新人教版初中数学——解直角三角形-知识点归纳及中考典型题解析

新人教版初中数学——解直角三角形

知识点归纳及中考典型题解析

一、锐角三角函数的定义

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，

正弦：sin A=∠的对边

=

斜边

A a

c

；余弦：cos A=

∠的邻边

=

斜边

A b

c

；正切：tan A=

∠的对边

=

邻边

A a

b

．

根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.

二、特殊角的三角函数值

αsinαcosαtanα

30°1

2

3

2

3

3

45°

2

2

2

2

1

60°

3

2

1

2

3

三、解直角三角形

1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．

2．解直角三角形的常用关系：

在Rt△ABC中，∠C=90°，则：

（1）三边关系：a2+b2=c2；

（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；

（3）边与角关系：sin A=cos B=a

c

，cos A=sin B=

b

c

，tan A=

a

b

；

（4）sin2A+cos2A=1．

3．科学选择解直角三角形的方法口诀：

已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；

已知直边求直边，理所当然用正切；

已知两边求一边，勾股定理最方便；

已知两边求一角，函数关系要记牢；

已知锐角求锐角，互余关系不能少；

已知直边求斜边，用除还需正余弦.

四、解直角三角形的应用

1．仰角和俯角

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角

坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=h

l

．

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．

坡度越大，α角越大，坡面越陡．

3．方向角（或方位角）

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．

4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.

5．解直角三角形实际应用的一般步骤

（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；

（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．

考向一求三角函数的值

（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.

（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．

（3）正确应用勾股定理求第三边长．

（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．

典例1 2sin45 的值为

A．

2

2

B3C2D．1

【答案】C

【解析】把sin45°=

2

2

代入原式得：原式=2×

2

2

2．故选C．

1．如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sin A的值为

A．2

3

B．

5

3

C．

25

5

D．

5

2

考向二利用特殊角的三角函数值求值

锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.

典例2 已知∠A为锐角，且sin A=

3

2

，那么∠A等于

A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】D

【解析】∵sin A=

3

2

，∴∠A=60°．故选D．

2．已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于

A．30°B．45°

C．60°D．不能确定

考向三解直角三角形的应用

解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.

典例3 某山的山顶B 处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC 为30°，山高BC 为100米，点E 距山脚D 处150米，在点E 处测得观光塔顶端A 的仰角为60°，则观光塔AB 的高度是

A ．50米

B ．100米

C ．125米

D ．150米

【答案】A

【解析】如图，作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥DC 于G ，在Rt △DEG 中，EG =1

2

DE =75， ∴BF =BC -CF =BC -CE =100-75=25，EF =tan tan30BF BF

BEF =

∠︒

=253， ∵∠AEF =60°， ∴∠A =30°，

∴AF =253

tan 33

EF A =

=75，

∴AB =AF -BF =50（米），故观光塔AB 的高度为50米， 故选A ．

3．如图，某湖心岛上有一亭子A ，在亭子A 的正东方向上的湖边有一棵树B ，在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西45︒方向上，测得树B 在北偏东36︒方向上，又测得B 、C 之间的距离等于200米，求A 、B 之间的距离（结果精确到1米）．