初三数学解直角三角形人教版

初三数学解直角三角形人教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容： 解直角三角形

二. 重点难点：

（一）锐角三角函数

1. 锐角三角函数的定义

如图1，在∆ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ；把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ；把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ；把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A 。

图1

即sin cos A A A A =

∠=∠的对边斜边；的邻边

斜边

；

tan cot A A A A A A =

∠∠=∠∠的对边的邻边；的邻边

的对边

。

2. 互余角的三角函数间的关系

sin()cos cos()sin tan()cot cot()tan 90909090︒-=︒-=︒-=︒-=αααααααα；；；。

3. 同角三角函数间的关系

sin cos cot tan (tan cot )2211

1αααα

αα+==

⋅=；或； ※，。tan sin cos cot cos sin ααααα

α

==

4. 三角函数值

（1）特殊角的三角函数值

（2）用计算器求090︒︒~的任意角的三角函数值。 （3）锐角三角函数值的性质：

①锐角三角函数值都是正数，并且当090︒<<︒α时，0101<<<

tan cot αα>>00，。

②当角度在090︒︒~间变化时：

正弦、正切随角度增大而增大，减小而减小； 余弦、余切随角度增大而减小，减小而增大。

（二）解直角三角形

1. 解直角三角形：由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2. 解直角三角形相关的知识

如图2，在Rt ABC ∆中，∠=︒C 90，

图2

（1）三边之间的关系：a b c 222+=。 （2）锐角之间的关系：∠+∠=︒A B 90。 （3）边与角之间的关系：

sin cos cos sin A B a c A B b c ==

==，， tan cot cot tan A B a b A B b

a

====，。

（4）如图3，若直角三角形ABC 中，斜边上的高CD AB ⊥于点D ，设AB c CD h ==，，

AD q DB p ==，，则

a b c a pc b qc h pq a b

p

q ab ch 2

2

2

2

2

2

22+======，，，，，。

图3

（5）如图4，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则 ①CD AD BD AB ===

1

2

； ②点D 是Rt ABC ∆的外心，外接圆半径R AB =

1

2

。 图4

（6）如图5，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则r a b c ab

a b c

=

+-=

++2。

图5

（7）直角三角形的面积 ①如图3，S ab ch bc A ABC ∆===12121

2sin 。 ②如图5，S r a b c ABC

∆=++1

2

()。 3. 直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型

4. 测量中的常用概念：仰角、俯角、坡度、坡角、水位、方向角、倾斜角等。

【典型例题】

例1. 如图6，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是米，测得斜坡的倾斜角是24︒，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？（精确到1米，用计算器求值）

图6

分析：此问题归结为Rt ABC ∆中，∠=︒∠=︒=C A AC 9024546，，.米，求AB 的长。

AB AC A =

=︒

≈cos .cos 546

246米， ∴斜坡上相邻两树间的坡面距离是6米。

例2. 已知：如图7，在菱形ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，EC B ==15

13

，sin ，求四边形ABCD 的面积S 。

图7

分析：在Rt ABE ∆中，∠=︒AEB 90，已知sin B =5

13

，就相当于给了∠B 的对边AE 与斜边BA 的比是5：13。

解： 在∆ABE 中，∠=︒=

AEB B 90513

，sin ， 设AE k AB k k ==>5130，，()由勾股定理得

BE AB AE k k k =

-=-=222213512()()

11312==-=-=-=EC BC BE BA BE k k k ，即k =1

∴===⋅=⨯=AE BC S BC AE 51313565，，。

例3. 如图8，在∆ABC 中，∠=︒∠=︒=ACB A AC 105308，，，求AB 和BC 的长。

图8

分析：由已知条件和三角形内角和定理，可知∠=︒B 45；过点C 作CD AB ⊥，则Rt ACD ∆是可解三角形，可求出CD 的长，从而Rt CDB ∆可解，由此得解。 略解：过点C 作CD AB ⊥于D

∠=︒∠=︒∴∠=︒A ACB B 3010545，，

AC A CD BC B ⋅==⋅sin sin

∴=⋅=︒

︒

=BC AC A B sin sin sin sin 8304542

AB AD BD AC A BC B =+=⋅+⋅=︒+︒=+cos cos cos cos 8304245434 ∴=+=AB BC 43442，

想一想，若例3改为：

①∆ABC 中，∠=︒∠=︒=ABC A AC 135308，，，如何求AB 和BC 的长？ ②已知∆ABC 中，AC cm =40，AB cm =26，sin A =12

13

，如何求BC 边及∆ABC 的面积？