- 平面向量数乘运算的坐标表示-(新教材)人教A版高中数学必修第二册上课用PPT
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- 平 面 向 量 数 乘运 算的坐 标表示 -【新教 材】人 教A版 高中数 学必修 第二册 优秀课 件
- 平 面 向 量 数 乘运 算的坐 标表示 -【新教 材】人 教A版 高中数 学必修 第二册 优秀课 件
(2)法一：由 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 可得―C→A ＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)， ―C→B ＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)， 所以―CM→＝3―C→A ＝3(1,8)＝(3,24)， ―CN→＝2―CB→＝2(6,3)＝(12,6)． 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则―CM→＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，x1＝0，y1＝20； ―CN→＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，x2＝9，y2＝2， 所以 M(0,20)，N(9,2)， ―M→N ＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．
- 平 面 向 量 数 乘运 算的坐 标来自百度文库示 -【新教 材】人 教A版 高中数 学必修 第二册 优秀课 件
- 平 面 向 量 数 乘运 算的坐 标表示 -【新教 材】人 教A版 高中数 学必修 第二册 优秀课 件
[解析] (1)由题意，a＝( 2cos 45°)i＋( 2sin 45°)j＝i＋j ＝(1,1)．
(2)如图所示，在平面直角坐标系中，i，j 分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量， ―O→A ，a 是平面内的向量，且 A 点坐标为(x，y)， 则下列说法正确的是________．(填序号)
①向量 a 可以表示为 a ＝mi＋nj； ②只有当 a 的起点在原点时 a ＝(x，y)； ③若 a ＝―O→A ，则终点 A 的坐标就是向量 a 的坐标．
求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的 位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和 终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
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＝(－2，－5)．
答案：(－4,0) (0,6) (－2，－5)
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2．已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|―O→A |＝4 3， ∠xOA＝60°， (1)求向量―O→A 的坐标； (2)若 B( 3，－1)，求―BA→的坐标． 解：(1)设点 A(x，y)，则 x＝4 3cos 60°＝2 3， y＝4 3sin 60°＝6，即 A(2 3， 6)，―O→A ＝(2 3， 6)． (2)―B→A ＝―O→A －―O→B ＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7).
A．(5,7) C．(3,7)
B．(5,9) D．(3,9)
解析：因为 a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，所以 2a －b ＝(2×2－(－1)，
2×4－1)＝(5,7)．故选 A.
答案：A
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6 ．3 .2 平面向量的正交分解及坐标表示 6 ．3 .3 平面向量加、减运算的坐标表示 6 ．3 .4 平面向量数乘运算的坐标表示
新课程标准 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标 表示． 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 新学法解读 1.向量的正交分解实际上是平面向量基本定理的特例． 2.向量的坐标运算是一种代数运算，其加、减及数乘的实
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3．关于平面向量的坐标运算 (1)平面向量的加、减、数乘运算结果仍然是向量，坐标 运算的结果仍然是坐标． (2)进行向量的坐标运算时，要结合向量运算的三角形法 则和平行四边形法则，先化简向量，再进行坐标运算．
质是同名坐标之间的运算.
[思考发现]
1．下列说法正确的有 ①向量的坐标即此向量终点的坐标；
()
②位置不同的向量其坐标可能相同；
③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标；
④相等向量的坐标一定相同．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误，
②③④正确．故选 C. 答案：C
(2)由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数 m，n， 使得 a＝mi＋nj，所以①正确．当 a＝―O→A 时，均有 a＝(x， y)，所以②错，③正确．
[答案] (1)A (2)①③
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平面向量坐标运算的技巧 (1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标 与向量起点、终点的关系． (2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向 量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法 则进行计算． (3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想 和数形结合思想的运用．
向量{i，j}作为基底，则向量a 的坐标为
()
A．(1, 1) C．( 2， 2)
B．(－1，－1) D．(－ 2，－ 2)
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A．±2
B．2
()
C．－2
D．0
解析：由 a ，b 共线得 k2＝4，所以 k＝±2，又两个向量的
方向相反，故 k＝－2. 故选 C. 答案：C
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4．已知向量 a ＝(x＋3，x2－3x－4)与―A→B 相等，其中 A(1,2)，
B(3,2)，则 x 的值为
A．－1
B．－1 或 4
C．4
D．1 或－4
解析：∵―A→ B ＝(2,0)，又∵a ＝―A→B ，
()
∴xx＋ 2－33＝x－2，4＝0， 解得 x＝－1.故选 A.
答案：A
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5．如果向量 a ＝(k, 1)，b ＝(4, k)共线且方向相反，则 k 等于
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 从而 OM ＝3 OA －2 OC ， ON ＝2 OB － OC ，
―→ 所以 OM ＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)， ―ON→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)， 即点 M(0,20)，N(9,2)，
―→ 故 MN ＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．
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4．要正确理解向量平行的条件
(1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb . 这是几何运算，体现了向量a 与b 的
2．已知―M→N ＝(2,3)，则点 N 位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．不确定
()
解析：因为点 M 的位置不确定，所以点 N 的位置也不 确定．故选 D.
答案：D
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3．已知向量 a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则 2a －b ＝ ( )
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[变式训练]
1．如图，向量 a ，b ，c 的坐标分别是________，________，________.
解析：将各向量分别向基底 i，j 所在直线分解，则 a ＝－4i＋
0j，∴a ＝(－4,0)，b ＝0i＋6j，∴b ＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c
[系统归纳]
1．关于平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无 关． (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移 前后，其坐标不变． 2．点的坐标与向量的坐标 (1)区别： (ⅰ)表达形式：向量 a ＝(x，y)，点 A(x，y)； (ⅱ)意义不同：点 A(x，y)表示点 A 在平面直角坐标系中的位置；向 量 a ＝(x，y)表示向量的大小、方向． (2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相 同．
长度及方向之间的关系．
(2)a ∥b ⇔x1y2－x2y1＝0，其中a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)．这
是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算．
(3)a
∥b
⇔
x1 y1
＝
x2 y2
，其中a
＝(x1，y1)，b
＝(x2，y2)且y1≠0，
y2≠0. 即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向 量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
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法二：设点 O 为坐标原点， 则由―CM→＝3―C→ A ，―CN→＝2―CB→， 可得―OM→－―O→C ＝3(―O→A －―O→C )，―ON→－―O→C ＝2(―O→B －―O→C )，
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平面向量的坐标运算 [例 2] (1)已知向量 a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)， 求 a ＋b ，a －b ,3a ,2a ＋3b 的坐标； (2)已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且―CM→＝3―C→A ， ―CN→＝2―C→B ，求 M，N 及―M→N 的坐标． [解] (1)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a ＝3(－1,2)＝(－3,6)， 2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．
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平面向量的坐标表示
[例1] (1)已知向量a 在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标
原点O，又|a |＝ 2，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位
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(2)法一：由 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 可得―C→A ＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)， ―C→B ＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)， 所以―CM→＝3―C→A ＝3(1,8)＝(3,24)， ―CN→＝2―CB→＝2(6,3)＝(12,6)． 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则―CM→＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，x1＝0，y1＝20； ―CN→＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，x2＝9，y2＝2， 所以 M(0,20)，N(9,2)， ―M→N ＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．
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[解析] (1)由题意，a＝( 2cos 45°)i＋( 2sin 45°)j＝i＋j ＝(1,1)．
(2)如图所示，在平面直角坐标系中，i，j 分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量， ―O→A ，a 是平面内的向量，且 A 点坐标为(x，y)， 则下列说法正确的是________．(填序号)
①向量 a 可以表示为 a ＝mi＋nj； ②只有当 a 的起点在原点时 a ＝(x，y)； ③若 a ＝―O→A ，则终点 A 的坐标就是向量 a 的坐标．
求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的 位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和 终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
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＝(－2，－5)．
答案：(－4,0) (0,6) (－2，－5)
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2．已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|―O→A |＝4 3， ∠xOA＝60°， (1)求向量―O→A 的坐标； (2)若 B( 3，－1)，求―BA→的坐标． 解：(1)设点 A(x，y)，则 x＝4 3cos 60°＝2 3， y＝4 3sin 60°＝6，即 A(2 3， 6)，―O→A ＝(2 3， 6)． (2)―B→A ＝―O→A －―O→B ＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7).
A．(5,7) C．(3,7)
B．(5,9) D．(3,9)
解析：因为 a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，所以 2a －b ＝(2×2－(－1)，
2×4－1)＝(5,7)．故选 A.
答案：A
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6 ．3 .2 平面向量的正交分解及坐标表示 6 ．3 .3 平面向量加、减运算的坐标表示 6 ．3 .4 平面向量数乘运算的坐标表示
新课程标准 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标 表示． 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 新学法解读 1.向量的正交分解实际上是平面向量基本定理的特例． 2.向量的坐标运算是一种代数运算，其加、减及数乘的实
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3．关于平面向量的坐标运算 (1)平面向量的加、减、数乘运算结果仍然是向量，坐标 运算的结果仍然是坐标． (2)进行向量的坐标运算时，要结合向量运算的三角形法 则和平行四边形法则，先化简向量，再进行坐标运算．
质是同名坐标之间的运算.
[思考发现]
1．下列说法正确的有 ①向量的坐标即此向量终点的坐标；
()
②位置不同的向量其坐标可能相同；
③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标；
④相等向量的坐标一定相同．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误，
②③④正确．故选 C. 答案：C
(2)由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数 m，n， 使得 a＝mi＋nj，所以①正确．当 a＝―O→A 时，均有 a＝(x， y)，所以②错，③正确．
[答案] (1)A (2)①③
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平面向量坐标运算的技巧 (1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标 与向量起点、终点的关系． (2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向 量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法 则进行计算． (3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想 和数形结合思想的运用．
向量{i，j}作为基底，则向量a 的坐标为
()
A．(1, 1) C．( 2， 2)
B．(－1，－1) D．(－ 2，－ 2)
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A．±2
B．2
()
C．－2
D．0
解析：由 a ，b 共线得 k2＝4，所以 k＝±2，又两个向量的
方向相反，故 k＝－2. 故选 C. 答案：C
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4．已知向量 a ＝(x＋3，x2－3x－4)与―A→B 相等，其中 A(1,2)，
B(3,2)，则 x 的值为
A．－1
B．－1 或 4
C．4
D．1 或－4
解析：∵―A→ B ＝(2,0)，又∵a ＝―A→B ，
()
∴xx＋ 2－33＝x－2，4＝0， 解得 x＝－1.故选 A.
答案：A
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5．如果向量 a ＝(k, 1)，b ＝(4, k)共线且方向相反，则 k 等于
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→ 从而 OM ＝3 OA －2 OC ， ON ＝2 OB － OC ，
―→ 所以 OM ＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)， ―ON→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)， 即点 M(0,20)，N(9,2)，
―→ 故 MN ＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．
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4．要正确理解向量平行的条件
(1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb . 这是几何运算，体现了向量a 与b 的
2．已知―M→N ＝(2,3)，则点 N 位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．不确定
()
解析：因为点 M 的位置不确定，所以点 N 的位置也不 确定．故选 D.
答案：D
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3．已知向量 a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则 2a －b ＝ ( )
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[变式训练]
1．如图，向量 a ，b ，c 的坐标分别是________，________，________.
解析：将各向量分别向基底 i，j 所在直线分解，则 a ＝－4i＋
0j，∴a ＝(－4,0)，b ＝0i＋6j，∴b ＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c
[系统归纳]
1．关于平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无 关． (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移 前后，其坐标不变． 2．点的坐标与向量的坐标 (1)区别： (ⅰ)表达形式：向量 a ＝(x，y)，点 A(x，y)； (ⅱ)意义不同：点 A(x，y)表示点 A 在平面直角坐标系中的位置；向 量 a ＝(x，y)表示向量的大小、方向． (2)联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相 同．
长度及方向之间的关系．
(2)a ∥b ⇔x1y2－x2y1＝0，其中a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)．这
是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算．
(3)a
∥b
⇔
x1 y1
＝
x2 y2
，其中a
＝(x1，y1)，b
＝(x2，y2)且y1≠0，
y2≠0. 即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向 量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
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法二：设点 O 为坐标原点， 则由―CM→＝3―C→ A ，―CN→＝2―CB→， 可得―OM→－―O→C ＝3(―O→A －―O→C )，―ON→－―O→C ＝2(―O→B －―O→C )，
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平面向量的坐标运算 [例 2] (1)已知向量 a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)， 求 a ＋b ，a －b ,3a ,2a ＋3b 的坐标； (2)已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且―CM→＝3―C→A ， ―CN→＝2―C→B ，求 M，N 及―M→N 的坐标． [解] (1)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a ＝3(－1,2)＝(－3,6)， 2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．
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平面向量的坐标表示
[例1] (1)已知向量a 在射线y＝x(x≥0)上，且起点为坐标
原点O，又|a |＝ 2，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位