初三数学解直角三角形人教版

初三数学解直角三角形人教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 解直角三角形二. 重点难点：（一）锐角三角函数1. 锐角三角函数的定义如图1，在∆ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ；把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ；把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ；把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A 。

图1即sin cos A A A A =∠=∠的对边斜边；的邻边斜边；tan cot A A A A A A =∠∠=∠∠的对边的邻边；的邻边的对边。

2. 互余角的三角函数间的关系sin()cos cos()sin tan()cot cot()tan 90909090︒-=︒-=︒-=︒-=αααααααα；；；。

3. 同角三角函数间的关系sin cos cot tan (tan cot )22111αααααα+==⋅=；或； ※，。

tan sin cos cot cos sin αααααα==4. 三角函数值（1）特殊角的三角函数值（2）用计算器求090︒︒~的任意角的三角函数值。

（3）锐角三角函数值的性质：①锐角三角函数值都是正数，并且当090︒<<︒α时，0101<<<<sin cos αα，，tan cot αα>>00，。

②当角度在090︒︒~间变化时：正弦、正切随角度增大而增大，减小而减小； 余弦、余切随角度增大而减小，减小而增大。

（二）解直角三角形1. 解直角三角形：由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2. 解直角三角形相关的知识如图2，在Rt ABC ∆中，∠=︒C 90，图2（1）三边之间的关系：a b c 222+=。

（2）锐角之间的关系：∠+∠=︒A B 90。

（3）边与角之间的关系：sin cos cos sin A B a c A B b c ====，， tan cot cot tan A B a b A B ba====，。

（4）如图3，若直角三角形ABC 中，斜边上的高CD AB ⊥于点D ，设AB c CD h ==，，AD q DB p ==，，则a b c a pc b qc h pq a bpq ab ch 22222222+======，，，，，。

图3（5）如图4，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则 ①CD AD BD AB ===12； ②点D 是Rt ABC ∆的外心，外接圆半径R AB =12。

图4（6）如图5，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则r a b c aba b c=+-=++2。

图5（7）直角三角形的面积 ①如图3，S ab ch bc A ABC ∆===121212sin 。

②如图5，S r a b c ABC∆=++12()。

3. 直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型4. 测量中的常用概念：仰角、俯角、坡度、坡角、水位、方向角、倾斜角等。

【典型例题】例1. 如图6，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是米，测得斜坡的倾斜角是24︒，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？（精确到1米，用计算器求值）图6分析：此问题归结为Rt ABC ∆中，∠=︒∠=︒=C A AC 9024546，，.米，求AB 的长。

AB AC A ==︒≈cos .cos 546246米， ∴斜坡上相邻两树间的坡面距离是6米。

例2. 已知：如图7，在菱形ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，EC B ==1513，sin ，求四边形ABCD 的面积S 。

图7分析：在Rt ABE ∆中，∠=︒AEB 90，已知sin B =513，就相当于给了∠B 的对边AE 与斜边BA 的比是5：13。

解： 在∆ABE 中，∠=︒=AEB B 90513，sin ， 设AE k AB k k ==>5130，，()由勾股定理得BE AB AE k k k =-=-=222213512()()11312==-=-=-=EC BC BE BA BE k k k ，即k =1∴===⋅=⨯=AE BC S BC AE 51313565，，。

例3. 如图8，在∆ABC 中，∠=︒∠=︒=ACB A AC 105308，，，求AB 和BC 的长。

图8分析：由已知条件和三角形内角和定理，可知∠=︒B 45；过点C 作CD AB ⊥，则Rt ACD ∆是可解三角形，可求出CD 的长，从而Rt CDB ∆可解，由此得解。

略解：过点C 作CD AB ⊥于D∠=︒∠=︒∴∠=︒A ACB B 3010545，，AC A CD BC B ⋅==⋅sin sin∴=⋅=︒︒=BC AC A B sin sin sin sin 8304542AB AD BD AC A BC B =+=⋅+⋅=︒+︒=+cos cos cos cos 8304245434 ∴=+=AB BC 43442，想一想，若例3改为：①∆ABC 中，∠=︒∠=︒=ABC A AC 135308，，，如何求AB 和BC 的长？ ②已知∆ABC 中，AC cm =40，AB cm =26，sin A =1213，如何求BC 边及∆ABC 的面积？例4. 如图9，已知在∆ABC 中，∠=︒==C AB BC 9043，，，求∠A 的四个三角函数值。

图9解： 在∆ABC 中，∠=︒∴=+C AB AC BC 90222，AB BC ==43， ∴=-=-=AC AB BC 2222437∴====sin cos tan cot A A A A 347437773，，，例5. 如图10，已知在∆ABC 中，∠=︒=C A 9035，sin 。

求cos tan A B +。

图10解法1：在∆ABC 中，∠=︒C 90sin A =∴35，设BC k AB k k ==>350，() 由勾股定理，可得AC k =4∴==cos tan A B 4543，∴+=+=cos tan A B 45433215解法2：在∆ABC 中，∠=︒C 90，∠+∠=︒A B 90，sin cos sin 22135A A A +==，∴=-=-=cos sin ()A A 11354522；cot cos sin A A A ===453543又 tan cot B A ==43∴+=+=cos tan A B 45433215小结：已知一个角的某个三角函数值，求同角的其它三角函数值时，常用的方法有两个：利用定义（根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长）或同角的三角函数之间的关系。

例6. 解答下列各题： （1）化简求值tan tan sin cos sin cos cot 60456030454560︒-︒︒+︒-︒︒+︒；（2）若sin cos sin 31αβα==，（αβ、为锐角），求tan 23β⎛⎝ ⎫⎭⎪的值；（3）在∆ABC 中，∠=︒C 90，化简12-sin cos A A 。

解：（1）tan tan sin cos sin cos cot 60456030454560︒-︒︒+︒-︒︒+︒=-+-+=--+=3132322222333331330（2） sin3139030ααα=∴=︒=︒，，cos sin sin βαβ==︒==∴=︒30122245， ∴⎛⎝ ⎫⎭⎪=︒=tan tan 233033β （3） 12-sin cos A A=+-=-=-sin cos sin cos (sin cos )|sin cos |2222A A A A A A A A∴-=-︒≤<︒-︒<≤︒⎧⎨⎩124590045sin cos sin cos ()cos sin ()A A A A A A A A 小结：由第（3）题可得到今后常用的一个关系式：122±=±sin cos (sin cos )αααα例如，若设sin cos αα+=t ，则sin cos ()αα=-1212t 。

例7. 如图11，在∆ABC 中，∠=︒BAC 120，AB AC ==105，，求sin sin B C ⋅的值。

图11分析：为求sin sin B C 、，需将∠∠B C 、分别置于直角三角形之中，另外已知∠A 的邻补角是60︒，若要使其充分发挥作用，也需将其置于直角三角形中。

所以应分别过点B 、C 向CA 、BA 的延长线作垂线段，即可顺利求解。

解：过点B 作BD CA ⊥的延长线于点D ，过点C 作CE BA ⊥的延长线于点E 。

∠=︒∴∠=︒BAC BAD 12060，∴=︒=⨯=AD AB cos6010125； BD AB =︒=⨯=sin 60103253。

又 CD CA AD =+=10，由勾股定理，∴=BC 57∴=∠==sin sin C BCD BD BC 217同理可求得sin B =2114∴⋅=⋅=sin sin B C 2114217314例8. 如图12，直升飞机在跨河大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度OP =450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为αβ=︒=︒3642，。

求大桥AB 的长（精确到1米）。

图12解：依题意∠==︒∠==︒A PBO αβ3642，，AB OA OB OP OP =-=-=︒-︒cot cot cot cot αβ4503645042 ≈-=≈619449981196120...（米）答：大桥的长度约为120米。

说明：如图12，一般地，AB AO BO PO PAO PBO =-=∠-∠(cot cot )。

例9. 如图13，某船向正东航行。

在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处望见灯塔C 在北偏西30︒，又航行了半小时到D 处，望见灯塔C 恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A 、D 两点间的距离。

（结果不取近似值）图13 解：作CE AD ⊥，垂足为E 。

设CE x =海里。

∠=∠=︒∴===CAD CDA CE AE DE x 45，在Rt CEB ∆中，∠=︒=-=-=︒CBE BE DE BD x CEBE601060，，tan ， 即xx -=103。

解得x =+1553∴==+AD x 230103()（海里）。

答：A 、D 两处间的距离为()30103+海里。

例10. 某型号飞机的机翼形状如图14所示，AB//CD ，根据图中数据计算AC ，BD 和CD 的长度（精确到米，2141431732≈≈..，）。