０ ７ ； 等 学 校 全 国优 秀 博 士 学 位 论 文 作 者 专 项 基 金 资 助 项 目 国 １ ３ １ １ １８ １０ ） 高 （ ０ ７ １ ） 江 西 省 自然 科 学基 金 资 助 项 目（０ ７ Ｚ ０ ７ ） ２０ Ｂ ４ ； ２ ０ Ｇ Ｓ １９ 。
（ ｛ ’， 上 ＝ ＋ ’
＜ 凡
则 ∈ Ｐ ≤ ≤ ≤ … ≤ ≤ ＋ ｌ≤ ｉ￡ ｄ 且
命题 ２３ 若 Ｐ为 拟 Ｃ一偏 序集 ， ． 则对 任意 的
∈Ｐ ｔ ＝ｎ ｛ ： （ ｝其中 （ ， Ｔ Ｆ∈ ） ， Ｆ ）＝｛ ： Ｆ
Ｆ ∈ Ｐ ‘ 且 Ｆ《 ｝ （ 。
１ 预 备 知 识
近３ ０年 来 ， 由于计算 机科 学 所 引起 的关 注 和数 学若 干 领域所 取 得 的重 要进 展 ， ｏ ａｎ的结 构 理 论 Ｄｍｉ 成 为计算 机 函数 式语 言 的指称 语 义学 研究 的一个 关
键 点 。Ｄ ｍ ｉ 论 研 究 的一 个 重 要 方 面是 尽 可 能 ｏ ａｎ理
定 存在 ， 样一 类 偏 序集 ， 在 文 ［ ］中称 之 为 Ｃ 这 他 ２
一
偏 序 集 ， 讨论 了它 的代数 性 质 和拓扑 性 质 。 为 并 作
定 义 １２ 设 Ｐ为偏序 集 ， ≠Ａ， Ｐ， ∈ ．Ｈ Ｂ
Ｐ称 Ａ ｗ ｙｂ ｌｗ Ｂ， 作 Ａ《 Ｂ， 对 Ｐ中的 每个定 ａ ｅ 记 ｏ 若
连 续格 最 为 成 功 的 推 广 之 一 ， ｅｚ和 Ｌ ｗ ｏ Ｇｉｒ ａ ｓｎ于 １ ８ 年 在文 ［ ］中引入 了广 义 连续 格 （ ［ ］称 为 ９１ ３ 文 ４ 拟 连续格 ）的概念 ， 基本 思 想是将 “ ”与“ ”之 其 点 点 间 的 ｗ ｙｂ ｌ ａ ｅｏ ｗ关 系 《 推广 至 “ ”与“ ”之情 形 。 集 集
偏序关系
注：覆盖P的链数 P中任一反链的元素个数.
等价结论:有限偏序集中存在一个链覆盖和一个反链，它们 大小相等
Dilworth定理的归纳证明
证明. 按照P中元素个数（|P|=1, 2 …）进行归纳证明. 设a为P中的一个极大元素, P’ =P-{a} 设(P’,≼)有一个大小为k的反链{a1, a2, …, ak}，并有一个规模 为k的链覆盖{C1, C2, …, Ck}. 对任意Ci , P’中大小为k的任一反链均有唯一的元素属于Ci， 这些元素有一个最大元，记为xi. A={x1, x2, …, xk}必是反链。否则，不妨假设A中有两个元素 xi≼ xj. 根据xj的定义，P’中必有一个大小为k的反链Aj, xj是Aj 和Cj的公共元素，假设y是Aj和Ci的公共元素，则y≼ xi. 从而 y≼ xj.与Aj是反链矛盾.
x1 x2且x1 ≼ x2, 或者x1 = x2且y1 ≼ y2
易证R是AA上的偏序关系
给定有限字符集合，若在上有一个偏序关系，类似上述 办法，可以对任意正整数 k, 定义 k( 由 中字符构成的长度 为 k的串的集合 ) 上的偏序关系。加以适当的技术处理，则 容易定义 +(由 中字符构成的长度为任意正整数的串的集 合)上的偏序关系：字典关系
b
c a1 a2
….
….
ai ak
d
e
f
g
C
i 1
k
i
P(Ci互不相交）
Dilworth定理
链覆盖 是(P,≼)中一组互不相交的链, 它们一起包 含了P中的所有元素. Dilworth 定理 (1950) 在任意有限偏序集(P,≼)中, 覆盖P的最小链数等于 P中最长反链的长度（元素个数）.
Z-连续偏序集的特征与稠密度
人在文 ［］ ２ 中提出了更为一般的概念 ， ｚ 连续偏序集的概念． 即 ＿ 许多人对此进行 了研究 ， 并将 Ｄ ｍ ｉ理论 中 ｏａ ｎ 许 多结果 推广至 了 ｚ 连 续偏序集 上 ． ＿ 在文 ［］ ， 彬和刘 妮讨论 了连续 ｄｍ ｉ的特 征 与浓 度 ． 文将 其推 ３中 赵 ｏ ａｎ 本
摘要： 该文引入了 二 连续偏序集的局部基和稠密子集的概念 ， 基于此定义了 连续偏序集的特征和稠
密度 ； 出了局部基的刻画 ， 给 并讨论 了 连续偏序集 的特征和稠密度与 连续偏序集上 Ｚ Ｓｏ 拓扑和 ＿ｃｔ ｔ Ｚ Ｌｗ ｏ 拓扑的特征 、 － ａ ｓｒ ｌ 稠密度之间的关 系； 明了 连续偏序集上 Ｚ Ｓｏｔ 证 －ｃｔ拓扑的特征小于或 等于 Ｚ 连 ＿
维普资讯
第 ３ 卷第 ３ ２ 期
江西 师范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ＵＲ ＡＬＯＦＪＡ Ｘ Ｒ Ｌ Ｈ『 ０ Ｎ Ｉ ＮＧ ＩＮＯ ＭＡ Ｉ、 ⅣＥＲ ｒ１（ ＡＴ ＲＡ ＣＥ Ｅ ｓ Ｉ Ｎ Ｕ Ｌ Ｓ ＩＮＣ Ｙ
定 义 ７ 设 Ｐ为 Ｚ 完 备 偏 序 集 ， ｏ （ ． 令 ． Ｐ）＝ ｛ Ｕ ＝ 十 且 ＶＳＥ Ｚ（ ，ｕ ｓＥ ＝ ５ ｎ ｚ Ｕ ｃ Ｐ： Ｐ）ｓｐ ＝ ＞ Ｕ ≠ ｝ 以 （ 为 开子 基生成 的拓扑称 为 Ｐ上 的 Ｚ Ｓ ｏ 拓 扑 ， ， Ｐ） － ｃｔ ｔ 记为 ｚ Ｐ） （ （ ． Ｐ）＝ Ｏ （ ｚ ＂ Ｐ）Ｖ ｃ（ 称 Ｚ Ｕ Ｐ）
广至 ｚ 连续偏 序集 情形 ， ＿ 得到 了一系 列相应 的结果 ．
１ 预备知识
在本 文 中 ，ｏｅ表 示所有 以偏序 集为对 象 ， 序映射 为态射 的范 畴 ；ｅ表示 集合 范畴 ． Ｐ ｓｔ 保 Ｓｔ
偏序集的完备化范畴研究
５３ 偏序集的完备化范畴研究■尚 影 （阜阳幼儿师范高等专科学校 安徽 ２３６０１５）【摘 要】通过借用形式概念分析中构造粗糙概念的方法，给出偏序集的几种完备化构造，然后由偏序集诱导一个形式背景，讨论该形式背景下的粗糙概念与完备化的关系，主要讨论相容定向完备偏序集上的拓扑结构和范畴性质。
【关键词】偏序集；完备化；Ｓｃｏｔｔ拓扑；完备（子）范畴【中图分类号】ＴＢ７５１ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２０９５－３０８９（２０１８）２５－００５３－０２ 一、偏序集的概念一个集合如果要能够被排序的话，其上必须定义了“序”的概念所谓偏序集就是定义了偏序关系的集合。
偏序关系在数学上的表现形式：偏序是在集合Ｘ上的二元关系≤（这只是个抽象符号，不是“小于或等于”），它满足自反性、反对称性和传递性。
即，对于Ｘ中的任意元素ａ，ｂ和ｃ，有：自反性：ａ≤ａ；反对称性：如果ａ≤ｂ且ｂ≤ａ，则有ａ＝ｂ；传递性：如果ａ≤ｂ且ｂ≤ｃ，则ａ≤ｃ。
带有偏序关系的集合称为偏序集。
令（Ｘ，≤）是一个偏序集，对于集合中的两个元素ａ、ｂ，如果有ａ≤ｂ或者ｂ≤ａ，则称ａ和ｂ是可比的，否则ａ和ｂ不可比。
在Ｘ中，对于元素ａ，如果任意元素ｂ，由ｂ≤ａ得出ｂ＝ａ，则称ａ为极小元。
链：链式Ｅ的一个子集Ｃ，在偏序关系 下，它的每一对元素都是可比的，即Ｃ是Ｅ的一个全序子集。
反链（或称杂置）：顾名思义，它和链的定义恰恰相反。
反链是Ｅ的一个子集Ａ，在偏序关系 下，它的每一对元素都是不可比的。
链和反链的大小是指集合中元素的个数。
一个反链Ａ是Ｘ的一个子集，它的任意两个元素都不能进行比较。
一个链Ｃ是Ｘ的一个子集，它的任意两个元素都可比。
Ｄｉｌｗｏｒｔｈ定理：令（Ｅ， ）是一个有限偏序集，并令ｍ是Ｅ中最大反链的大小，Ｍ是将Ｅ划分成最少的链的个数（使得这些链的并集包含所有Ｅ中的元素）。
在Ｅ中，有ｍ＝Ｍ。
（如果用一条线将最长反链所对应的边从左到右连起来，那么这条线不会与平面图的其他边相交。
《离散数学》偏序关集与格
第六章 偏序关集与格
• §6.1 偏序关系和偏序集
– §6.1.1 偏序关系和偏序集的定义与性质 – §6.1.2 积偏序和字典序 – §6.1.3 哈斯图
• §6.2 偏序集中的特殊元素
– §6.2.1 偏序集中的特殊元素 – §6.2.2 拓扑排序 – §6.2.3 有限偏序集的高度与宽度
• §6.3 格与布尔代数
– §6.3.1 格的定义 – §6.3.2 特殊的格 – *§6.3.3 布尔代数
18
积偏序和字典序
• 定理 假设 (A, ≤1) 和 (B, ≤2) 是两个偏序集，
则可以定义在 AB 上的偏序关系 ≤ 为： (a, b) ≤ (a’, b’) 当且仅当 a≤1a’ 且 b≤2b’，
42
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
43
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
44
最大元与最小元
12 8
9
6
4
10
11 3
2
57
1
45
极大元与极小元
{a, b}
{a, b, c}
{b, c} {a, c}
{a}
46
{b} {c}
极大元与极小元
• 有时候，极大元/极小元只有一个； • 有时，极大元/极小元也可能存在多个； • 孤立结点既是极小元，也是极大元； • 有时，极小元和极大元可能不存在，
• 偏序集 (A, R1) 称做偏序集 (A, R) 的对偶。
12
偏序集
• 例如：
– 小于等于关系 和
– 大于等于关系
9.6偏序关系
9.6偏序关系9.6偏序关系(Partial Order)偏序(Partial Order)定义:偏序(Partial order)：定义在A上的集合R是偏序关系iff(当且仅当)其具有以下性质:1. ⾃反性(reflexive)2. 反对称性(antisymmetric)3. 传递性(transtive)NOTE: R记作≼，注意这⾥的≼不必是指⼀般意义上的“⼩于或等于”,若有x≼y，我们也说x排在y前⾯（x precedes y).偏序集(Partially ordered set)/(或简写为poset): 集合A及定义在其上的偏序关系R⼀起称为偏序集，记作(A, R)，A中的元素也称为偏序集中的元素.线序/全序(Linear Order)如果(A, ≤)是⼀个偏序集(poset)，那么对于其中的元素a和b,1. a≤b 或者 b≤a,那么称为可⽐的(Comparable)2. 即不存在a≤b，也不存在b≤a,那么称为不可⽐的(Imcomparable)如果偏序集A中每对元素(every pair of elements)都是可⽐的，那么我们就称A是线序集合(linearly ordered set)或全序集合(totally ordered set),称偏序关系R为线序或全序关系(linear order). 我们也称A为链(chain).良序集(Well-ordered set)定义:设集合(S,≤)为⼀全序集，≤是其全序关系，若对任意的S的⾮空⼦集，在其序下都有最⼩元素，则称≤为良序关系，(S,≤)为良序集。
拟序(Quasiorder)定义:定义在A上的关系R是拟序关系iff其具有以下关系1. 反⾃反性(irreflexive)2. 传递性(transitive)NOTE:满⾜反对称性的拟序关系就称为偏序关系乘积偏序(Product Partial Order)如果(A, ≤)和(B, ≤)都是偏序集，那么他们的笛卡尔积也是个偏序集，其偏序关系≤被定义为:如果在A中有a ≤ a'，在B中有b ≤ b'，那么(a, b) ≤ (a', b')词典顺序(Lexicographic Order)对于⼀个乘积偏序，(a, b) ＜ (a', b')在a ＜ a'(或a == a'并且b ＜ b')时成⽴那么我们称其为词典顺序(Lexicographic Order)或字典序(“dictionary” order)哈斯图(Hasse Diagram)哈斯图是有限集A上的偏序图，并且:删除了所有的⾃环(self-cycles)消除了由传递性⽣成的边⾃底向上的制图设(S, ≤)是⼀个poset. 若x＜y且不存在元素z∈S，使得x＜z＜y，则称y∈S覆盖x∈S.⽽y覆盖x的有序对(x, y)的集合也称为(S, ≤)的覆盖关系.可以看出，(S, ≤)的哈斯图的边与其覆盖关系是⼀⼀对应的.同构(Isomorphism)对应原理(Principle of Correspondence)两个有限同构偏序集必定具有相同的Hasse图.拓扑排序(Topological Sorting)极⼤元(maximal element)和极⼩元(minimal element)定义:偏序集中的⼀个元素称为极⼤(⼩)元，当它不⼩(⼤)于这个偏序集中的任何其他元素, 利⽤哈斯图很容易判别它们就是图中的"顶"("底")元素极⼤(⼩)元⼀定存在，且可能是不唯⼀的最⼤元(greatest element)和最⼩元(least element)定义:如果在偏序集中存在⼀个元素⼤(⼩)于任何其他的元素，那么称这样的元素为最⼤(⼩)元最⼤(⼩)元可能不存在，若存在则唯⼀最⼩上界(least upper bound)和最⼤上界(greatest lower bound)定义:如果存在⼀个元素u(l)∈S，使得对于偏序集(S, ≤)的⼦集A中的所有元素a，有a≼u(l≼a)，那么称u(l)为A的⼀个上(下)界，如果u(l)是所有上(下)界中最⼩(⼤)的，就叫最⼩上界(LUB)(最⼤下界(GLB))上界的最⼩元就叫最⼩上界；下界的最⼤元叫最⼤下界(Topological Sorting)定义:对⼀个有向⽆环图DAG(Directed Acyclic Graph)G进⾏拓扑排序，是将G中所有顶点排成⼀个线性序列，使得图中任意⼀对顶点u 和v，若边<u,v>∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。
36偏序关系
3.6.2字典序 字典序 A1×A2×…×An上的字典序： n个偏序集（A1，≤），（A2，≤），…，（An，≤） 在A1×A2×…×An上定义偏序关系： (a1,a2,…,an)<(b1,b2,…,bn)⇔∃i，1≤i≤n-1，使 a1=b1,a2=b2,…,ai=bi,且ai+1<bi+1 串上的字典序： 偏序集（S，≤），a1a2…am、b1b2…bn是S上的串， t=min(m,n) a1a2…am<b1b2…bn⇔(a1,a2,…,at)<(b1,b2,…,bt)或 (a1,a2,…,at)=(b1,b2,…,bt),且m<n
图3-11 三个偏序集 的哈斯图
例 21 偏序集(Z+,|)是格吗？ 解 设a和b是两个正整数。这两个整数的最小下界和最 大下界分别是他们的最小公倍数和最大公约数，读者应能 验证这一点。因此这个偏序集是格。 例 22 确定偏序集({1,2,3,4,5},|)和({1,2,4,8,16},|)是否为格. 解 因为2和3在({1,2,3,4,5},|)中没有上界，它们当然没 有最小上界，因此第一个偏序集不是格。 第二个偏序集的每两个元素都有最小上界和最大下界。 在这个偏序集中两个元素的最小上界是他们中间较大的元 素，而两个元素的最大下界是它们间较小的元素，读者 应能验证这一点。因此第二个偏序集是格。 例 确定(P(S), ⊆)是否是格，其中S是集合。 解 设A和B是S的两个子集。A和B的最小上界和最大下界分 别是A∪B和A∩B，因此(P(S), ⊆)是格。
上界： 上界：A⊆S，a∈S ， 若∀x∈A，x≤a，则称a是A的上界 下界： 下界：A⊆S，a∈S ， 若∀x∈A，a≤x，则称a是A的下界 例 17 找出在图3-10所示哈斯图的偏序集的子集 ｛a,b,c｝,{j,h}和｛a,c,d,f｝的下界和上界。 解 ｛a,b,c｝的上界是e,f,j和h，它的唯一的下界是a。{j,h} 没有上界，它的下界是a,b,c,d,e和f。{a,c,d,f}的上界是f， h和j，它的下界是a。
基于偏序集的连续映射
第38卷第1期2024年2月南华大学学报(自然科学版)Journal of University of South China(Science and Technology)Vol.38No.1Feb.2024收稿日期:2023-10-18基金项目:湖南省教育厅科研基金项目(22B0447)作者简介:杨大子(1998 ),男,硕士研究生,主要从事偏序集理论方面的研究㊂E-mail:ydz1344939@㊂∗通信作者:邹志伟(1983 ),男,副教授,博士,主要从事Domain 理论方面的研究㊂E-mail:zouzhiwei1983@DOI :10.19431/ki.1673-0062.2024.01.008基于偏序集的连续映射杨大子,邹志伟∗(南华大学数理学院,湖南,衡阳,421001)摘㊀要:基于实数集R 的经典邻域的概念,引入了一个新的基于偏序集P 的邻域的概念,随后定义了一个从P 到R 的映射的极限和连续的新概念,并在偏序集的背景下验证了连续函数的各种经典结论,例如有界性㊁介值定理等等㊂关键词:偏序集;邻域;极限;连续性中图分类号:O153.1文献标志码:A 文章编号:1673-0062(2024)01-0060-07Continuous Mapping Based on PosetYANG Dazi ,ZOU Zhiwei ∗(School of Mathematics and Physics,University of South China,Hengyang,Hunan 421001,China)Abstract :Different from the classical neighborhood based on real number set R ,this paper introduces we introduce a new notion of neighborhood based on a poset P .Subsequently,the novel notions of limit and continuity of a mapping from P to R are also defined.Various classical results about a continuous functions are verified in the context of poset inthis paper,such as boundness,intermediate value theorem and etc.key words :poset;neighborhood;limit;continuity0㊀引㊀言偏序集作为近代数学三大母结构之一,在数学中是广泛存在的㊂偏序集(P ,ɤ)由一个非空集合P 和满足自反性㊁反对称性和传递性的二元关系 ɤ 组成㊂如果偏序集中任意两个元素都存在上下确界则称为格㊂格论起源于G.Birkhoff在1940年出版的巨著Lattice Theory [1]㊂经过这些年的发展,格论在拓扑学㊁模糊数学㊁组合数学等都得到了广泛的应用[2-8]㊂在微积分中,如果对于定义域中的任一点x ,U (x )⊆R 且f (x )在像集中,存在f (U (x ))⊆U (f (x )),则称函数f 连续㊂连续这一概念是微积分的基础,在微积分理论的发展过程中起到不可第38卷第1期杨大子等:基于偏序集的连续映射2024年2月或缺的作用㊂同时连续性本身也带来了分析中的许多关键性质和定理,如闭区间上的有界性㊁零点存在定理,介值定理和不动点理论[9]等等㊂函数是一个从实数集R 的子集到实数集R 的映射,类似地在偏序集理论中也有从偏序集到偏序集的映射㊂考虑到实数集可以看作是一个特殊的偏序集,那么如何定义和研究从偏序集到实数集的连续映射,推广连续函数的性质成为有意义的?函数的极限和连续性的概念是基于邻域的概念,因此可以首先在偏序集上定义邻域的概念;其次,定义从P 到R 的映射上的极限的概念并推广相关性质;然后给出从P 到R 的映射的连续的概念并着手对其性质进行研究㊂考虑闭区间上连续函数的性质,需要将它们推广到从P 到R 的映射上,由于一般偏序集不具有实数集的完备性,所以不能使这些性质成立,因此,需要完备格来代替一般偏序集㊂最后,才能在此背景下验证数学分析中的各种重要定理㊂1㊀预备知识下文将使用以下基本定义和命题㊂定义1[10]㊀设P 为偏序集,称P 有一个底元,如果存在ʅɪP 且对任意的x ɪP 有ʅɤx ㊂对偶地,P 有一个顶元,如果存在ʅɪP 使得对于任意的x ɪP 有x ɤʅ㊂对于a ,b ɪP ,如果它们满足a ɤb 且a ʂb ,则记为a <b ㊂定义2[10]㊀设P 为偏序集且x ,y ɪP ,称x 被y 覆盖(或y 覆盖x ),并且写作x ≼y 或y ≽x ,如果x <y 且x ɤz <y 蕴含z =x ㊂后一个条件要求不存在z ɪP 使得x <z <y ㊂定义3[10]㊀假设P 和Q 是(不相交的)偏序集㊂P 和Q 的不交并集PQ 是偏序集,在PQ中定义x ɤy 当且仅当x ,y ɪP 且在P 中x ɤy 或者x ,y ɪQ 且在Q 中x ɤy ㊂设P 为偏序集且取Q ⊆P ,那么称a ɪQ 是Q 的一个极大元,如果a ɤx 且x ɪQ 蕴含a =x ,记Q 的极大元的集合为Max Q ㊂如果Q (继承P 中的序)有顶元ʅQ ,那么Max Q ={ʅQ },这种情况下ʅQ 称为Q 中的最大元,写作max Q =ʅQ ;极小元㊁极小元的集合Min Q 和最小元min Q 的定义与上对偶㊂定义4[10]㊀设P 是一个非空偏序集,如果对于所有的S ⊆P ,ᶱS 和ɡS 都存在,那么P 被称为完备格㊂其中用x ᶱy 代替sup{x ,y },x ɡy 代替inf{x ,y },类似地用ᶱS 和ɡS 代替sup S 和inf S (如果它们存在)㊂命题1[11]㊀设P 是一个偏序集,若任意并存在(或者任意交存在),则P 为完备格㊂2㊀主要结论2.1㊀邻域和极限设P 为偏序集且在P 中有a <b ㊂称子集{x ɪP a ɤx ɤb }为闭区间,记为[a ,b ];称子集{x ɪP a <x <b }为开区间,记为(a ,b )㊂定义5㊀设P 为偏序集,对于P 中的点x (1)若存在a ɪP 使得a <x ,则称[a ,x ]为x的一个左邻域,记作U -(x ,a ),简记为U -(x );称[a ,x )为x 的一个去心左邻域,记作U ㊂-(x ,a ),简记为U ㊂-(x );(2)若存在b ɪP 使得x <b ,则称[x ,b ]为x 的一个右邻域,记作U +(x ,b ),简记为U +(x );称(x ,b ]为x 的一个去心右邻域,记作U ㊂+(x ,b ),简记为U ㊂+(x );(3)若存在a ,b ɪP 使得a <x <b ,则称[a ,x ]ɣ[x ,b ]为x 的一个邻域,记作U (x ,a ,b ),简记为U (x );称[a ,x )ɣ(x ,b ]为x 的一个去心邻域,记作U ㊂(x ,a ,b ),简记为U ㊂(x )㊂基于邻域的概念,极限的概念可以如下定义:定义6㊀设P 为偏序集,f :P ңR 为一个映射,x 0ɪP 且A ɪR ㊂(1)对任意的ε>0和a <x 0㊂存在U ㊂-(x 0)⊆[a ,x 0),使得对于任意的x ɪU ㊂-(x 0)有f (x )-A <ε,则称A 为f 在x 0的左极限,记为lim x ңx -0f (x )=A ;(2)对任意的ε>0和x 0<b ㊂存在U ㊂+(x 0)⊆(x 0,b ],使得对于任意的x ɪU ㊂+(x 0)有f (x )-A <ε,则称A 为f 在x 0的右极限,记为lim x ңx +0f (x )=A ;(3)对任意的ε>0和a <x 0<b ㊂存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对于任意的x ɪU ㊂(x 0)有f (x )-A <ε,则称A 为f 在x 0的极限,记为lim x ңx 0f (x )=A ㊂注1:如果x 0ɪP 没有左(右)邻域但是映射f在x 0处有右(左)极限时,亦称f 在点x 0处有极限㊂命题2㊀假设A 与B 都是f 在点x 0的极限,第38卷第1期南华大学学报(自然科学版)2024年2月则A =B ㊂证明:由极限的定义,可知对任意的ε>0和P 中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂1(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对任意的x ɪU ㊂1(x 0),f (x )-A <ε2成立㊂对U ㊂1(x 0)中任意的c <x 0<d ,存在U ㊂2(x 0)⊆U ㊂(x 0,c ,d ),使得对任意的x ɪU ㊂2(x 0),f (x )-B <ε2成立㊂则对于任意的x ɪU ㊂2(x 0),使得|A -B |ɤf (x )-A +f (x )-B <ε由于ε可以无限接近于0,可知A =B ㊂证毕㊂命题3㊀若lim x ңx 0f (x )=A ,lim x ңx 0g (x )=B ,且A >B ,则存在U ㊂(x 0),使得对于任意x ɪU ㊂(x 0),有f (x )>g (x )㊂证明:取ε0=A -B2>0㊂由lim x ңx 0f (x )=A ,对于P中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂1(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对任意的x ɪU ㊂1(x 0),有f (x )-A <ε0,从而A +B2<f (x );由lim x ңx 0g (x )=B ,对U ㊂1(x 0)中任意的c <x 0<d ,存在U ㊂2(x 0)⊆U ㊂(x 0,c ,d ),使得对任意的x ɪU ㊂2(x 0),有|g (x )-B |<ε0,从而g (x )<A +B2㊂则对于任意的x ɪU ㊂2(x 0),有g (x )<A +B2<f (x )㊂证毕㊂推论1㊀若lim x ңx 0f (x )=A >0,对P 中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对任意的x ɪU ㊂(x 0),f (x )>A2>0成立㊂证明:令g (x )=A2,由命题3可知存在U ㊂(x 0)⊆P ,使得对于任意的x ɪU ㊂(x 0)有f (x )>A2>0㊂证毕㊂对偶地,当A <0时,有f (x )<A2<0㊂推论2㊀如果lim x ңx 0f (x )=A >0,lim x ңx 0g (x )=B ,那么对P 中任意的a <x 0<b 存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对任意的x ɪU ㊂(x 0)有g (x )ɤf (x ),那么B ɤA ㊂证明:假设B >A ,则由命题3,对U ㊂(x 0)中任意的c <x 0<d ,存在U ㊂1(x 0)⊆U ㊂(x 0,c ,d ),使得对任意的x ɪU ㊂1(x 0)有g (x )>f (x )㊂可知对于任意的x ɪU ㊂1(x 0)既有g (x )ɤf (x )又有g (x )>f (x ),从而产生矛盾㊂证毕㊂推论3㊀令lim x ңx 0f (x )=A >0,对P 中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得f (x )在U ㊂(x 0)中有界㊂证明:取常数M 和m ,满足m <A <M ,并且令g (x )=m ,h (x )=M 为两个常值映射㊂由命题3可知对P 中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对任意的x ɪU ㊂(x 0)有m <f (x )<M ㊂证毕㊂如果f 在x 0有定义,取G =max{|m |,|M |,|f (x )|},则对任意x ɪU (x 0)有f (x )ɤG ㊂命题4㊀如果对P 中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对于任意的x ɪU ㊂(x 0)有g (x )ɤf (x )ɤh (x ),并且lim x ңx 0g (x )=lim x ңx 0h (x )=A ,那么lim x ңx 0f (x )=A ㊂证明:对于任意的ε>0和U ㊂(x 0)中任意的a 1<x 0<b 1㊂由lim x ңx 0h (x )=A 可知存在U ㊂1(x 0)⊆U ㊂(x 0,a 1,b 1),使得对于任意的x ɪU ㊂1(x 0)有|h (x )-A |<ε,那么h (x )<A +ε㊂由lim x ңx 0g (x )=A ,对U ㊂1(x 0)中任意的a 2<x 0<b 2可知存在U ㊂2(x 0)⊆U ㊂(x 0,a 2,b 2),使得对于任意的x ɪU ㊂2(x 0)有|g (x )-A |<ε,那么A -ε<g (x )㊂对任意的x ɪU ㊂2(x 0)有A -ε<g (x )ɤf (x )ɤh (x )<A +ε即lim x ңx 0f (x )=A ㊂证毕㊂2.2㊀连续性定义7㊀设P 为偏序集,x 0ɪP 且f :P ңR ㊂(1)若lim x ңx -0f (x )=f (x 0)或者x 0没有左邻域,称f 在x 0处左连续;(2)若lim x ңx +0f (x )=f (x 0)或者x 0没有右邻域,称f 在x 0处右连续;(3)如果f 在x 0处既左连续又右连续,那么f 在x 0处连续;(4)对任意的x ɪP ,如果f 在x 处连续,那么f 在P 上连续㊂第38卷第1期杨大子等:基于偏序集的连续映射2024年2月以lim x ңx -0f (x )=f (x 0)为例㊂由极限的定义,左极限存在且等于f (x 0)当且仅当对于任意的ε>0和a <x 0,存在U ㊂-(x 0)⊆[a ,x 0),使得对于任意的x ɪU ㊂-(x 0)有f (x )-f (x 0)<ε㊂然后称使得f (x )-f (x 0)<ε成立的所有U ㊂-(x 0)的集族为x 0的连续左邻域系并记作U P -(x 0,ε)㊂类似地,连续右邻域系U P +(x 0,ε)和连续邻域系U P (x 0,ε)㊂若P 为一个反链,则映射f :P ңR 连续㊂证明:因为P 是一个反链,所以任意的x ɪP 都没有左右邻域,所以f 在任意x ɪP 上连续,所以f 在P 上连续㊂证毕㊂定义8㊀设P 为偏序集,对于任意的a ,b ɪP ,如果P 中存在一列有限个元素即x 1,x 2, ,x n ,使得序列a ,x 1,x 2, ,x n ,b 任意相邻两个元素之间存在覆盖关系,则称a 与b 有关系,记为a ~b ,反之则称a 与b 没有关系㊂定理1㊀设P 为有限偏序集,f :P ңR 为一个映射,则以下条件等价:(1)f 在P 上连续;(2)∀a ,b ɪP ,若a ≼b ,则f (a )=f (b );(3)∀a ,b ɪP ,若a ~b ,则f (a )=f (b )㊂证明:(1)⇒(2)假设存在a ,b ɪP 且a ≼b ,使得f (a )ʂf (b ),那么对于点a ,存在ε=f (a )-f (b )2>0,有f (a )-f (b )>ε,则映射f 在点a 处不连续,与条件(1)矛盾;(2)⇒(3)由定义8可知对a ~b ,则P 中存在一列有限个元素x 1,x 2, ,x n ,使得序列a ,x 1,x 2, ,x n ,b 任意相邻两个元素之间存在覆盖关系,由条件(2)可知任意两个元素之间如果存在覆盖关系则他们在映射的作用下的像相等,此即f (a )=f (x 1)=f (x 2)= =f (x n )=f (b );(3)⇒(1)由条件(3)可知对任意的a ɪP ,若存在b ɪP ,使得a ~b ,则f (a )=f (b )㊂此即对任意的ε>0,存在U ㊂-(a )ʂØ或U ㊂+(a )ʂØ,使得对任意x ɪU ㊂-(a )或任意x ɪU ㊂+(a )时,有f (x )-f (a )<ε㊂对任意a ɪP ,如果任意U ㊂(a )=Ø,那么映射f 在点a 处连续㊂因为点a 是P 中任意点,所以f 在P 上连续㊂证毕㊂设P 为偏序集,P 1⊆P 且f 是从P 到R 的映射㊂构造一个映射f P 1:P 1ңR 且其满足f P 1(x )=f (x )㊂那么称fP 1是f 的投影㊂定理2㊀假设f 在P 上连续,取P 1⊆P ,映射fP 1在P 1上连续,如果P 1满足以下条件:(1)对任意的a ,x 0ɪP 1且a <x 0,有{x ɪP 1a ɤx <x 0}={x ɪP a ɤx <x 0};(2)对任意的b ,x 0ɪP 1且x 0<b ,有{x ɪP 1x 0<x ɤb }={x ɪP x 0<x ɤb }㊂证明:对任意的x 0ɪP 1,如果x 0在P 1上没有左邻域,那么fP 1在x 0处左连续㊂如果x 0在P 1上有左邻域,因为f 在x 0处连续,所以对于任意的ε>0存在U P -(x 0,ε)㊂由条件(1)对P 1中任意的a <x 0,有{x ɪP 1a ɤx <x 0}={x ɪP a ɤx <x 0},易知存在U ㊂-(x 0)⊆{x ɪP 1a ɤx <x 0},使得U ㊂-(x 0)ɪU P -(x 0,ε)㊂那么f P 1在x 0处左连续㊂对偶地,fP 1在x 0处右连续㊂这能推出fP 1在P 1上连续㊂证毕㊂定理3㊀设P 1,P 2是两个不相交的偏序集,且令P =P 1P 2,则以下条件等价:(1)映射f 在P 上连续;(2)映射f P i 在P i (i =1,2)上连续㊂证明:(1)⇒(2)只需证明fP 1在P 1上连续㊂由条件(1),f 在任意x ɪP 处连续㊂取任意x 0ɪP 1,如果x 0在P 1上有左邻域,因为P 1,P 2是两个不相交的偏序集,所以对P 1中任意的a <x 0,有{x ɪP 1a ɤx <x 0}={x ɪP a ɤx <x 0}㊂对偶地,对P 1中任意的x 0<b ,有{x ɪP 1x 0<x ɤb }={x ɪP x 0<x ɤb }㊂由定理2可知映射f P 1在P 1上连续㊂类似地f P 2在P 2上连续㊂(2)⇒(1)因为fP i在P i (i =1,2)上连续,对任意x ɪP ,x ɪP 1或者x ɪP 2,所以映射f 在P 上连续㊂证毕㊂注2:若存在一族两两不相交的偏序集{P γ}γɪΓ,令P =γɪΓP γ,映射f 在P 上连续当且仅当映射f P γ在任意P γ上连续㊂证明过程与定理3一致㊂2.3㊀连续映射的性质设P 为偏序集㊂对于P 中任意a ɤb ,[a ,b ]是P 上的闭区间㊂定理4㊀设P 为偏序集,f :P ңR 为一个映射㊂对P 中任意的a ɤb ,如果映射f 在P 上连续,那么在f 闭区间[a ,b ]⊆P 上连续㊂证明:若a ≼b ,则f (a )=f (b ),即f 在闭区间[a ,b ]上连续㊂如果(a ,b )ʂØ,对任意的x 0ɪ[a ,b ]㊂容易知道对于[a ,b ]中任意的y <x 0,有{x ɪ[a ,b ]y ɤx <x 0}={x ɪP y ɤx <x 0}㊂对偶的对于[a ,b ]中任意的x 0<z ,有{x ɪ[a ,b ]x 0<第38卷第1期南华大学学报(自然科学版)2024年2月x ɤz }={x ɪP x 0<x ɤz }㊂然后根据定理2,f 在[a ,b ]上连续㊂证毕㊂找到闭区间之后,发现上面的这些性质在偏序集上不一定成立㊂下面是两个反例㊂例2㊀设P 为(R \{0},ɤ),对任意的x ɪP有f (x )=1|x |㊂以闭区间[-1,1]⊆P 为例㊂由定理4,f 在[-1,1]上连续,容易发现lim x ң0f (x )=+ɕ,于是映射f 无界并且没有最大值㊂例3㊀设P 为(R \{0},ɤ),对任意的x ɪP 有f (x )=x ㊂以闭区间[-1,1]⊆P 为例㊂由定理4,f 在[-1,1]上连续,f (-1)=-1<0且f (1)=1>0,但是0在P 中没有原像,所以零点存在定理和介值定理在偏序集上的闭区间上也不一定成立㊂从数学分析中可以看出,如果没有实数集的完备性,就不能建立闭区间上连续函数的性质㊂从以上两个例子可以看出,与实数集相比,一般偏序集缺乏完备性㊂为此,选择了一个特殊的偏序集 完备格,并考虑它的完备性㊂类似于实数理论,首先定义序列及其极限的概念㊂设P 为偏序集,P 中的一列由正整数编号的元素x 1,x 2, ,x n 被称为一个序列,记作{x n }㊂定义9㊀设P 为偏序集,{x n }为P 中的序列且x 0ɪP ㊂如果P 中有一条升链{a n }和一条降链{b n }并且sup {a n }=inf {b n }=x 0㊂对于任意的m ɪN +,存在N >0使得对于任意的n >N 有x n ɪU (x 0,a m ,b m )㊂那么序列{x n }趋近于x 0㊂称x 0为{x n }的极限并记作lim n ң+ɕx n =x 0㊂命题5㊀如果f :P ңR 连续且lim n ң+ɕx n =x 0,则f (lim n ң+ɕx n )=lim n ң+ɕf (x n )=f (x 0)㊂证明:由lim n ң+ɕx n =x 0可知f (lim n ң+ɕx n )=f (x 0)㊂对任意的ε>0,又因为lim n ң+ɕx n =x 0可知P 中有一条升链{a n }和一条降链{b n }并且sup{a n }=inf{b n }=x 0㊂对于任意的m ɪN +,存在N >0使得对于任意的n >N 有x n ɪU (x 0,a m ,b m )㊂因为f 在P 上连续,对a 1<x 0<b 1,存在m >0使得对任意的x ɪU ㊂(x 0,a m ,b m )有f (x )-f (x 0)<ε㊂因为x n ɪU (x 0,a m ,b m ),所以对于任意n >N 有f (x n )-f (x 0)<ε㊂所以lim n ң+ɕf (x n )=f (x 0)㊂证毕㊂设P 为完备格,S 为P 任意非空子集㊂由完备格的定义可知sup S 和inf S 在P 中存在㊂然后通过实数理论研究完备格的一些完备性质㊂实数理论的确界原理在完备格上自然成立㊂然后我们由实数理论来考虑完备格的完备性质㊂命题6㊀设P 为偏序集,对P 1⊆P ,X ⊆P 1,若sup PX ɪP 1,则sup P 1X 存在且sup P 1X =sup PX ㊂证明:令a =sup PX ɪP 1,首先对于任意的x ɪX ,有x ɤa ㊂若存在y ɪP 1,使得对任意的x ɪX 有x ɤy ,则y 在P 中为X 的上界,所以a ɤy ,即a 为X 在P 1的上确界,即sup P 1X =sup PX ㊂证毕㊂命题7㊀设P 为完备格,对于P 中任意的a ɤb ,[a ,b ]也为完备格㊂证明:对任意的X ⊆[a ,b ]⊆P ,sup P X 存在㊂因为对任意的x ɪX 有a ɤx ɤb ,所以sup PX ɪ[a ,b ]㊂由命题6可知,sup [a ,b ]X 存在且sup [a ,b ]X =sup PX ,由命题1,[a ,b ]为完备格㊂证毕㊂注3:由完备格定义可知,完备格自身也为闭区间形如[ʅ,ʅ]㊂如果没有特殊说明,以下的P 为完备格㊂命题8㊀设{x n }为P 中的序列,若{x n }单调递增且有上界,则序列{x n }有极限且极限为上确界㊂证明:设x 0=sup{x n },构造集合E ={x n n =1,2, }⊆P ,所以ᶱE 存在且ᶱE =x 0㊂取{a n }={x n }且取{b n }={x 0,x 0, },则对任意的m ɪN +,存在N >0,使得对任意的n >N ,有x n ɪ[a m ,x 0]ɣ[x 0,b m ]=[a m ,x 0],则lim n ң+ɕx n =x 0㊂证毕㊂对偶地,当{x n }单调递减且有下界时lim n ң+ɕx n =inf{x n }㊂命题9㊀有界序列有收敛子列㊂证明:设{x n }为P 上有界序列㊂首先证明单调子列的存在性㊂如果{x n }中存在单调增子列{x n k },那么证明完毕㊂如果{x n }中不存在单调增子列,那么存在n 1>n 总有x n 1ɤx n ㊂类似地,{x n }(n >n 1)中也不存在单调增子列,存在n 2>n 1总有x n 2ɤx n 1ɤx n ㊂如此无限下去,可以得到一列单调递减子列{x n k }㊂那么有界序列存在单调子列{x n k },又因为它有界由命题8可知{x n k }收敛㊂证毕㊂定理5㊀若映射f :P ңR 在闭区间[a ,b ]⊆P 上连续,则它在[a ,b ]上有界㊂证明:假设f 在[a ,b ]上无界,则对于每个正实数A ,都存在x ɪ[a ,b ],使得f (x )ȡA ;所以对每个n ɪN +,存在x ɪ[a ,b ],使得f (x )ȡn ㊂由命题9,可以找到一个序列{x n }⊆[a ,b ](n ɪN +),使得f (x n )ȡn ㊂由命题9可知{x n }(n ɪ第38卷第1期杨大子等:基于偏序集的连续映射2024年2月N +)有收敛子列{x n k }(k ɪN +)㊂令x 0=lim k ң+ɕx n k 并且构造集合E ={x n k k =1,2, }⊆[a ,b ],那么x 0ɪ[a ,b ]㊂又因为f 在[a ,b ]上连续,由命题5易知f (lim n ң+ɕx n )=lim n ң+ɕf (x n )=f (x 0)且f (x 0)<+ɕ㊂所以lim k ң+ɕf (x n k )<+ɕ㊂对于f (x n k )ȡn k ȡk ,lim k ң+ɕf (x n k )=+ɕ,产生矛盾㊂所以f 在[a ,b ]上有界㊂证毕㊂为了验证最值定理,本文引入了复合映射的概念㊂设映射f :P ңR 和函数g :R ңR ,称g f :P ңR 为复合映射㊂定理6㊀如果u =f (x )在点x 0处连续且u 0=f (x 0)并且y =g (u )在点u 0处连续,则g f :P ңR 在点x 0处连续㊂证明:对任意ε>0,由于lim u ңu 0g (u )=g (u 0),存在U ㊂(u 0)⊂R ,使得对于任意u ɪU ㊂(u 0),有g (u )-g (u 0)<ε㊂因为lim x ңx 0f (x )=f (x 0)=u 0,存在U ㊂(x 0)⊂P ,使得对于任意x ɪU ㊂(x 0),有f (x )ɪU ㊂(u 0)㊂那么对于任意的x ɪU ㊂(x 0)有g f (x )-g f (x 0)=g f (x )-g (u 0)<ε,此即lim x ңx 0g f (x )=g f (x 0)㊂证毕㊂由定理6可知当映射f :P ңR 在P 上连续,函数g :R ңR 在R f 上连续时,复合映射g f :P ңR 在P 上连续㊂定理7㊀如果映射f 在闭区间[a ,b ]⊆P 上连续,则它在[a ,b ]上能取到最大值和最小值,即存在A ,B ɪ[a ,b ],对任意x ɪ[a ,b ]有f (A )ɤf (x )ɤf (B )㊂证明:由定理5,集合R f ={f (x )x ɪ[a ,b ]}是一个有界实数集,所以必有上下确界,记m =inf R f ,M =sup R f ㊂接着需要证明存在B ɪ[a ,b ],使得f (B )=M ㊂假设对于任意x ɪ[a ,b ]有f (x )<M ㊂令g (x )=1M -f (x ),x ɪ[a ,b ]㊂由定理6,复合映射g f :P ңR 在[a ,b ]上连续且值为正的㊂那么g 在[a ,b ]上有上确界并记为G ㊂则有0<g (x )=1M -f (x )ɤG ,x ɪ[a ,b ]㊂从而推得f (x )ɤM -1G,x ɪ[a ,b ]㊂这与M 为f ([a ,b ])的上确界相矛盾,所以必有B ɪ[a ,b ],使得f (B )=M ,即f 在[a ,b ]上有最大值㊂同理可证f 在[a ,b ]上有最小值㊂证毕㊂以下是数学分析中零点存在定理的推广㊂定理8㊀如果映射f 在闭区间[a ,b ]⊆P 上连续且f (a )㊃f (b )<0,则存在c ɪ(a ,b ),使得f (c )=0㊂证明:不失一般性,不妨设f (a )<0,f (b )>0,集合E ={x ɪ[a ,b ]f (x )<0},显然E 有底元a ,且存在极大元集合Max E ⊆E ,因为f (a )<0,所以Max E 和E 非空㊂对任意的c ɪMax E ,c ɪ[a ,b ]㊂假设f (c )ʂ0㊂如果f (c )>0,由推论1,存在U ㊂-(c )⊆[a ,b ],使得对于任意的x ɪU ㊂-(c )有f (x )>0,那么U ㊂-(c )ɘE ʂØ,这与c ɪMax E 矛盾㊂如果f (c )<0,对于f (b )>0且c <b ,由命题3,存在U ㊂+(c )⊆[a ,b ],使得对任意的x ɪU ㊂+(c )有f (x )<0,这与c ɪMax E 矛盾㊂所以f (c )=0㊂证毕㊂定理9㊀如果映射f 在闭区间[a ,b ]⊆P 上连续,存在A ,B ɪ[a ,b ],使得m =f (A )=inf R f ,M =f (B )=sup R f ㊂那么映射f 在[a ,b ]上能取到[m ,M ]中的任意值㊂证明:对于A ,B ɪ[a ,b ]⊆P ,A 和B 不一定比,所以取两个闭区间[a ,A ]和[a ,B ],因为对任意的x ɪ[a ,b ]有f (A )ɤf (x )ɤf (a )或者f (a )ɤf (x )ɤf (B )㊂取任意y ɪ(m ,f (a )),令g (x )=f (x )-y ,易知g (A )<0且g (a )>0,由定理8,存在c ɪ(a ,A ),使得g (c )=0㊂类似地,对于任意地y ɪ(f (a ),M ),存在c ɪ(a ,B ),使得g (c )=0㊂证毕㊂推论4㊀如果映射f 在闭区间[a ,b ]⊆P 上连续,m 是最小值,M 是最大值,则映射的值域是闭区间R f =[m ,M ]㊂参考文献:[1]BIRKHOFF ttice theory[M].Providence:American Mathematical Society,1940:1-20.[2]JIN Q,LI L Q,MA Z M,et al.A note on the relationshipsbetween generalized rough sets and topologies[J].Inter-national journal of approximate reasoning,2021,130(1):292-296.[3]PEI Z,PEI D W,ZHENG L.Topology vs generalizedrough sets[J].International journal of approximate rea-soning,2011,52(2):231-239.(下转第89页)第38卷第1期屈㊀星等:一种考虑光伏发电系统的广义综合模型2024年2月(5):312-318.[15]李培强,曾小军,黄际元,等.面向综合负荷的并网光伏发电系统等效建模[J].电力系统自动化,2016,40(8):43-50.[16]盛四清,关皓闻,雷业涛,等.基于混沌海鸥优化算法的含光伏发电系统负荷模型参数辨识[J].太阳能学报,2022,43(7):64-72.[17]李善寿,张兴.改进的光伏组件工程数学模型建模方法[J].电力自动化设备,2015,35(9):108-112. 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偏序关系
一、偏序关系
（2） 偏序集 ＜A, R 意指在一个集合 A 中给定于一 个序列关系。若 x, y A且xy ，我们就说 y 在 x 的 后面或 x 在 y 的前面或 x 包含在 y 中。 例 1：说明实数集 R 上的小于等于关系是偏序 关系，即 R, ；任意集合 S 的幂集上的包含 关系是偏序关系,即 P(S ),
一、偏序关系 定义 4-24 设偏序集<A, >，如果对于 A 中任意
两个元素 a, b A ,必有 a b 或 b a ，则称 是 A
上的全序关系。称 A, 为全序集。 例如，实数集 R 上的小于等于关系就是全序关 系。但是，整数集 Z 上的整除关系就不是全序 关系。
一、偏序关系
例 4-2 设 A {2,3,4,5,6,12,24,30} ， R 是 A 上 的整除关系， R { x, y x y} ，证明 R 是偏序 关系。 定义 4-23 对于集合 A 上的偏序关系 R ，如果 A 中两个 a ， b ，有 aRb ,则称 a 与 b 是可比较 的。
二、哈斯图
偏序集 A, 可以通过哈斯图表示，它是对关系图的
简化。 （1）由于偏序关系是自反的，即对每个元素 a ，都有 aRa ，因此在图上省去自环。 （2）由于偏序关系是传递的，即若有 aRb 和 bRc ，则 必有 aRc ，因此在图中省去 a 与 c 之间的连线。 （3）对于 aRb ，规定 b 在 a 的上方，则可省去箭头。 这样的图称为哈斯图。
4.上确界和下确界
注：一个子集 B 的上界和下界未必存在，也未必唯一，上 确界和下确界也未必存在。若上（下）确界存在，则必是 唯一的，上（下）确界的符号分别是 sup 与inf 。 例 设 集 合 A {1,2,3,4,5} ， A 上 的 二 元 关 系 R 为
2.6 半序(偏序)关系
第二章
例 求上例中A的极大元、极小元、最大元、最小元， 求上例中A的极大元、极小元、最大元、最小元， 极大元： 解：极大元：a, f, h; 极小元: 无最大元和最小元。 极小元 a,b,c,g; 无最大元和最小元。 Nhomakorabea8
第二章
定义7 定义7 设<A, ≼ >为偏序集，B⊆A, y∈A. 为偏序集， y∈
注： 1. 集合 上的恒等关系IA和空关系都是 上的偏序关系，但全 集合A上的恒等关系 和空关系都是A上的偏序关系 上的偏序关系， 上的恒等关系 域关系E 一般不是A上的偏序关系 上的偏序关系。 域关系 A 一般不是 上的偏序关系。 2. 实数域上的小于等于关系（大于等于关系） ，自然数域上 实数域上的小于等于关系（大于等于关系） 的整除关系，集合的包含关系等都是偏序关系。 的整除关系，集合的包含关系等都是偏序关系。
B的上界 上确界、下界、下确界都可能不存在。但如果上确界( 的上界、 3. B的上界、上确界、下界、下确界都可能不存在。但如果上确界(下 确界)存在，则它是唯一的。 确界)存在，则它是唯一的。
9
第二章
考虑下图中的偏序集. 试讨论B 例 考虑下图中的偏序集.令B = { b, c, d }, 试讨论B的上 最大下界，最小上界等。 (下)界，最大下界，最小上界等。
8 图A 9 5 3 6 4 2 7 图B
{a,b,c}
{a,c} {b,c} {c}
{a,b} {b} {a}
1
Φ
5
第二章
已知偏序集<A, R>的哈斯图如下：求集合 和关系 的表达式。 的哈斯图如下： 和关系R的表达式 例 已知偏序集 的哈斯图如下 求集合A和关系 的表达式。
f d a b e c h g
离散数学(3.12序关系)
Hasse Diagram
定义3.10.2 在偏序集中 A, ，若元素a, b A ，
a≠b，a≤b，且在集A中不存在任何其它元素c，使得 a≤c,c≤b，则称元素b盖住元素a，并且记
cov A {a, b a, b A, b盖住a}
称
cov A 为偏序集 A, 中的盖住关系。显然 cov A 。
3 ．下列关系哪一个是自反的、对称的、反对称的或可传 递的？ 〈1〉当且仅当n1n2<8(n1,n2∈N)时,有n1ρ n2 〈2〉当且仅当r1≤ | r2| (r1,r2∈R)时,有r1ρ r2 解〈1〉ρ 不是自反的，如4∈N，但4· 4=16>8。
ρ 是对称的，因为 对于任意的 n1, n2∈N，若有 n1n2< 8， 则 n 2n 1 = n1n 2 < 8 。 ρ不是反对称的，例，2· 3<8，3· 2<8，但3≠2. ρ 不是可传递的，例如，3· 2<8，2· 3<8，但3· 3=9>8。
（4）若a是B的下界，且对B的任意下界 a ，均有 a
则称a为B的最大下界（下确界），记作GLB(B)。
例9. 设A＝｛a,b,c｝，对于偏序集 ( A), ，
( A)
集合
{{a},{b},{c}} {{a},{a,b}}
｛a,b,c｝ {a,b,c}
{a,b},{a,b,c}
上界
下界
例如 在例3的整除关系中，3≤4，4≤3均不成立。
在例4的包含关系中 {b} {a, c},{a, c} {b}
定义3.10.5 设≤是集合A上的一个偏序，若对于任意
元素a,b∈A，必有a≤b或b≤a，则称它为A上的一个全序。
集合划分覆盖等价及序关系
3-12.2 哈斯图
根据上述定义，可以简化偏序关系的关系图 得到哈斯图(Hasse diagram)，具体画法如下： 1. 用小圆圈代表元素；
2. 若x ≤ y，x y，将代表y的小圆圈放在代
表x的小圆圈之上，
3. 如果<x,y> COVA，则在y与x之间用直线连
接。
例3的哈斯图
12
4
6
2
3
1
注意到：哈斯图中的边不再需要用有向边。因为 若u，v两点间有边，且u在v的下层，则表示u ≤ v， 所以边的方向一定是从下层结点指向上层结点的。
由关系图改画为哈斯图的方法
首先去掉自环，然后去掉封闭边，再按照有 向边的方向，将结点位置进行重新排列，即有向 边起始的结点放下层，终点的结点放上层；最后 把有向边改为无向边。
例1:验证实数集R上的小于等于关系“” 是偏序 关系。（见书140页例题1）。
证明：1. 对于任何实数aR,有aa成立，故“” 是自反的。
2. 对于任何实数a,bR，如果ab，ba，则必有 a=b，故“”是反对称的。
3. 如果ab，bc 那么必有ac，故“”是传递 的。
因此“” 是一个偏序关系。
例如，定义在自然数集合N上的“小于等于” 关系“≤”是偏序关系，且对任意i，jN，必有 i≤j 或 j≤i 成立，故也是全序关系。
3-12.3 极大(小)元，最大(小)元
定义3-12.5[最大(小)元、极大(小)元]： 设<A, >为偏序集，BA，则：
偏序集 编程
偏序集什么是偏序集偏序集是一个数学概念，用来描述元素之间的偏序关系。
在偏序集中，元素之间可以进行比较，但不一定可以进行完全比较。
换句话说，偏序集中的元素可以被排列成一个有序序列，但不一定可以确定它们之间的相对顺序。
偏序集由两个部分组成：一个集合和一个二元关系。
集合中的元素被称为偏序集的元素，而二元关系则定义了元素之间的偏序关系。
偏序关系在偏序集中，元素之间的偏序关系可以通过以下方式表示：1.自反性：对于偏序集中的任意元素 x，x 自己与自己是可比较的，即x ≤x。
2.反对称性：对于偏序集中的任意两个元素 x 和 y，如果x ≤ y 且y ≤ x，则 x 和 y 是相等的，即 x = y。
3.传递性：对于偏序集中的任意三个元素 x、y 和 z，如果x ≤ y 且y ≤z，则x ≤ z。
偏序关系可以用符号≤ 表示，即x ≤ y 表示 x 和 y 可比较且 x 在 y 的前面。
如果 x 和 y 不可比较，则可以用符号⊥ 表示。
偏序集的例子下面是一些常见的偏序集的例子：1.自然数集合：自然数集合{0, 1, 2, 3, …} 是一个偏序集。
在这个偏序集中，元素之间的偏序关系是由大小关系确定的。
例如，对于任意两个自然数x 和 y，如果x ≤ y，则 x 在 y 的前面。
2.字典序关系：在字符串的集合中，可以定义字典序关系。
例如，对于字符串集合{a, b, c, d, …}，字典序关系可以表示为 a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ …。
3.部分有序集合：在一个集合中，可以定义一些元素之间的偏序关系，而其他元素之间没有偏序关系。
例如，考虑一个集合 {a, b, c, d}，其中 a ≤ b ≤ c，但 d 和其他元素之间没有偏序关系。
偏序集的性质偏序集具有一些重要的性质，包括：1.偏序集中的元素可以被划分为不同的等价类。
在每个等价类中，元素之间是可比较的，而不同等价类中的元素之间没有偏序关系。
2.偏序集中的元素可以被划分为不同的链。
第十五章 格与布尔代数
性质2：每个链<L,≤>都是分配格。 链
（|L|≥3）链
例：试判断下面两个哈斯图是否表示的是分配格？
a
a
b
c
bc d
d
e
e
(1)
(2)
显然(1)是格，但因为b(cd)= ba=b，而 (bc)(bd)=ee=e，故它不是分配格；显然(2)也是格 ，但因为c(bd)= ca=c，而(cb)(cd)=ed=d，故 它也不是分配格，
a
a
b
c
bc
d
d
e
e
(1)
(2)
a
b
c
e
d
f
g
(3)
例：证明<Sn,≤>是一个分配格。 证：设∧和∨分别为Sn上的交（或积）和并 （或和）运算，对于任意a，b，c∈Sn，有 a∨(b∧c)=lcm(a, gcd(b, c)) =gcd(lcm(a, b),lcm(a, c))=(a∨b∧(a∨c) a∧(b∨c)=gcd(a, lcm(b, c)) =lcm(gcd(a, b),gcd(a, c))=(a∧b)∨(a∧c) （事实上，上面是利用“最大公约数对最小公 倍数是分配的，最小公倍数对最大公约数也是分
显然，对于ab，有：
①ab≤a和ab≤b，则表明ab是a和b的下 界。
②若c≤a和c≤b，则c≤ab，这表明ab是a和 b的最大下界。
对于ab，有：
①a≤ab和b≤ab，则表明ab是a和b的上 界。
②若a≤c，且b≤c，则ab≤c，这表明ab是a 和b的最小上界。
例 设n为正整数，Sn为n的正因子的集合 ，≤为整除关系，则<Sn，≤>构成格。
解：a)的最小元是a，无最大元。b)既无最大元也 无最小元。c)无最小元，最大元是d。d)的最小元 是a，最大元是d。
偏序集的内蕴拓扑连通性
§1 引 言
按Bourbaki学派的观点, 序结构, 拓扑结构和代数结构是数学中的三大母结构, 这些结构相 互交叉与渗透且可派生更多的数学结构[1-2]. Domain理论[2], 或更一般的连续偏序集理论主要研 究偏序集, 体现了序, 代数与拓扑的相互渗透. 其中一个基本而重要的的结果是: 一个偏序集是 连续的当且仅当它上面的Scott拓扑是完全分配格[3-4]. 这说明, 一方面利用内蕴拓扑可研究偏序 结构, 另一方面利用偏序结构也可研究相关的拓扑结构[3-6]. Domain理论受到了计算机科学和 数学领域诸多学者的关注, 且不断地向信息科学, 逻辑学, 分析学及各种应用学科渗透.
122
高校应用数学学报
第35卷第1期
§2 预备知识
下面给出预备知识, 具体内容详见文献[2], [9]和[10]. 设P 为 集 合, 则P 上 的 自 反, 反 对 称 且 传 递 的 二 元 关 系 称 为P 上 的 偏 序 关 系, 记 作 . 设 为P 上一个偏序关系, 则称(P, )为一个偏序集, 此时也简称P 为偏序集. P 的对偶偏序 集(P , )记为P op. 设P 为偏序集. D为P 的非空子集. 若对任意a, b ∈ D, 存在c ∈ D使a c且b c, 则 称D为P 的定向集. 设A ⊆ P , 记↓ A = {y ∈ P | ∃ x ∈ A, y x}, ↑ A = {y ∈ P | ∃ x ∈ A, x y}. 如果A =↑ A, 则称A为上集; 如果A =↓ A, 则称A为下集. 简记↓ {y}为↓ y及↑ {y}为↑ y, 并分别称之为P 中 由y决定的主理想和P 中由y决定的主滤子. 元素z ∈ P 称为A的一个下界, 若A ⊆↑ z. 集A的全 体下界之集记作lb(A). 对偶地, 称z ∈ P 为A的一个上界, 若A ⊆↓ z. 集A的全体上界之集记 作ub(A). 用supP A或 P A表示A在P 中的最小上界(也称上确界), 简记为 A或sup A. 对偶地, 用infP A或 P A表示A在P 中的最大下界(也称下确界), 简记为 A或inf A. 若偏序集P 中任意有限子集都有下确界(上确界), 则称P 是交半格(并半格). 若P 中任意有限 子集都有下确界和上确界, 则称P 是格. 引理2.1 设P 是偏序集, U ⊆ P 为非空上集, A ⊆ U . 则supU A = sup A. 证 当supU A存在时, supU A为A在P 中的上界. 又若A在P 中另有上界y ∈ P , 则由U ⊆ P 为上集知y ∈ U 为A在U 中的上界, 从而supU A y. 这说明supU A是A在P 中的最小上界, 即sup A = supU A. 类似地, 当sup A存在时也有supU A存在且supU A = sup A. 定义2.1[2,9] 设P 为是偏序集, A ⊆ X. 如果(1) A =↓ A; (2) 对任意定向集D ⊆ A, 当上确 界sup D存在时便有sup D ∈ A, 则称A为P 的Scott 闭集. P 上的全体Scott 闭集记为σ∗(X). P 上Scott闭 集 的 补 集 称 为Scott开 集, P 上 全 体Scott开 集 形 成 的 拓 扑 称 为P 的Scott拓 扑, 记 作σ(P ). 易知U ⊆ P 为Scott 开集当且仅当: (1) U =↑ U ; (2) 对P 中任一定向集D, 当sup D存 在且sup D ∈ U 时, 有D ∩ U = ∅. 偏序集上的Scott拓扑均为T0拓扑. 又若P 是有限偏序集, 则σ(P ) = {↑ A | A ⊆ X}为P 的全体上集构成. 引 理2.2 设P 是 连 续 偏 序 集, U ⊆ P 为 非 空Scott开 集. 则U 上 的Scott拓 扑 与U 继 承 的P 的Scott子空间拓扑相等, 即σ(U ) = {U ∩ V | V ∈ σ(P )}. 证 设V ∈ σ(P ), W = U ∩ V , 要证W ∈ σ(U ). 若W = ∅, 则W ∈ σ(U ). 下面设W = ∅. 作为两上集的交, W 自然是上集. 又对U 的任一定向集D当supU D ∈ W = U ∩ V 时, 由引 理2.1, sup D = supU D ∈ W = U ∩ V , 特别sup D ∈ V ∈ σ(P ). 于是D ∩ V = ∅, 从而 由D ⊆ U 得D∩V = (D∩U )∩V = D∩W = ∅. 这说明W ∈ σ(U ), 故σ(U ) ⊇ {U ∩V | V ∈ σ(P )}. 反过来, 设W ∈ σ(U ), 要证W ∈ σ(P ). 首先(1) 由U ⊆ P 为上集且W ⊆ U 又为U 的上集知, W 也为P 的上集. 又对P 的任一定向集D, 当sup D ∈ W ⊆ U 时, 由U ∈ σ(P )得D ∩ U = ∅, 从 而D∩U 为U 中定向集且有sup(D∩U ) = sup D ∈ W . 由引理2.1, supU (D∩U ) = sup(D∩U ) ∈ W . 由W ∈ σ(U )得(D ∩ U ) ∩ W = D ∩ W = ∅, 故Scott开集条件(2)对W 也成立. 于是W ∈ σ(P ), 从而W = U ∩ W ∈ {U ∩ V | V ∈ σ(P )}. 综合得σ(U ) = {U ∩ V | V ∈ σ(P )}.
第四章 6偏序关系
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4.9 偏序关系
总结： 极大元，极小元，最大元，最小元需要在子集B中找。
上界，下界在整个集合A中找。 上确界在上界中找。 下确界在下界中找。 极大元，极小元不要求可比。 最大元，最小元，上（下）界，上（下）确界都要求可比。
不可比，它们处在哈斯图中的同一个层次。
最大(小)元必是极大(小)元，反之不然。 最大(小)元不一定存在，若存在，则必是唯一的。
定理4.9.1 设〈A, ≼〉是偏序集，B是A的非空子集，如果B有最小元
（最大元），则最小元（最大元）是唯一的。
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4.9 偏序关系
定义4.9.6（上界，下界，上确界，下确界）
集合 A B C
上界
无 无
6,12,24,36
下界
无 2,3,6,12
无
上确界 下确界
无
无
无
12
6
无
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36
12 6
2
3 20
4.9 偏序关系
上(下)界和上(下)确界的性质： 一个集合B，其上(下)界不一定存在；若存在，则不一定是唯一
的，并且它们可能在B中，也可能在B外。
一个集合B若有上(下)界，其上(下)确界也不一定存在；若上 (下)确界存在，则必定是唯一的。
离散数学 (Discrete Mathematics)
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4.9 偏序关系
❖ 偏序关系的定义 ❖ 偏序关系的哈斯图 ❖ 偏序集中的特殊元素 ❖ 几种特殊的偏序集 ❖ 小结
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4.9 偏序关系
一、偏序关系的定义
证明字典顺序是两个偏序集的笛卡尔积上的偏序
在数学领域中，证明字典顺序是两个偏序集的笛卡尔积上的偏序是一个非常有趣的主题。
通过深入探讨，我们可以更好地理解这个概念。
在本文中，我将从简到繁地讨论这个主题，以便您能够更深入地理解。
在文章的结尾，我还会共享一些个人观点和理解，以便您能全面、深刻和灵活地理解这个主题。
让我们简要回顾一下偏序集的定义。
一个偏序集是指一个集合，其上存在一个偏序关系，这个偏序关系满足反身性、反对称性和传递性。
在偏序集中，元素之间可能存在比较关系，但并非所有元素之间都可以比较。
我们可以用偏序关系来对集合中的元素进行排序。
接下来，让我们来探讨一下笛卡尔积的概念。
笛卡尔积是指由两个集合中的元素对组成的集合。
如果集合A中有m个元素，集合B中有n 个元素，那么A和B的笛卡尔积就有m×n个元素。
对于有序数对(x, y)和(w, z)，当且仅当x=w并且y=z时，我们称两个有序数对是相等的。
现在，让我们来探讨证明字典顺序是两个偏序集的笛卡尔积上的偏序这个主题。
假设我们有两个偏序集A和B，它们分别具有偏序关系≤A 和≤B。
我们希望证明在A×B上定义的字典顺序≤D满足偏序关系的性质。
我们来探讨字典顺序的反身性。
对于A×B中的任意元素(x, y)，我们有(x, y)≤D(x, y)。
这是因为在字典顺序中，元素按照它们的第一个分量进行比较。
对于任意的(x, y)，我们都有(x, y)≤D(x, y)，字典顺序满足反身性。
让我们来讨论字典顺序的反对称性。
如果对于A×B中的两个元素(x1, y1)和(x2, y2)，我们有(x1, y1)≤D(x2, y2)且(x2, y2)≤D(x1, y1)，那么根据字典顺序的定义，我们可以得出x1=x2且y1=y2。
这意味着在A 和B中，x1和x2相等且y1和y2相等。
字典顺序也满足反对称性。
让我们来讨论字典顺序的传递性。
假设对于A×B中的三个元素(x1,y1)、(x2, y2)和(x3, y3)，如果(x1, y1)≤D(x2, y2)且(x2, y2)≤D(x3,y3)，那么我们需要证明(x1, y1)≤D(x3, y3)。