欧拉法

课程名称欧拉法求解微分方程学生学院理学院
专业班级信息与计算科学131班学号5501213051
学生姓名陈小娟
欧拉法（Euler)
简单欧拉法
欧拉法是简单有效的常微分方程数值解法，欧拉法有多种形式的算法，其中简单欧拉法是一种单步递推算法。

1 基本原理
对于一个简单的一阶微分方程：
Y’=f(x,y)
其中初始值为：
Y(x0)=y0
欧拉方法等同于将函数微分转换为数值差分，如下式，
y’(x)=(y(x+h)-y(x))/h
故原方程变形为：
y n+1=y n+h
2 算法的程序实现
在MA TLAB中编程实现的欧拉法函数为：MyEuler .
功能：以欧拉法求解常微分方程。

调用格式：[outx,outy]=Myeuler(fun,x0,xt,y0,pointNUM).
其中，fun为函数名;
x0为自变量区间初值；
xt为自变量区间终值；
y0为函数在x0处的值；
Pointnum为自变量在[x0,xt]上所取的点数；
Outx为输出自变量区间上所取点的x值；
Outy为对应点上的函数值。

欧拉法的MATLAB程序代码如下：
Function[outx.outy]=MyEuler[fun,x0,xt,yo,pointnum)
%用前向差分的欧拉方法解微分方程y’=fun
%函数f（x,y):fun
%自变量的初值和终值：x0,xt
%yo表示函数在x0处的值，输入初值为列向量形式
%自变量在[x0,xt]上取的点数;pointnum
%outx:所取的点的x值
%outy：对应点上的函数值
If nargin<5|pointnum<=0 %如果函数仅输入4个参数值，则pointnum默认值10 Pointnum=100
End
If nargin<4 %y0默认值为0
y0=0;
End
H=(xt-xo)/pointnum; %y0默认为0
X=xo+[0:pointnum]’*h; %自变量数组
Y(1,:)=y0(:)’; %输入存为列向量
For k=1:pointnum
F=feval(fun,x(k），y(k,:)); %计算发（x,y)在每个迭代点的值
F=f(:)’;
Y(k+1,:)=y(k,:)+h*f; %对于所取的点迭代计算y值
End
Outy=y
Outx=x
Plot(x,y）
3、实例分析
欧拉法求解常微分方程应用实例。

用欧拉法求常微分方程；
Y’=sinx+y
Y（x0)=1,x0=0
当h=2和h=0.4时的数值解，与精确解进行对比，
解：首先建立函数文件myfun01.m:
Function f=myfun01(x,y）
F=sin(x)+y;
通过在相同的积分区间上色丁不同的去点数，从而改变步长，可得到不同的欧垃圾。

以下程序即可实现此功能，并给出了几乎等于精确解的微分方程符号解。

Function ex0601()
[x1,y1]=myeuler(‘myfun01’,0.2*pi,1,16）；
H1=2*pi/15
[x11,y11]=myeuler(‘myfun01’,0.2*pi,1,32);
H2=pi/15
Y=dsolve(‘dy=y+sin(t)’,’y(0)=1;
For k=1:33
T(k)=x11(k);
Y2(k)=subs(y,t(k））；
End
Plot(x1,y1，‘+b’,x11,y11,’og’,x11,y2,’+r’）
Legend(‘h=0.4的欧拉法解‘，’h=0.2的欧拉解‘，’符号解‘）
改进的欧拉法
改进的欧拉法实际上是通过预估-校正过程对梯形公式进行修正，从而简化迭代过程的方法，又称为henu算法。

1.基本原理
改进的欧拉法的具体求解过程如下：
对方程y’=f(x,y)两边由x n到x n+1积分，并利用梯形公式，可得：
Y n+1=y n+h/2[f(xn,yn)+f(xn+1,yn+1)]
其中初始值为：
Y(x0)=y0
由上可知，所得到的迭代公式为隐式格式。

计算中为了保证一定的精确度，避免迭代过程不菲的计算量，一般先用显式格式算出初始值，再用隐式公式进行一次修正，此过程称为预估-校正过程。

具体迭代公式如下：
Y’n+1=yn+hf(xn,yn)
Yn+1=yn+h/2[f(xn,yn)+f(xn+1,y’n+1)]
2.算法的程序实现
在MA TLAB中编程实现的改进的欧拉法函数为：myeulerpro.
功能:用改进的欧拉法求解常微分方程。

调用格式：【xout，yout】=myeulerpro(fun,x0,xt,y0,pointnum).
其中，fun为函数名；
x0为自变量区间初值；
xt为自变量区间终值；
y0为函数在x0处的值；
Pointnum为自变量在[x0,xt]上所取的点数；
xOut为输出自变量区间上所取点的x值；
Yout为对应点上的函数值。

改进的欧拉法的MA TLAB程序代码如下；
Function[xout，yout]=MyEulerpro[fun,x0,xt,yo,pointnumber)
%用改进的欧拉方法解微分方程y’=fun
%函数f（x,y):fun
%自变量的初值和终值：x0,xt
%yo表示函数在x0处的值，输入初值为列向量形式
%自变量在[x0,xt]上取的点数;pointnumber
%xout；所取的点的x值
%yout：对应点上的函数值
If nargin<5|pointnum<=0 %如果函数仅输入4个参数值，则pointnum默认值10 Pointnum=100
End
If nargin<4 %y0默认值为0
y0=0;
End
H=（xt-x0)/pointnumber;
X=x0+[0:pointnumber]’*h
Y(1,:1)=y0(:)’;
For i=1:pointnumber
F1=h*feval(fun,x(i),y(i,:));
F1=f1(:)’;
F2=h*feval(fun,x(i+1),y(i,：）+f1);
F2=f2(:)’;
Y（i+1,:)=y(i,:)+1/2*(f1+f2);
End
Xout=x; Youy=y;。