第八章刚体的平面运动

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由速度合成矢量图可得
v DB v D v B 1 . 5 m s
vDB
－1
ωBD
B ω vB
60
C D
vD
60
vDB 为D点绕B的转动速度，应有
60
vB
60
vDB BD BD
于是可得此瞬时杆BD的角速度为
A
E

BD
v B D l 5 ra d s － 1
ψ
vBA
其中vA 的大小 vA=R ω
由速度合成矢量图可得
vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2
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vA
π sin( ) 2
vA

v BA
π sin( ) 2
vB sin( )
vB v A
则M点速度为：
vO

O
vO
y
vM vO vMO
即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点 随图形绕基点转动的速度的矢量和。
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例：如图所示平面机构中， AB=BD=DE=l=300mm 。 在 图示位置时，BD∥AE杆AB的角速度为ω=5 rad· s－1。试 求此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C 的速度。
第八章 刚体的平面运动
复习——点的合成运动
“一点两系三运动”
一点：动点
两系：静系、动系 三运动：绝对运动、相对运动和牵连运动
速度合成定理 加速度合成定理
va ve vr
2
§8-1 刚体平面运动的概念和运动分解
1. 概念 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持 相等的距离，这种运动称为平面运动。 做平面运动的刚体上各点轨迹为平面曲线，这些平面或
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B
顺时针转向。
速度投影法
应用速度投影定理，有
vA
v A cos v B cos
90o -ψ-
y
A
其中vA= r ω ， α＝90o -ψ -φ ，
β ＝ψ
ω B
代入上式有
O

vB
ψ
v B c o s v A s in ( )
x
sin( ) sin( ) vB v A R cos cos
vA
R sin sin l
A vA B vB

ω
O φ
所以
v BA
cos R cos
vBA vA vBA vB
v B v C B 1 .3 m s －1
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vC的方向恰好沿杆BD
2、速度投影定理
由
v B v A v BA
沿AB连线方向上投影
v B AB v A AB
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的 投影相等。 该方法在已知其中一点速度的大小和方向，同时 又已知另一点速度的速度。
vDB B C vB
60
vD
60
杆BD作平面运动， vB大小为
ω
A
D
60

v B l 1 .5 m s
方向与AB垂直。
－1
vB
60
E
以B点为基点，由速度合成
定理，D点的速度可表示为
vD vB vDB
其中，D 点绕 B 的转动速度 vDB 的方向与BD垂 直，D点的速度 vD与DE 垂直。
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§9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法
1. 定理 平面运动刚体在每一瞬时，运动平面内有且只有一点
速度为零。速度为零的点称为瞬时速度中心或速度瞬心。 证：
从A做vA垂线AN，在
v CA v A
C
N
vA
AN上必有一点C，记 AC长度为R，
使得 vCA＝Rω＝－vA

A
vA
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由基点法 vC＝0
vAB vA=v A vB
v vB , tan
所以
v BA
v , sin
O
AB
v BA v 1 l l sin
( 逆时针 )
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瞬心法
因为A点的速度已知，B点的速度方向 也已知，故可求出杆AB的速度瞬心在
C 点。
B
C ωAB
vA = v ，所以
vB
ψ
AB
v
v v AC l sin
O'x'y'平面取运动平面，动系随刚体上基点（O'点）平动。
坐标轴z'恒平行于z轴。 平面运动 = 随O’X’Y’的平移+绕O’点的转动
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由于基点是任取的，那么基点的选择不同，随基点的
平动和绕基点的转动会有什么异同呢？
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如图：平面图形 S 在 t 时间内从位置I运动到位置II
以A为基点: 随基点A平动到A'
基点法
O点速度已知，选O为基点。
由速度合成定理，轮缘上C点的 A
速度可表示为
vC vO vCO
vO B
vCO =R ω 注意，为求车轮的角速度，可利用车 轮作无滑动的滚动的条件，它与地面
D
vCO
Oω
vC=0 vO
C
的接触点C 的速度为零，即
vC vO vCO 0
v v CO O （顺时针） R R
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较方便。但该方法不能计算平面图形的角速度。
例：曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度ω转动。
已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄在任意位置
φ= ωt 时，求滑块B的速度。
y
A
ω
B
O

ψ
x
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解：
vA
基点法
∵A点速度 vA已知，选A为基点。
vA
y
A
ω
B
vB = vA+ vBA
x
O

vB
2. 平面图形内各点的速度及其分布 以速度瞬心C为基点，
vA
D vD A vB B C (a)
图中各点的速度：
v A vC v AC v AC v B vC v BC v BC v D vC v DC v DC
大小为 vA vAC AC


C (b)
A B
2
即：平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随 图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
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例：曲柄滑块机构如图所示，曲柄 OA 长 R ，连杆 AB 长 l 。设曲柄以匀角速度 ω 沿逆钟向绕定轴 O 转动。试 求当曲柄转角为 φ时滑块B 的加速度和连杆 AB的角加 速度。
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v CO vO R R
由基点法各点的速度可得：
A点： B点： D点：
v A 2 vO i,
v A 2 vO
v B vO i vO j,
v D vO i vO j,
vB
vD
2 vO
2 vO
vDO
D
vD vO
A
vO
vO B
vAO vA vO
O ω
vCO
vC=0 vO
C
vBO
v
B
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瞬心法
纯滚动，车轮上与地面相接触的C点 为车轮的瞬心。已知速度 vO ，∴车 轮的角速度为

vO v O OC R
y A
（顺时针）
D
vO B
O
ω
C
x
车轮上点B的速度方向垂直于连线
vB
CB，大小为
v B BC 2 R 2vO
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同理，可求得轮缘上其它各点的速度，结果同前。
1. 基点法 平面运动 = 随O’X’Y’的平移+绕O’点的转动 平面图形内任意一点M的运动均为平移和转动的合成。
相对轨迹：以基点O 为圆心，以O M为半径的圆弧。
用点的速度合成定理来计算M点的速度。这一方法称 为基点法。
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根据速度合成定理
v a ve v r
其中：
vMO
x
vM
M
va v M , ve vO , vr v MO ; vOM OM , 方向 OM
vB vBC BC
vD vDC DC
这样，平面图形上各点的速度在某瞬时的分布情况， 与图形绕定轴转动时各点的速度分布情况类似。因此，
平面图形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬时转动。
平面图形内任一点的速度等于该点随瞬心转动的速度。
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3、速度瞬心的确定方法 （1）已知：vA， vB方向，且vA 不平行于vB。
例：在图中，杆AB长l，滑倒时B 端靠着铅垂墙壁。已
知A点以速度v沿水平轴线运动，试求图示位置杆端B点
的速度及杆的角速度。
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解： 基点法
选A点为基点，A点的速度vA=v，则B点
的速度可表示为
B
vA =v
vB v A vBA
vB：沿OB向下 vBA：垂直于杆AB
vBA vB ωAB
ψ O A
平行，或共面，可以用某一个运动参考点所在平面来统一表
示，该平面称运动平面。
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2. 刚体平面运动的特点
刚体的运动平面与坐标系Oxy平面平行时：
刚体上任意点沿z方向的位移、速度、加速度为零； 绕x、y 轴的转动角位移、角速度、角加速度为零； 刚体上任意点A的运动方程为：
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3. 刚体平面运动的分解 动系O'x'y'z'的原点选为刚体上一点，称基点。