人教版九年级数学下册解直角三角形易错题(含答案)

解直角三角形(第一课时)易错题

1 、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于D ，且AD ＝4，AC ＝23，

求：sin ∠CAB ＝________．

错解：在在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∵2422==-=AC AD AB

∴2

1

sin =

∠CAD ，又AD 平分∠A ，∴sin ∠CAB=21sin =∠CAD 分析：产生错误的原因是认为：当一个锐角是另一个角的两 倍时，其函数值也为这个锐角的两倍。 正确答案：在在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∵2422==-=

AC AD AB

∴2

1

sin =∠CAD ，∴︒=∠30CAD

又∵AD 平分∠A ，∴∠CAB =2∠CAD=60° ∴sin ∠CA B =sin60°=

2

3 应对攻略：当一个角的度数一定时，其函数值不会因为边长的改变而改变。要求某个锐角

的函数值，应该借助直角三角形相应边的比值得到。 2、在

中，

，AC=1cm ，BC=2cm ，求sinA ，tanA ． 错解 ：在

中，∵

，AC=1，BC=2，

∴． ∴． ∴

．

∴．

分析 错误地应用了“若直角三角形中的一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边对角为”，没有分清斜边和直角边，避免该错误的有效方法是应画出图形，利用“数形结合”进行解答． 正解 在中，∵

， ∴

．

∴，

应对攻略：正确解题的关键是结合题意，画出图形，借助图象的直观性，使问题得以解决。

解直角三角形(第二课时)易错题

1、已知：一块形状是等腰三角形的空坪，测得腰长为20米，一腰上的高与另腰的夹角为60°，要在这块空坪上种上草皮，请你帮忙计算一下，需要买多少个平方的草皮比较合适？ （结果保留根号）

错解： 如图：ABC ∆中，AB=CA ，AB CD ⊥于D ，︒

=∠60ACD

由：AC

CD

ACD COS =∠，得：310cos =∠=ACD AC CD ∴31002

1

=•=

∆CD AB S ABC 答：需要买3100个平方的草皮比较合适

分析：由已知条件这是一等腰三角形，并没有指出是锐角等腰三角还是钝角等腰三角形 所以，要分类讨论。

正确答案：1、当ABC ∆是锐角等腰三角形时，其面积如上所求。 2、当ABC ∆是钝角等腰三角形时：如图所示： ABC ∆中，AB=CA ，AB CD ⊥于D ，︒

=∠60ACD ， ∵AC CD

ACD COS =∠，得：310cos =∠=ACD AC CD ∴ 31002

1

=•=∆CD AB S ABC

综上所求，得：需要买3100个平方的草皮比较合适

应对攻略：解决等腰三角形的有关问题，在条件没有说明顶角是锐角还是钝角的情况下，应该要分成两种情况求解

2、如图所示，A 、B 两城市相距100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：

3≈1.732，2≈1.414）

错解：过点P 作PC AB ⊥，C 是垂足，则30APC ∠=°

45BPC ∠=°，∴PC=BC=x,AC=100-x,x

x

-=

︒10030tan 350150-=x ,50350-=∴AC

2.7310031002,30≈-==∴︒=∠AC AP APC Θ

∴73.2>50

所以：森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区

分析：这条高速公路不会穿越保护区，不能从直观上看出边AP 小于PB ，就认为AP 之间的距离就为公路离P 的最近距离。事实上，最近距离应该为点P 到公路AB 的垂线段的长度。因此，应该在构造出来的直角三角形APC 中，求出PC 的长度。 正确答案：

解：过点P 作PC AB ⊥，C 是垂足， 则30APC ∠=°，45BPC ∠=°，

tan30AC PC =g °，tan 45BC PC =g °，

AC BC AB +=Q ，tan30tan 45100PC PC ∴+=g g °°，

31100PC ⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭

， 50(33)50(3 1.732)63.450PC ∴=-⨯->≈≈，

答：森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．

应对攻略：这类问题常常可以借助解直角三角这个工具，求出垂线段的长度。

解直角三角形（第三课时）易错题 1.如图，直升机在长江大桥AB 上方P 点处，此时飞机离地面高度为a cm ，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得点A 俯角为

，点B 的俯角为

，求长江大桥AB 的长度．

错解在中

∴OA=OP×tan a．

在中，．

∵，

∴．

∴AB=OA-OB=OP()=a()．

分析把从P点观测A点的俯角误认为，从P点观测B点的俯角误认为，只有弄清俯角才能避免该错误．

正解根据题意，得，

∴．

在中，．

在中，．

∴AB=OA-OB==OP（）=a（）．

应对攻略：正确理解俯角和仰角的定义是解题的前提条件。其次，要构造直角三角形，借助解直角三角形这个有效的工具来解决边长的问题。

2 如图，直升机在跨河大桥AB的上方P点处，此时正飞机离地面高度为a米，且A、B、O 三点在一条直线上，测得点A俯角为α，点B俯角为β，求大桥AB的长．