第7章电磁场讲义

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1. 均匀传输线方程(续)

设传输线始端接信号源，终端接负载，坐标如图所示。
z
i(z+z,t) R z Lz u(z,t) z i(z,t)
u(z+z,t)
C z
z + z
Gz
z
z + z
z
0
任意微分小段等效为由电阻、电感 、 电容和漏电导组成的网络
设时刻t在离传输线终端z处的电压和电流分别为u(z,t) 和i(z,t)， 而在位置z+z处的电压和电流分别为u(z +z,t)和i(z +z,t)
U U
max min
电压驻波比为 VSWR

1 l 1 l
(1 )

反射系数用驻波比来表示为

l
1 1
K 1
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行波系数:驻波比的倒数
7.2 传输线的等效

本节要点
传输线的工作状态 传输线的等效

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1.传输线的工作状态
传输线终端接不同的负载时，传输线上反射波不 同，从而使合成波不同。 (1)行波状态：当负载阻抗与传输线特性阻抗相同时，
Z0

R jL G jC
它通常是个复数，且与工作频率有关。特性阻抗由传输线自身分布参数决定， 而与负载及信号源无关，故称为“特性阻抗”。

对于均匀无耗传输线
Z0 L / C
当损耗很小时，即当 R L和G C时，特性阻抗为
Z0 L C

可见，损耗很小时传输线的特性阻抗近似为实数，且与频率无关。

/2的重复性。
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3.传输线的等效
一段短路与开路传输线的输入阻抗分别为
Zins (l ) jZ0 tanl
Zino (l ) jZ0 cot l
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传输线的等效 (续)
一段长度 l / 4 的短路线等效为一个电感，若等效电感 的感抗为XL，则传输线的长度为

XL lSL arctan 2 Z0
u ( z, t ) i( z, t ) Ri( z, t ) L z t i( z, t ) u ( z, t ) Gu( z, t ) C z t

将上式整理，并忽略高阶小量，可得：

对于角频率为 的正弦电源，传输线方程 为 dU ( z ) Z R jL为单位长串联阻抗 ZI ( z ) dz dI ( z ) Y G jC为单位长并联导纳 YU ( z ) dz

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4.传输线方程解的分析
令 j，且假设A1、A2、Z0均为实数，并考虑时间因子 e jt， 传输线上的电压和电流的瞬时值表达式为：

u ( z , t ) A1 e z cos(t z ) A2 e z cos(t z ) 1 i( z, t ) A1 e z cos(t z ) A2 e z cos(t z ) Z0
反射系数 —传输线上任意一点处的反射波电压（或电流）与入射波 电压（或电流）之比，即

( z )

U r ( z) I ( z) r U i ( z) I i ( z)
对无耗传输线 j ，终端负载为Zl，则
A2e jz Zl Z 0 j2 z jl 2 z j 2 z ( z) e e e l l A1e jz Zl Z 0
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(2) 传播常数(propagation constant)

传播常数由衰减常数和相位常数构成，表达式为
(R jL)(G jC) j
传播常数一般为复数。

0 ，此时 j 对于无耗传输线 ， （ LC ）
传播常数为纯虚数

对于损耗很小的传输线，其衰减常数和相位常数分别为
式中
l
Zl Z0 l e jl Zl Z0
称为终端反射系数
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(3)输入阻抗与反射系数的关系
传输线上电压、电流又可以表示为
U ( z ) U i ( z ) U r ( z ) A1e jz 1 ( z ) A I ( z ) I i ( z ) I r ( z ) 1 e j z 1 ( z ) Z0
一段长度l / 4的开路线等效为一个电容，若等效电容的 容抗为XC，则传输线的长度为

lOC

XC arccot 2 Z0
终端短路的传输线或终端开路的传输线不仅可以等效为电 容或电感，而且还可以等效为谐振元件。谐振器与分立元件 电路一样也有Q值和工作频带宽度
1 RY0 GZ0 2 LC
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(3) 相速与传输线波长
相速(phase velocity) —传输线上行波等相位面沿传输方 向的传播速度。 其表达式为 vp

传输线上波长(wavelength)与自由空间的波长有以下关系：
g 0

r
其中， r 为传输线周围填充介质的介电常数。

以第二种边界条件为例，传输线上任一点的电压、电流
coshz U ( z ) I ( z ) 1 sinh z Z0 Z 0 sinh z U l coshz I l
因此，只要已知终端负载电压Ul、电流Il及传输线特性参数 、Z0 ，则传输线上任意一点的电压和电流就可求得。
行驻波状态
入射的电磁波功率一部分被终端负载吸收，另一部分则被反射。
第一个波腹点 或波节点的位 ：传输线终端接任意复数阻抗负载时，由信号源 置分别为多少？
波腹点
波节点
波腹点
波节点
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2.行驻波状态分析

电压波腹点对应位置为 z max l n (n 0,1,2, ) 4 2 电压波腹点阻抗为纯电阻，其值为 波节点、波腹点 Rmax Z0 位置相距/4 电压波节点对应位置为
第七章 传输线
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 均匀传输线的分析 传输线的等效 史密斯圆图及其应用 传输线的效率、损耗和功率 双导线与同轴线 微带传输线 传输线的匹配与滤波
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7.1 均匀传输线的分析
本节要点
•传输线的方程 •特性参数 •状态参数 •传输线的等效
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1. 均匀传输线方程

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对很小的z ，应用基尔霍夫定律，有：
i( z, t ) u ( z z, t ) u ( z, t ) Rzi ( z, t ) Lz t u ( z z, t ) i( z z, t ) i( z, t ) Gzu ( z z, t ) Cz t




结论
-z方向传播的入射波
沿+z方向传播的反射波
传输线上任意点上的电压和电流都由二部分组成 不管是入射波还是反射波，它们都是行波。
z

行波在传播过程中其幅度按e 衰减，称 为衰减常数。而相位随z 连续滞后 z ，故称 为相位常数。
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5. 传输线的工作特性参数
(1)特性阻抗——传输线上行波的电压与电流的比值


结论
均匀无耗传输线上任意一点的输入阻抗与观察点的位置、 传输线的特性阻抗、终端负载阻抗及工作频率有关，且一 般为复数，故不宜直接测量。 由于tan(z+/2)= tan(z)，所以Zin (z+/2)= Zin(z)，即传输 线上的阻抗具有/2的周期性。
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(2) 反射系数 (reflection coefficient)
Zl Z0 Zl Z0
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讨论


当 Z l Z 0 时，l 0
它表明传输线上没有反射波，只存在由电源向负载方向传播的行波
当终端开路Z l 或短路 Z l 0或接纯电抗负载时，终端 反射系数 l 1


此时表明入射到终端的电磁波全部被反射回去 。
而当终端负载为任意复数时，一部分入射波被负载吸收， 一部分被反射回去。

对均匀无耗传输线来说，任意点反射系数大小相等，沿线只有相位 按周期变化，其周期为/2，即反射系数具有/2重复性。

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(4) 驻波比(standing wave ratio)
电压驻波比—传输线上电压最大 值与电压最小值之比

U U
max min
U i U r U i (1 l ) U i U r U i (1 l )
z min

l (2n 1) 4 4
(n 0,1,2,)
电压波节点阻抗为纯电阻，其值为
Rmin Z0 /
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结论
电压波腹点和波节点相距 / 4 ，且两点阻抗 有如下关系

Rmax Rmin Z

2 0
实际上，无耗传输线上距离为/4的任意两点处阻 抗的乘积均等于传输线特性阻抗的平方，这种特性 称之为/4阻抗变换性 。
均匀无耗传输线上的导行波为无色散波，有耗线的波为色散波。
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6. 状态参数
(1) 输入阻抗 —传输线上任意一点处的电压和电流之比值

均匀无耗传输线的输入阻抗为
Z l jZ 0 tan(z ) U ( z) Z in ( z ) Z0 I ( z) Z 0 jZ l tan(z )
式中l为终端反射系数的幅角； 是传输线上z处反射系数的幅角。 当z增加时，即由终端向电源方向移动时， 减小，相当于顺时针转 动；反之，由电源向负载移动时， 增大，相当于逆时针转动。沿传 输线每移动/2时，反射系数经历一周。